Для частных динамических систем, подобных той, которую мы рассматривали в предыдущем параграфе, может быть доказана сходимость ряда (4) § 196 при достаточно малых значениях величин $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$, если только отношение $\frac{s_{1}}{s_{2}}$ есть число иррациональное. Однако сходимость этого ряда для самого общего случая до сих пор еще не доказана. Поэтому рассуждения $§ 196$ при современном состоянии этого вопроса следует рассматривать как метод составления формальных рядов, сходимость которых должна быть исследована для каждой отдельной динамической системы, к которой прилагается этот метод. Для всех такого рода частных систем, исследованных до сих пор, эти ряды сходятся, и поэтому возникает уверенность, что эти ряды сходятся и в общем случае. Эта уверенность усиливается следующими рассуждениями.
Так как отношение $\frac{s_{1}}{s_{2}}$ есть число иррациональное, то ни один из знаменателей $\left(s_{1}+s_{2}\right),\left(s_{1}-s_{2}\right),\left(2 s_{1}+s_{2}\right),\left(2 s_{1}-s_{2}\right),\left(s_{1}+2 s_{2}\right)$, $\left(3 s_{1}+s_{2}\right), \ldots$ не обращается в нуль и, следовательно, ни один член рассматриваемого ряда не обращается в бесконечность. Этот ряд есть степенной ряд относительно $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$, и он получается из абсолютно сходящегося степенного ряда относительно $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$, выражающего функцию $H$ при помощи простых алгебраических и тригонометрических операций, за исключением операции введения делителей типа $m s_{1}+n s_{2}$, где $m$ и $n$ – положительные и отрицательные целые числа. Мы можем поэтому ожидать, что этот ряд будет сходиться при достаточно малых значениях величин $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$, если только малость указанных делителей не послужит причиной для расходимости. Значения чисел $m$ и $n$ могут быть действительно выбраны таким образом, чтобы делитель $m s_{1}+n s_{2}$ делался сколь угодно малым. Но тогда величины $|m|$ и $|n|$ будут очень велики, и так как они не превосходят порядка соответствующего им члена, то соответствующий делитель войдет в член очень высокого порядка, и он будет погашаться высокими степенями малых величин $\sqrt{q_{1}}$ и $\sqrt{q_{2}}$. И действительно, много лет назад Брунс $^{1}$ показал, что такое положение вещей совместимо с абсолютной сходимостью рядов. Он рассмотрел ряд:
\[
\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{q_{1}^{m} q_{2}^{n}}{m-n A}
\]
${ }^{1}$ Astr. Nach., т. 109 стр. 215, 1884; См. также W. J. MacMillan, Proc. Nat. Ac. Soc., т. 1, стр. 437, 1915 и Bull. Am. M. S., т. 22, стр. 26, 1915.
где $q_{1}$ и $q_{2}$ – правильные дроби, а $A$ – иррациональное алгебраическое число, т. е. число, удовлетворяющее неприводимому алгебраическому уравнению:
\[
A^{s}+G_{1} A^{s-1}+G_{2} A^{s-2}+\cdots+G_{n},
\]
коэффициенты которого $G$ суть целые числа. Если мы умножим числитель и знаменатель какого-нибудь члена ряда Брунса на
\[
\left(m-n A^{\prime}\right)\left(m-n A^{\prime \prime}\right) \ldots,
\]
где $A^{\prime}, A^{\prime \prime}, \ldots$ суть остальные корни алгебраического уравнения, то мы получим в знаменателе полином относительно $m$ и $n$, коэффициенты которого являются целыми числами. Так как этот полином не может равняться нулю, то он равен по меньшей мере единице. В то же время числитель является полиномом относительно $m$ и $n(s-1)$-го порядка. Отсюда сразу вытекает сходимость ряда Брунса.
Ряд (4) $\S 196$ значительно сложнее ряда Брунса. Поэтому, хотя так далеко идущая аналогия и благоприятствует сходимости ряда (4), все же наша уверенность в этой сходимости должна основываться, главным образом, на несомненной сходимости ряда (4) для частных динамических систем, для которых эта сходимость может быть непосредственно проверена.
