1. В задаче трех тел единицы измерений выбраны таким образом, что интеграл энергии имеет вид:
$$\frac{1}{2}(v_1^2+v_2^2+v_3^2)=\frac{1}{r_{23}}+\frac{1}{r_{31}}+\frac{1}{r_{12}}-\frac{1}{r},$$

где $r_{12}$ — расстояние между телами, имеющими скорости $v_1$ и $v_2$, а $r$ — положительная постоянная. Показать, что момент количества движения системы относительно центра тяжести не превышает по величине $3\sqrt{\frac{r}{2}}$. (Camb. Math. Tripos, часть 1,1893 .)
2. В задаче трех тел пусть $\mathrm{\Phi }$ означает функцию Якоби, $\mathrm{\Omega }-$ угол между некоторой определенной прямой неизменяемой плоскости с прямой ее пересечения с плоскостью трех тел, $i$ — угол наклона плоскости трех тел относительно неизменяемой плоскости, $\eta$ — площадь треугольника, образованного телами. Показать, что
$$\frac{d\mathrm{\Omega }}{dt}=\frac{k}{\mathrm{\Phi }},\frac{1}{\sin i}\frac{di}{dt}=k{\{\frac{M}{m_1{m}_2{m}_3{\eta }^2}-\frac{1}{{\mathrm{\Phi }}^2}\}}^{\frac{1}{2}},$$

где $k$ — момент количества движения системы относительно нормали к неизменяемой плоскости. (De Gasparis.)
3. Задача трех тел приведена, как в $\mathrm{\S }160$, к задаче двух тел $\mu$ и ${\mu }^{\prime }$. Пусть $q_1$ и $q_2$ суть расстояния тел $\mu$ и ${\mu }^{\prime }$ от нулевой точки, $q_3$ и $q_4$ суть углы между $q_1,q_2$ и прямой пересечения плоскости тел с неизменяемой плоскостью. Обозначим соответственно через $p_1$ и $p_2$ величины $\mu {\dot{q}}_1$ и ${\mu }^{\prime }{\dot{q}}_2$, а через $p_3$ и $p_4$ — компоненты моментов количества движения тел $\mu$ и ${\mu }^{\prime }$ в плоскости, проходящей через оба тела и начало. Показать, что уравнения движения могут быть написаны в виде:
$$\frac{d{q}_r}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r},\frac{d{p}_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r}(r=1,2,3,4),$$

где $H=$ const есть интеграл энергии. (Bour.)
4. Преобразовать гамильтонову систему восемнадцатого порядка задачи трех тел ( $\mathrm{\S }155$ ) при помощи контактного преобразования, определяемого уравнениями:
$$\begin{array}{l}{q}_1^{\prime }={\{{(q_4-q_7)}^2+{(q_5-q_8)}^2+{(q_6-q_9)}^2\}}^{\frac{1}{2}},\\ q_2^{\prime }={\{{(q_7-q_1)}^2+{(q_8-q_2)}^2+{(q_9-q_3)}^2\}}^{\frac{1}{2}},\\ q_3^{\prime }={\{{(q_1-q_4)}^2+{(q_2-q_5)}^2+{(q_3-q_6)}^2\}}^{\frac{1}{2}},\\ q_4^{\prime }=b_1(q_1+i{q}_2)+b_2(q_4+i{q}_5)+b_3(q_7+i{q}_8),\\ q_5^{\prime }=c_1{q}_3+c_2{q}_6+c_3{q}_9,\\ q_6^{\prime }=m_1{q}_1+m_2{q}_4+m_3{q}_7,\\ q_7^{\prime }=m_1{q}_2+m_2{q}_5+m_3{q}_8,\\ q_8^{\prime }=m_1{q}_3+m_2{q}_6+m_3{q}_9,\\ q_0^{\prime }=\frac{a_1(q_1+i{q}_2)+a_2(q_4+i{q}_5)+a_3(q_7+i{q}_8)}{b_1(q_1+i{q}_2)+b_2(q_4+i{q}_5)+b_3(q_7+i{q}_8)},\\ p_r=\sum _{k=0}^8{p}_k^{\prime }\frac{\partial q_k^{\prime }}{\partial q_r}(r=0,1,2,\dots ,8),\end{array}$$

где $i=\sqrt{-1}$ и $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3$ суть 9 произвольных постоянных, удовлетворяющих уравнениям:
$$a_1+a_2+a_3=0,b_1+b_2+b_3=0,c_1+c_2+c_3=0,a_2{b}_3-a_3{b}_2=1.$$

Показать, что интегралы движения центра тяжести имеют вид:
$$q_6^{\prime }=q_7^{\prime }=q_8^{\prime }=p_6^{\prime }=p_7^{\prime }=p_8^{\prime }=0.$$

Показать далее, что если неизменяемую плоскость принять за плоскость $xy$, то переменная $p_5^{\prime }$ обращается в нуль, а интеграл моментов относительно нормали к неизменяемой плоскости принимает вид:
$$p_4^{\prime }{q}_4^{\prime }=k,$$

где $k$ — постоянная.

Показать также, что уравнения движения приводятся к системе восьмого порядка:
$$\frac{d{q}_r^{\prime }}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r^{\prime }},\frac{d{p}_r^{\prime }}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r^{\prime }}(r=0,1,2,3),$$

где
$$\begin{array}{rl}H& =\sum {p_1^{\prime }}_1^2{q^{\prime }}_1^2\frac{m_2+m_3}{2m_2{m}_3}+\sum \frac{p_2^{\prime }{p}_3^{\prime }}{q_2^{\prime }{q}_3^{\prime }}\cdot \frac{{q^{\prime }}_2^2+{q_3^{\prime }}_3^2-{q^{\prime }}_1^2}{2m_1}+\\ & +\sum \frac{1}{m_1}\{p_0^{\prime }(a_1-b_1{q}_0^{\prime })+k{b}_1\}\{\frac{p_3^{\prime }}{q_3^{\prime }}(a_3-b_3{q}_0^{\prime })-\frac{p_2^{\prime }}{q_2^{\prime }}(a_2-b_2{q}_0^{\prime })\}-\\ & -\sum \frac{m_2{m}_3}{q_1^{\prime }}.\end{array}$$

Привести эту систему при помощи теоремы § 141 к шестому порядку. (Bruns.)