Если точка движется в плоскости под действием произвольных сил, то уравнения ее движения в общем случае нельзя разрешить в квадратурах. Наряду с задачей центрального движения к задачам, разрешимым в квадратуpax, относится также известная задача двух притягивающих центров. В этой задаче требуется определить плоское движение материальной точки, притягиваемой двумя неподвижными точками плоскости по закону Ньютона. Разрешимость этой задачи обнаружил Эйлер ${ }^{1}$.

Пусть $2 c$ – расстояние между центрами, начало координат в середине прямой, соединяющей центры, а сама эта прямая принята за ось $x$. Тогда координаты обоих центров будут $(c, 0)$ и $(-c, 0)$. Пусть масса точки равна единице, тогда ее потенциальная энергия будет:
\[
V=-\mu\left\{(x-c)^{2}+y^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}}-\mu^{\prime}\left\{(x+c)^{2}+y^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}},
\]

где постоянные $\mu, \mu^{\prime}$ характеризуют величину притягивающих сил.
Если будет действовать только одна из притягивающих сил, то всякий эллипс или гипербола, имеющие фокусами оба центра, являются возможными траекториями. Поэтому по теореме Бонне, если действуют оба притяжения, всякие эллипсы и гиперболы, софокусные с предыдущими, будут также возможными траекториями. Для этой задачи положение материальной точки удобно определять так называемыми эллиптическими координатами $\xi, \eta$, которые связаны с прямоугольными координатами $x, y$ равенствами:
\[
x=c \operatorname{ch} \xi \cos \eta, \quad y=c \operatorname{sh} \xi \sin \eta .
\]

Уравнения $\xi=$ const и $\eta=$ const дают софокусные эллипсы или гиперболы, фокусами которых являются оба притягивающих центра. Они образуют частное семейство траекторий. Потенциальная энергия как функция от $\xi, \eta$ будет:
\[
V=-\frac{\mu}{c(\operatorname{ch} \xi-\cos \eta)}-\frac{\mu^{\prime}}{c(\operatorname{ch} \xi+\cos \eta)},
\]

а кинетическая энергия $T$ имеет вид:
\[
T=\frac{1}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)=\frac{c^{2}}{2}\left(\operatorname{ch}^{2} \xi-\cos ^{2} \eta\right)\left(\dot{\xi}^{2}+\dot{\eta}^{2}\right) .
\]

Очевидно, получается задача типа Лиувилля, а поэтому можно применить для нее развитые в предыдущей главе методы интегрирования.
${ }^{1}$ Euler, Mem.de Berlin, стр. 228. 1760; Nov. Comm. Petrop., т. 10, стр. 207, 1764; т. 11, стр. 152. 1765; Lagrange, Mem. de Turin, т. 4, стр. 118, 215, 1766-1769 или Oeuvres, т. II, стр. 67.

Уравнение Лагранжа для координаты $\xi$ получает вид:
\[
c^{2} \frac{d}{d t}\left\{\left(\operatorname{ch}^{2} \xi-\cos ^{2} \eta\right) \dot{\xi}\right\}-c^{2} \operatorname{ch} \xi \operatorname{sh} \xi\left(\dot{\xi}^{2}+\dot{\eta}^{2}\right)=-\frac{\partial V}{\partial \xi}
\]

или
\[
\begin{array}{c}
c^{2} \frac{d}{d t}\left\{\left(\operatorname{ch}^{2} \xi-\cos ^{2} \eta\right)^{2} \dot{\xi}^{2}\right\}-2 c^{2} \operatorname{ch} \xi \operatorname{sh} \xi\left(\operatorname{ch}^{2} \xi-\cos ^{2} \eta\right) \dot{\xi}\left(\dot{\xi}^{2}+\dot{\eta}^{2}\right)= \\
=-2\left(\operatorname{ch}^{2} \xi-\cos ^{2} \eta\right) \dot{\xi} \frac{\partial V}{\partial \xi}
\end{array}
\]

