Определим потерю кинетической энергии при взаимном ударе двух гладких тел.

Рассмотрим какую-нибудь точку массы $m$, принадлежащую одному из обоих тел. Обозначим соответственно через $u_{0}, v_{0}, w_{0}$ и $u, v, w$ компоненты ее скорости непосредственно до и после удара, а через $U, V, W$ — компоненты результирующей всех приложенных к ней (внешних и внутренних) импульсивных сил. Тогда уравнения импульсивного движения ( $\S 35$ ) дают:
\[
m\left(u-u_{0}\right)=U, \quad m\left(v-v_{0}\right)=V, \quad m\left(w-w_{0}\right)=W .
\]

Умножая эти уравнения соответственно на $u+e u_{0}, v+e v_{0}, w+e w_{0}$, складывая и суммируя по всем точкам обоих тел, получим:
\[
\begin{array}{c}
\sum m\left\{\left(u-u_{0}\right)\left(u+e u_{0}\right)+\left(v-v_{0}\right)\left(v+e v_{0}\right)+\left(w-w_{0}\right)\left(w+e w_{0}\right)\right\}= \\
=\sum\left\{U\left(u+e u_{0}\right)+V\left(v+e v_{0}\right)+W\left(w+e w_{0}\right)\right\} .
\end{array}
\]

Но для всех внутренних импульсов (если они вообще входят)
\[
\sum(U u+V v+W w)=0 \quad \text { и } \quad \sum\left(U u_{0}+V v_{0}+W w_{0}\right)=0,
\]

ибо согласно закону действия и противодействия соответствующие импульсивные силы дают в каждой сумме по два взаимно уничтожающихся члена.

Согласно же закону удара та часть величины $u+e u_{0}$, которая отвечает нормальному компоненту скорости, имеет одинаковое значение для двух сталкивающихся при ударе точек, вследствие чего в сумме $\sum U\left(u+e u_{0}\right)$ и соответственно в суммах $\sum V\left(v+e v_{0}\right)$ и $\sum W\left(w+e w_{0}\right)$ члены, отвечающие импульсивной силе между обоими телами, также выпадают. Поэтому
\[
\sum\left\{U\left(u+e u_{0}\right)+V\left(v+e v_{0}\right)+W\left(w+e w_{0}\right)\right\}=0
\]

и, следовательно,
\[
\sum m\left\{\left(u-u_{0}\right)\left(u+e u_{0}\right)+\left(v-v_{0}\right)\left(v+e v_{0}\right)+\left(w-w_{0}\right)\left(w+e w_{0}\right)\right\}=0
\]

или
\[
\begin{array}{c}
\sum m\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)-\sum m\left(u_{0}^{2}+v_{0}^{2}+w_{0}^{2}\right)= \\
=-\frac{1-e}{1+e} \sum m\left\{\left(u-u_{0}\right)^{2}+\left(v-v_{0}\right)^{2}+\left(w-w_{0}\right)^{2}\right\} .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что потеря кинетической энергии при ударе будет равна $\frac{1-e}{1+e}$-кратной кинетической энергии того движения, которое следует присоединить к движению непосредственно до удара, чтобы получить движение, получающееся непосредственно после удара.