1. В задаче трех тел единицы измерений выбраны таким образом, что интеграл энергии имеет вид:
\[
\frac{1}{2}\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\right)=\frac{1}{r_{23}}+\frac{1}{r_{31}}+\frac{1}{r_{12}}-\frac{1}{r},
\]

где $r_{12}$ – расстояние между телами, имеющими скорости $v_{1}$ и $v_{2}$, а $r$ – положительная постоянная. Показать, что момент количества движения системы относительно центра тяжести не превышает по величине $3 \sqrt{\frac{r}{2}}$. (Camb. Math. Tripos, часть 1,1893 .)
2. В задаче трех тел пусть $\Phi$ означает функцию Якоби, $\Omega-$ угол между некоторой определенной прямой неизменяемой плоскости с прямой ее пересечения с плоскостью трех тел, $i$ – угол наклона плоскости трех тел относительно неизменяемой плоскости, $\eta$ – площадь треугольника, образованного телами. Показать, что
\[
\frac{d \Omega}{d t}=\frac{k}{\Phi}, \quad \frac{1}{\sin i} \frac{d i}{d t}=k\left\{\frac{M}{m_{1} m_{2} m_{3} \eta^{2}}-\frac{1}{\Phi^{2}}\right\}^{\frac{1}{2}},
\]

где $k$ – момент количества движения системы относительно нормали к неизменяемой плоскости. (De Gasparis.)
3. Задача трех тел приведена, как в $\S 160$, к задаче двух тел $\mu$ и $\mu^{\prime}$. Пусть $q_{1}$ и $q_{2}$ суть расстояния тел $\mu$ и $\mu^{\prime}$ от нулевой точки, $q_{3}$ и $q_{4}$ суть углы между $q_{1}, q_{2}$ и прямой пересечения плоскости тел с неизменяемой плоскостью. Обозначим соответственно через $p_{1}$ и $p_{2}$ величины $\mu \dot{q}_{1}$ и $\mu^{\prime} \dot{q}_{2}$, а через $p_{3}$ и $p_{4}$ – компоненты моментов количества движения тел $\mu$ и $\mu^{\prime}$ в плоскости, проходящей через оба тела и начало. Показать, что уравнения движения могут быть написаны в виде:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2,3,4),
\]

где $H=$ const есть интеграл энергии. (Bour.)
4. Преобразовать гамильтонову систему восемнадцатого порядка задачи трех тел ( $\S 155$ ) при помощи контактного преобразования, определяемого уравнениями:
\[
\begin{array}{l}
q_{1}^{\prime}=\left\{\left(q_{4}-q_{7}\right)^{2}+\left(q_{5}-q_{8}\right)^{2}+\left(q_{6}-q_{9}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}, \\
q_{2}^{\prime}=\left\{\left(q_{7}-q_{1}\right)^{2}+\left(q_{8}-q_{2}\right)^{2}+\left(q_{9}-q_{3}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}, \\
q_{3}^{\prime}=\left\{\left(q_{1}-q_{4}\right)^{2}+\left(q_{2}-q_{5}\right)^{2}+\left(q_{3}-q_{6}\right)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}, \\
q_{4}^{\prime}=b_{1}\left(q_{1}+i q_{2}\right)+b_{2}\left(q_{4}+i q_{5}\right)+b_{3}\left(q_{7}+i q_{8}\right), \\
q_{5}^{\prime}=c_{1} q_{3}+c_{2} q_{6}+c_{3} q_{9}, \\
q_{6}^{\prime}=m_{1} q_{1}+m_{2} q_{4}+m_{3} q_{7}, \\
q_{7}^{\prime}=m_{1} q_{2}+m_{2} q_{5}+m_{3} q_{8}, \\
q_{8}^{\prime}=m_{1} q_{3}+m_{2} q_{6}+m_{3} q_{9}, \\
q_{0}^{\prime}=\frac{a_{1}\left(q_{1}+i q_{2}\right)+a_{2}\left(q_{4}+i q_{5}\right)+a_{3}\left(q_{7}+i q_{8}\right)}{b_{1}\left(q_{1}+i q_{2}\right)+b_{2}\left(q_{4}+i q_{5}\right)+b_{3}\left(q_{7}+i q_{8}\right)}, \\
p_{r}=\sum_{k=0}^{8} p_{k}^{\prime} \frac{\partial q_{k}^{\prime}}{\partial q_{r}} \quad(r=0,1,2, \ldots, 8),
\end{array}
\]

где $i=\sqrt{-1}$ и $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, c_{1}, c_{2}, c_{3}$ суть 9 произвольных постоянных, удовлетворяющих уравнениям:
\[
a_{1}+a_{2}+a_{3}=0, b_{1}+b_{2}+b_{3}=0, c_{1}+c_{2}+c_{3}=0, a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}=1 .
\]

Показать, что интегралы движения центра тяжести имеют вид:
\[
q_{6}^{\prime}=q_{7}^{\prime}=q_{8}^{\prime}=p_{6}^{\prime}=p_{7}^{\prime}=p_{8}^{\prime}=0 .
\]

Показать далее, что если неизменяемую плоскость принять за плоскость $x y$, то переменная $p_{5}^{\prime}$ обращается в нуль, а интеграл моментов относительно нормали к неизменяемой плоскости принимает вид:
\[
p_{4}^{\prime} q_{4}^{\prime}=k,
\]

где $k$ – постоянная.

Показать также, что уравнения движения приводятся к системе восьмого порядка:
\[
\frac{d q_{r}^{\prime}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}^{\prime}}, \quad \frac{d p_{r}^{\prime}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}^{\prime}} \quad(r=0,1,2,3),
\]

где
\[
\begin{aligned}
H & =\sum{p_{1}^{\prime}}_{1}^{2}{q^{\prime}}_{1}^{2} \frac{m_{2}+m_{3}}{2 m_{2} m_{3}}+\sum \frac{p_{2}^{\prime} p_{3}^{\prime}}{q_{2}^{\prime} q_{3}^{\prime}} \cdot \frac{{q^{\prime}}_{2}^{2}+{q_{3}^{\prime}}_{3}^{2}-{q^{\prime}}_{1}^{2}}{2 m_{1}}+ \\
& +\sum \frac{1}{m_{1}}\left\{p_{0}^{\prime}\left(a_{1}-b_{1} q_{0}^{\prime}\right)+k b_{1}\right\}\left\{\frac{p_{3}^{\prime}}{q_{3}^{\prime}}\left(a_{3}-b_{3} q_{0}^{\prime}\right)-\frac{p_{2}^{\prime}}{q_{2}^{\prime}}\left(a_{2}-b_{2} q_{0}^{\prime}\right)\right\}- \\
& -\sum \frac{m_{2} m_{3}}{q_{1}^{\prime}} .
\end{aligned}
\]

Привести эту систему при помощи теоремы § 141 к шестому порядку. (Bruns.)