Для пояснения рассмотрим несколько примеров колебаний системы около стационарного состояния движения.
1. Материальная точка описывает окружность $r=a, z=b$ под действием сил, для которых потенциальная энергия равна $V=\varphi(r, z)$, где $r^{2}=x^{2}+y^{2}$. Причем известно, что $\frac{\partial V}{\partial z}$ обращается в нуль при $r=a, z=b$. Определить условия устойчивости движения.
Если массу точки обозначить через $m$, то, полагая
\[
x=r \cos \vartheta, \quad y=r \sin \vartheta,
\]

получим для кинетической и потенциальной энергий выражения:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2} m\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\vartheta}^{2}+\dot{z}^{2}\right), \\
V & =\varphi(r, z) .
\end{aligned}
\]

Циклической координате $\vartheta$ соответствует интеграл $m r^{2} \dot{\vartheta}=k$, где $k-$ некоторая постоянная. Отсюда для измененного кинетического потенциала $R$ имеем выражение:
\[
R=T-V-k \dot{\vartheta}=\frac{1}{2} m \dot{r}^{2}+\frac{1}{2} m \dot{z}^{2}-\varphi(r, z)-\frac{k^{2}}{2 m r^{2}} .
\]

Для стационарного движения должны выполняться условия:
\[
\frac{\partial R}{\partial r}=0, \quad \frac{\partial R}{\partial z}=0 .
\]
${ }^{1}$ Acta Math., т. 7 , стр. 259; 1885.
${ }^{2}$ На этот пример указал Ламб (Proc. Roy. Soc., т. 80, стр. 168, 1908).

Последнее условие выполняется само собою согласно условиям задачи; первое же условие дает:
\[
k^{2}=m a^{3} \frac{\partial \varphi}{\partial a}
\]

Поэтому
\[
R=\frac{1}{2} m \dot{r}^{2}+\frac{1}{2} m \dot{z}^{2}-\varphi(r, z)-\frac{a^{3}}{2 r^{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial a} .
\]

Полагая
\[
r=a+\rho, \quad z=b+\zeta
\]

и пренебрегая членами второго порядка относительно $\rho$ и $\zeta$, получим:
\[
R=\frac{1}{2} m \dot{\rho}^{2}+\frac{1}{2} m \dot{\zeta}^{2}-\frac{1}{2} \rho^{2}\left(\varphi_{a a}+\frac{3}{a} \varphi_{a}\right)-\rho \zeta \varphi_{a b}-\frac{1}{2} \zeta^{2} \varphi_{b b}
\]

Так как $R$ не содержит линейных членов относительно $\dot{\rho}$ и $\dot{\zeta}$, то задача по существу совпадает с задачей колебаний около положения равновесия. Поэтому условие устойчивости заключается в том (§79), что форма
\[
\rho^{2}\left(\varphi_{a a}+\frac{3}{a} \varphi_{a}\right)+2 \rho \zeta \varphi_{a b}+\zeta^{2} \varphi_{b b}
\]

должна быть определенной положительной, так как величины
\[
\left(\varphi_{a a}+\frac{3}{a} \varphi_{a}\right) \varphi_{b b}-\varphi_{a b}^{2}
\]

и $\varphi_{b b}$ должны быть обе положительными. В этом и заключается искомое условие устойчивости стационарного движения.
ДоБАвлЕНиЕ. Если точка массы 1 описывает плоскую круговую траекторию радиуса $a$ под действием центральной силы, центр которой совпадает с центром окружности, причем $\varphi(r)$ есть потенциальная энергия, $r$ – расстояние от центра, то измененный кинетический потенциал имеет вид:
\[
\frac{1}{2} \dot{\rho}^{2}-\frac{1}{2} \rho^{2}\left(\varphi_{a a}+\frac{3}{a} \varphi_{a}\right)
\]

где $r=a+\rho$, и условие устойчивости имеет вид:
\[
\varphi_{a a}+\frac{3}{a} \varphi_{a}>0
\]

Период колебаний около кругового движения равен тогда
\[
2 \pi\left\{\varphi_{a a}+\frac{3}{a} \varphi_{a}\right\}^{-\frac{1}{2}} .
\]
2. Определить период колебаний около стационарного кругового движения некоторой материальной точки, движущейся под действием силы тяжести по некоторой поверхности вращения, ось которой вертикальна.

