Предположим теперь, что кинетический потенциал динамической системы не содержит явно времени, так что существует интеграл энергии
\[
\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}-L=h
\]

Пусть снова $A B$ – отрезок траектории системы, $C D$ – отрезок смежной кривой, каждой точке которой соответствуют значения времени такие, что имеет место уравнение:
\[
\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}-L=h+\Delta h,
\]
${ }^{1}$ Hamilton, Phil. Trans., стр. 307, 1834; там же, стр 95, 1835.

где $\Delta h$ – малая постоянная. Тогда будем иметь:
\[
\begin{aligned}
& \int_{C D}\left(\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right) d t-\int_{A B}\left(\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right) d t= \\
= & \int_{C D}(h+\Delta h) d t-\int_{A B} h d t+\int_{C D} L d t-\int_{A B} L d t= \\
= & (h+\Delta h)\left(t_{1}+\Delta t_{1}-t_{0}-\Delta t_{0}\right)-h\left(t_{1}-t_{0}\right)+\left[\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \Delta q_{r}-h \Delta t\right]_{A}^{B}= \\
= & {\left[\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \Delta q_{r}+t \Delta h\right]_{A}^{B} . }
\end{aligned}
\]

Если теперь мы совместим точки $C$ с $A$ и $D$ с $B$, а $\Delta h$ будем приближать к нулю, то получим:
\[
\int_{C D}\left(\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right) d t=\int_{A B}\left(\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right) d t .
\]

Из этого уравнения следует, что интеграл $\int\left(\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right) d t$ имеет стационарное значение для любого отрезка траектории по сравнению со смежными кривыми, которые имеют те же концы и для которых установлено соответствие времени с координатами так, что удовлетворяется то же уравнение энергии. Интеграл
\[
\int\left(\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right) d t
\]

называется действием, а эта теорема – принципом наименьшего действия.

Для естественных систем, у которых $L$ есть разность между кинетической энергией $T$, являющейся однородной квадратичной функцией скоростей и независящей от скоростей потенциальной энергии $V$, имеем ( $\S 41$ ):
\[
\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}=2 T .
\]

Стационарный интеграл имеет, следовательно, вид $\int T d t$.
Принцип наименьшего действия берет начало от попытки Мопертюи (Mém. de l’Acad., стр. 417, 1744) получить для корпускулярной теории света принцип, аналогичный принципу наименьшего времени Ферма. Эйлер доказал принцип Мопертюи для отдельной материальной точки при действии на неё центральной силы (теорема 2, стр. 309 в «Methodus inveniendi lineas curvas», 1744). Лагранж распространил его на многие, более общие проблемы (Miscell. Taurin, т. 2, 1760-1761; Oeuvres, т. I, стр. 365).

ЗАдАчА 1. Показать, что принцип наименьшего действия можно распространить следующим образом на системы, не обладающие интегралом энергии. Величину
\[
\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}-L
\]

обозначим через $h$. Тогда интеграл
\[
\int\left(\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}+t \frac{d h}{d t}\right) d t
\]

имеет стационарное значение для любого отрезка траектории системы по сравнению с кривыми, обладающими теми же концами, и с одинаковыми значениями $h$ на них.
ЗАДАчА 2. Динамическая система, для которой существует интеграл энергии, приводится, как в $\S 42$, кистеме более низкого порядка. Показать, что принцип наименьшего действия для начальной системы тождественен с принципом Гамильтона для приведенной системы.