Всякой системе связанных между собой материальных точек и твердых тел можно поставить в соответствие некоторую подобную систему, получаемую изменением масштабов. Если массы и силы обеих систем, которые мы будем называть первоначальной и отображенной, находятся в постоянных соотношениях, то скорости в обеих системах не будут одинаковы и они также будут находиться в постоянных отношениях.
${ }^{1}$ Newton, Principia, Lib. II, Sect. 7, Prop. 32.

Установим соотношения между изменениями различных масштабов. Пусть линейные размеры первоначальной и преобразованной систем находятся в отношении $x: 1$, массы соответствующих точек – в отношении $y: 1$, скорости – в отношении $z: 1$ и, следовательно, интервалы времени между соответствующими фазами в отношении $1: z$ и, наконец, силы в отношении $w: 1$.

Каждая материальная точка удовлетворяет уравнению движения вида:
\[
m \ddot{x}=X \text {. }
\]

Следовательно, если $m$ изменяется в отношении $y: 1, \ddot{x}$ – в отношении $x z^{2}: 1$ и $X$ в отношении $w: 1$, то
\[
w=x y z^{2} .
\]

Последнее равенство и устанавливает искомое соотношение между величинами $x, y, z, w$.
Пример. Если действующие силы суть силы тяжести, то $w=y$ и, поэтому, $x z^{2}=1$. Следовательно, отношение скоростей равно обратному отношению корней квадратных из линейных размеров.

Если действующие силы суть силы притяжения между отдельными точками и притом такие, что каждая точка притягивает все остальные точки с силами, прямо пропорциональными массам и обратно пропорциональными квадратам расстояний, то $w=\frac{y^{2}}{x^{2}}$. Следовательно, скорости относятся как $y^{\frac{1}{2}}: x^{\frac{3}{2}}$.