Пусть поверхность имеет уравнение $z=f(r)$, где $z, r, \varphi$-цилиндрические координаты, и ось поверхности совпадает с осью $z$. Если материальной точке, находящейся в произвольной точке поверхности, сообщить подходящую начальную скорость в направлении горизонтальной касательной, то она станет двигаться с постоянной скоростью по горизонтальной окружности. Пусть радиус этой окружности равен $a$, а масса точки равна единице.
Кинетический потенциал
\[
L=\frac{1}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\vartheta}^{2}+\dot{z}^{2}\right)-g z=\frac{1}{2} \dot{r}^{2}\left\{1+f^{\prime 2}(r)\right\}+\frac{1}{2} r^{2} \dot{\vartheta}^{2}-g f(r) .
\]

Циклической координате $\vartheta$ соответствует интеграл $r^{2} \dot{\vartheta}=k$; следовательно, измененный кинетический потенциал будет:
\[
R=\frac{1}{2} \dot{r}^{2}\left\{1+f^{\prime 2}(r)\right\}-g f(r)-\frac{k^{2}}{2 r^{2}} .
\]

Таким образом, задача приведена к определению колебаний около положения равновесия для некоторой системы с одной степенью свободы и с кинетическим потенциалом $R$. Условие равновесия имеет вид:
\[
\left(\frac{\partial R}{\partial r}\right)_{r=a}=0
\]

или
\[
k^{2}=g a^{3} f^{\prime}(a) \text {. }
\]

Отсюда следует:
\[
R=\frac{1}{2} \dot{r}^{2}\left\{1+f^{\prime 2}(r)\right\}-g f(r)-\frac{g a^{3} f^{\prime}(a)}{2 r^{2}} .
\]

Полагая $r=a+\rho$, где $\rho$ – мало, и разлагая по степеням $\rho$, получим:
\[
R=\frac{1}{2} \dot{\rho}^{2}\left\{1+f^{\prime 2}(a)\right\}-\frac{1}{2} g \rho^{2}\left\{f^{\prime \prime}(a)+\frac{3}{a} f^{\prime}(a)\right\} .
\]

Уравнение движения
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial R}{\partial \dot{\rho}}\right)-\frac{\partial R}{\partial \rho}=0
\]

имеет, следовательно, вид:
\[
\ddot{\rho}\left\{1+f^{\prime 2}(a)\right\}+g \rho\left\{f^{\prime \prime}(a)+\frac{3}{a} f^{\prime}(a)\right\}=0 .
\]

Условием устойчивости будет
\[
f^{\prime \prime}(a)+\frac{3}{a} f^{\prime}(a)>0
\]

и период колебаний есть
\[
\frac{2 \pi}{\sqrt{g}}\left\{\frac{1+f^{\prime 2}(a)}{f^{\prime \prime}(a)+\frac{3}{a} f^{\prime}(a)}\right\}^{\frac{1}{2}} .
\]

ЗАДАчА 1. Поверхность есть параболоид вращения, ось которого вертикальна и вершина расположена снизу. Показать, что период колебаний равен
\[
\pi\left(\frac{l^{2}+a^{2}}{g l}\right)^{\frac{1}{2}}
\]

где $l$ – полупараметр параболоида.
3. Определить колебания волчка, вершина которого находится на абсолютно шероховатой плоскости, около стационарного состонния движения.

Пусть $A$ – момент инерции волчка относительно прямой, проходящей через его вершину перпендикулярно к оси, $\vartheta$ – угол между осью и вертикалью, $M$ – масса волчка, $h$ – расстояние его центра тяжести от вершины. Мы видели в $\S 71$, что после приведения системы при помощи циклических координат $\varphi$ и $\psi$ угол $\vartheta$ определяется интегрированием дифференциального уравнения движения системы, имеющей кинетический потенциал
\[
R=\frac{1}{2} A \dot{\vartheta}^{2}-\frac{(a-b \cos \vartheta)^{2}}{2 A \sin ^{2} \vartheta}-M g h \cos \vartheta,
\]

где $a$ и $b$ – постоянные, зависящие от начальных условий движения.
Пусть $\alpha$ и $n$ представляют значения $\vartheta$ и $\dot{\varphi}$ при стационарном движении. Тогда (§72)
\[
\begin{array}{l}
A n^{2} \cos \alpha+M g h=b n, \\
A n \sin ^{2} \alpha=a-b \cos \alpha .
\end{array}
\]

Для исследования колебаний волчка около стационарного состояния движения полагаем $\vartheta=\alpha+x$, где $x$ мало, и разлагаем $R$ по возрастающим степеням $x$, пренебрегая членами выше второго порядка относительно $x$. Тогда, исключая $a$ и $b$ при помощи двух последних уравнений, мы получим для $R$ значение:
\[
R=\frac{1}{2} A \dot{x}^{2}-\frac{1}{2} A x^{2}\left\{n^{2} \sin ^{2} \alpha+\left(n \cos \alpha-\frac{M g h}{A n}\right)^{2}\right\} .
\]

Следовательно, уравнение движения для $x$ имеет вид:
\[
\ddot{x}+\left\{n^{2} \sin ^{2} \alpha+\left(n \cos \alpha-\frac{M g h}{A n}\right)^{2}\right\} x=0 .
\]

Так как коэффициент при $x$ есть величина положительная, то стационарное движение устойчиво. Период колебания равен
\[
2 \pi\left\{n^{2}-\frac{2 M g h \cos \alpha}{A}+\frac{M^{2} g^{2} h^{2}}{A^{2} n^{2}}\right\}^{-\frac{1}{2}} .
\]
4. Вертикальный волчок. Метод, примененный в предыдущем параграфе, должен быть изменен, если $\alpha=0$, т. е. если ось волчка остается все время вертикальной и он вращается вокруг нее с постоянной угловой скоростью, ибо в этом случае стационарное движение с малым $\alpha$ должно быть рассматриваемо как колебание около стационарного движения, соответствующего $\alpha=0$. Так что здесь получаются два независимых периода нормальных колебаний, соответствующие периодам стационарного движения, и колебаний около него в предыдущем примере.