или, принимая во внимание уравнение энергии $T+V=h$, имеем:
\[
\begin{array}{c}
c^{2} \frac{d}{d t}\left\{\left(\operatorname{ch}^{2} \xi-\cos ^{2} \eta\right)^{2} \dot{\xi}^{2}\right\}= \\
=-2\left(\operatorname{ch}^{2} \xi-\cos ^{2} \eta\right) \dot{\xi} \frac{\partial V}{\partial \xi}+2(h-V) \dot{\xi} \frac{\partial}{\partial \xi}\left(\operatorname{ch}^{2} \xi-\cos ^{2} \eta\right)= \\
=2 \dot{\xi} \frac{\partial}{\partial \xi}\left\{(h-V)\left(\operatorname{ch}^{2} \xi-\cos ^{2} \eta\right)\right\}=2 \dot{\xi} \frac{\partial}{\partial \xi}\left\{h\left(\operatorname{ch}^{2} \xi-\cos ^{2} \eta\right)+\right. \\
\left.+\frac{\mu}{c}(\operatorname{ch} \xi+\cos \eta)+\frac{\mu^{\prime}}{c}(\operatorname{ch} \xi-\cos \eta)\right\}=2 \frac{d}{d t}\left(h \operatorname{ch}^{2} \xi+\frac{\mu+\mu^{\prime}}{c} \operatorname{ch} \xi\right) .
\end{array}
\]

Интеграция дает:
\[
\frac{c^{2}}{2}\left(\operatorname{ch}^{2} \xi-\cos ^{2} \eta\right)^{2} \dot{\xi}^{2}=h \operatorname{ch}^{2} \xi+\frac{\mu+\mu^{\prime}}{c} \operatorname{ch} \xi-\gamma,
\]

где $\gamma$ – постоянная интегрирования.
Если последнее уравнение вычтем из уравнения энергии, которое можно представить в виде:
\[
\begin{array}{c}
\frac{c^{2}}{2}\left(\operatorname{ch}^{2} \xi-\cos ^{2} \eta\right)^{2}\left(\dot{\xi}^{2}+\dot{\eta}^{2}\right)= \\
=h\left(\operatorname{ch}^{2} \xi-\cos ^{2} \eta\right)+\frac{\mu}{c}(\operatorname{ch} \xi+\cos \eta)+\frac{\mu^{\prime}}{c}(\operatorname{ch} \xi+\cos \eta),
\end{array}
\]

то получим:
\[
\frac{c^{2}}{2}\left(\operatorname{ch}^{2} \xi-\cos ^{2} \eta\right)^{2} \dot{\eta}^{2}=-h \cos ^{2} \eta-\frac{\mu^{\prime}-\mu}{c} \cos \eta+\gamma .
\]

Исключая $d t$ из последних двух уравнений, будем иметь:
\[
\frac{(d \xi)^{2}}{h \operatorname{ch}^{2} \xi+\frac{\mu+\mu^{\prime}}{c} \operatorname{ch} \xi-\gamma}=\frac{(d \eta)^{2}}{-h \cos ^{2} \eta-\frac{\mu^{\prime}-\mu}{c} \cos \eta+\gamma} .
\]

Вводя здесь вспомогательную переменную $u$, получим:
\[
\begin{array}{r}
u=\int\left\{h \operatorname{ch}^{2} \xi+\frac{\mu+\mu^{\prime}}{c} \operatorname{ch} \xi-\gamma\right\}^{-\frac{1}{2}} d \xi, \\
u=\int\left\{-h \cos ^{2} \eta-\frac{\mu^{\prime}-\mu}{c} \cos \eta+\gamma\right\}^{-\frac{1}{2}} d \eta .
\end{array}
\]

Получившиеся интегралы являются эллиптическими, и поэтому $\xi$ и $\eta$ можно выразить в виде эллиптических функций:
\[
\xi=\chi(u), \quad \eta=\varphi(u) .
\]

Этими уравнениям, в которых эллиптические координаты $\xi, \eta$ являются функциями параметра $u$, и определяется траектория движущейся материальной точки ${ }^{1}$.