Установим теперь условие, которому должны удовлетворять функции $M_{1}$, $M_{2}, \ldots, M_{n}$ от $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, t$, для того чтобы выражение
\[
\int\left(M_{1} \delta x_{1}+M_{2} \delta x_{2}+\cdots+M_{n} \delta x_{n}\right)
\]

было интегральным инвариантом первого порядка для системы уравнений:
\[
\frac{d x_{r}}{d t}=X_{r}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}, t\right) \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Для этого необходимо, чтобы
\[
\frac{d}{d t}\left(M_{1} \delta x_{1}+M_{2} \delta x_{2}+\cdots+M_{n} \delta x_{n}\right)=0,
\]

где производные от $\delta x_{1}, \delta x_{2}, \ldots, \delta x_{n}$ должны быть определены из введенной в предыдущем параграфе расширенной системы дифференциальных уравнений.
Поэтому
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(\frac{d M_{r}}{d t} \delta x_{r}+M_{r} \frac{d \delta x_{r}}{d t}\right)=0
\]

или
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(\frac{\partial M_{r}}{\partial t} \delta x_{r}+\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial M_{r}}{\partial x_{k}} X_{k} \delta x_{r}+M_{r} \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial X_{r}}{\partial x_{k}} \delta x_{k}\right)=0 .
\]

Так как величины $\delta x_{1}, \delta x_{2}, \ldots, \delta x_{n}$ независимы, то необходимо, чтобы коэффициенты при $\delta x_{r}$ в этом уравнении обращались в нуль. Следовательно, условиями для интегральной инвариантности будут:
\[
\frac{\partial M_{r}}{\partial t}+\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial M_{r}}{\partial x_{k}} X_{k}+\sum_{k=1}^{n} M_{k} \frac{\partial X_{k}}{\partial x_{r}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

ДоБАВЛЕНИЕ 1. Если известен один интеграл дифференциальных уравнений, например
\[
F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, t\right)=\mathrm{const},
\]

то один интегральный инвариант может быть найден непосредственно. В самом деле, имеем:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial F}{\partial x_{r}}\right)+\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(\frac{\partial F}{\partial x_{r}}\right) X_{k}+\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial F}{\partial x_{k}} \frac{\partial X_{k}}{\partial x_{r}}= \\
=\frac{\partial}{\partial x_{r}}\left(\frac{\partial F}{\partial t}+\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial F}{\partial x_{k}} X_{k}\right)=\frac{\partial}{\partial x_{r}}\left(\frac{\partial F}{\partial t}\right)=0 .
\end{array}
\]

Поэтому выражение
\[
\int \sum_{r=1}^{n} \frac{\partial F}{\partial x_{r}} \delta x_{r}
\]

есть интегральный инвариант. функция переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, t$, есть интегральный инвариант некоторой системы дифференциальных уравнений, то для этой системы может быть найден один интеграл. В самом деле, имеем:
\[
\begin{aligned}
0 & =\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial U}{\partial x_{r}}\right)+\sum_{k=1}^{n} X_{k} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(\frac{\partial U}{\partial x_{r}}\right)+\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial U}{\partial x_{k}} \frac{\partial X_{k}}{\partial x_{r}}= \\
& =\frac{\partial}{\partial x_{r}}\left(\frac{\partial U}{\partial t}+\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial U}{\partial x_{k}} X_{k}\right)
\end{aligned}
\]

следовательно, выражение
\[
\frac{\partial U}{\partial t}+\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial U}{\partial x_{k}} X_{k}
\]

являющееся известной функцией переменнных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, t$, не зависит от $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$. Обозначим эту известную величину через $\varphi(t)$. Тогда имеем:
\[
\frac{d U}{d t}=\varphi(t)
\]

или
\[
U-\int \varphi(t) d t=\text { const, }
\]

а это и есть интеграл системы.