Так же как и в § 71 , имеем для кинетической и потенциальной энергий волчка выражения:
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2} A \dot{\vartheta}^{2}+\frac{1}{2} A \dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \vartheta+\frac{1}{2} C(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta)^{2}, \\
V=M g h \cos \vartheta .
\end{array}
\]

Циклической координате $\psi$ соответствует интеграл
\[
b=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta) .
\]

После приведения кинетический потенциал системы принимает вид:
\[
R=\frac{1}{2} A \dot{\vartheta}^{2}+\frac{1}{2} A \dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \vartheta+b \dot{\varphi} \cos \vartheta-M g h \cos \vartheta .
\]

В последних двух членах $\cos \vartheta$ может быть заменен через $\cos \vartheta-1$, так как появляющиеся вследствие этого члены $-b \dot{\varphi}$ и $M g h$ не войдут в уравнения движения.

Так как в течение всего движения угол $\varphi$ остается малым, то мы вместо $\vartheta$ и $\varphi$ вводим координаты $\xi, \eta$, определяемые уравнениями:
\[
\xi=\sin \vartheta \cos \varphi, \quad \eta=\sin \vartheta \sin \varphi .
\]

Из этих уравнений, пренебрегая членами выше второго порядка относительно $\xi, \eta, \dot{\xi}, \dot{\eta}$, находим:
\[
\begin{aligned}
\dot{\vartheta}^{2}+\dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \vartheta & =\dot{\xi}^{2}+\dot{\eta}^{2} \\
\dot{\varphi} \sin ^{2} \vartheta & =\xi \dot{\eta}-\eta \dot{\xi} \\
1-\cos \vartheta & =\frac{1}{2}\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Поэтому
\[
R=\frac{1}{2} A \dot{\xi}^{2}+\frac{1}{2} A \dot{\eta}^{2}-\frac{1}{2} b(\xi \dot{\eta}-\eta \dot{\xi})+\frac{1}{2} M g h\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right) .
\]

Уравнениями движения будут:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial R}{\partial \dot{\xi}}\right)-\frac{\partial R}{\partial \xi}=0, \quad \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial R}{\partial \dot{\eta}}\right)-\frac{\partial R}{\partial \eta}=0
\]

или
\[
\begin{array}{l}
A \ddot{\xi}+b \dot{\eta}-M g h \xi=0, \\
A \ddot{\eta}+b \dot{\xi}-M g h \eta=0 .
\end{array}
\]

Если $\frac{2 \pi}{\sqrt{\lambda}}$ означает период нормального колебания, то, полагая $\xi=I e^{i \sqrt{\lambda} t}$, $\eta=K e^{i \sqrt{\lambda} t}$ и исключая $I$ и $K$, придем к уравнению:
\[
\left|\begin{array}{cc}
-\lambda A-M g h & i b \sqrt{\lambda} \\
-i b \sqrt{\lambda} & -\lambda A-M g h
\end{array}\right|=0
\]

или
\[
(\lambda A+M g h)^{2}-b^{2} \lambda=0 .
\]

Оба корня этого квадратного уравнения дают значения $\lambda$, соответствующие обоим нормальным колебаниям. Мы должны, следовательно, исследовать эти корни более подробно. Решением этого квадратного уравнения будет:
\[
\lambda=\frac{1}{2 A^{2}}\left\{b^{2}-2 A M g h \pm b\left(b^{2}-4 A M g h\right)^{\frac{1}{2}}\right\} ;
\]

поэтому
\[
\sqrt{\lambda}= \pm \frac{1}{2 A}\left\{b \pm\left(b^{2}-4 A M g h\right)^{\frac{1}{2}}\right\} .
\]

Следовательно, оба значения $\sqrt{\lambda}$ будут действительными или мнимыми, в зависимости от того, будет ли $b^{2}$ больше или меньше, чем $4 A M g h$. В первом случае стационарное вращение вокруг вертикали устойчиво, во втором случае оно неустойчиво.

Не следует думать, что при неустойчивом движении ось волчка непременно отходит далеко от вертикали. Неустойчивость указывает лишь на то, что при $b^{2}<4 A M g h$ возмущенное движение, как бы мало ни было возмущение, не стремится слиться с невозмущенным движением.

В действительности ось волчка может оставаться близко от вертикали, несмотря на то, что $b^{2}<4 A M g h$ отрицательно и движение, следовательно, неустойчиво. Но в этом случае наибольшее отклонение от вертикали при заданном $b$, как бы мало ни было начальное возмущение, не может быть сделано сколь угодно малым ${ }^{1}$.