Связь углов Эйлера с параметрами $\xi ,\eta ,\zeta ,\chi \mathrm{\S }9$ можно установить, сравнивая таблицы направляющих косинусов обеих систем координат, полученные в § 9 и 10 . Непосредственно эту связь можно установить следующим образом. Пусть система осей Oxyz получается вращением неподвижной системы $OXYZ$ на угол $\omega$ вокруг прямой $OR$, имеющей направляющие углы $\alpha ,\beta ,\gamma$. Проведем из точки $O$ как из центра сферу радиуса, равного единиРис. 2 це, которая будет, следовательно, пересекаться всякой плоскостью, проходящей через $O$, по большому кругу и всякой прямой из $O$ в точке. Тогда сферический треугольник $RZz$ имеет стороны $\gamma ,\gamma ,\vartheta$ и угол при $R$, равный $\omega$. Отсюда вытекает соотношение:
$$\sin \frac{1}{2}\vartheta =\sin \gamma \sin \frac{1}{2}\omega .$$

Обозначим, далее, через $u$ угол $RZY$, так что $RZz=\frac{1}{2}\pi -\phi -u$. Тогда дуга $RZ$ перейдет в положение $Rz$, если сначала ее повернуть на угол $\phi$ вокруг $Z$, затем на угол $\vartheta$ вокруг полюса дуги $ZZ$ и, наконец, на угол $\psi$ вокруг $z$. Первое из этих вращений переводит $RZ$ в дугу, которая в точке $Z$ образует с $Zz$ угол $\frac{1}{2}\pi -\phi -$ $-u+\phi =\frac{1}{2}\pi -u$; второе вращение переводит ее в дугу, которая образует тот же угол $\frac{1}{2}\pi -u$ с дугой $Zz$, но проходит через точку $z$; после третьего вращения эта дуга будет проходить опять через $z$, но будет образовывать с $Zz$ угол $\frac{1}{2}\pi -u+\psi$. Но этот угол равен $\pi -RzZ=\pi -RZz=\pi -(\frac{1}{2}\pi -\phi -u)=\frac{1}{2}\pi +\phi +u$. Следовательно, имеем:
$$\frac{1}{2}\pi +\phi +u=\frac{1}{2}\pi -u+\psi$$

или
\[

u=\frac{1}{2}(\psi-\varphi) .^{1}
\]

Отсюда вследствие того, что сферический треугольник $RZX$ имеет стороны $\alpha ,\gamma ,\frac{1}{2}\pi$ и угол при $Z$, равный $\frac{1}{2}\pi -u=\frac{1}{2}(\pi -\psi +\phi )$, непосредственно вытекает, что
$$\cos \alpha =\sin \gamma \sin \frac{1}{2}(\psi -\phi ).$$

Заменяя $\gamma$ уже полученным значением, получим:
$$\cos \alpha \sin \frac{1}{2}\omega =\sin \frac{1}{2}\vartheta \sin \frac{1}{2}(\psi -\phi )$$

или
$$\xi =\sin \frac{1}{2}\vartheta \sin \frac{1}{2}(\psi -\phi ).$$

Аналогично из сферического треугольника $RZY$ получаем:
$$\cos \beta =\sin \gamma \cos \frac{1}{2}(\psi -\phi )$$

и по исключении $\sin \gamma$
$$\cos \beta \sin \frac{1}{2}\omega =\sin \frac{1}{2}\vartheta \cos \frac{1}{2}(\psi -\phi )$$

или
$$\eta =\sin \frac{1}{2}\vartheta \cos \frac{1}{2}(\psi -\phi ).$$

Так как мы показали, что сферический треугольник $RZz$ имеет стороны $\gamma ,\gamma ,\vartheta$ и углы $\frac{1}{2}(\pi -\psi -\phi ),\frac{1}{2}(\pi -\psi -\phi )$, $\omega$, то мы можем написать и такие соотношения:
$$\begin{array}{rl}\cos \frac{1}{2}\omega & =\cos \frac{1}{2}\vartheta \cos \frac{1}{2}(\psi +\phi ),\\ \sin \frac{1}{2}\omega \cos \gamma & =\cos \frac{1}{2}\vartheta \sin \frac{1}{2}(\psi +\phi ).\end{array}$$

Отсюда
$$\begin{array}{rl}\chi & =\cos \frac{1}{2}\vartheta \cos \frac{1}{2}(\psi +\vartheta )\\ \zeta & =\cos \frac{1}{2}\vartheta \sin \frac{1}{2}(\psi +\phi ).\end{array}$$
${}^1$ (см., например, Леви-Чивита и Амальди, Курс теоретической механики, т. 1, ч. 1, перевод проф. В.Ф.Каган). Если мы в эти формулы подставим (см. рис. 2) $\frac{\pi }{2}+\phi$ вместо $\phi$ и $\frac{3\pi }{2}+\psi$ вместо $\psi$, то получатся формулы, приводимые в тексте. (Ред.)

Следовательно, параметры $\xi ,\eta ,\zeta ,\chi$ выражаются через углы Эйлера при помощи следующих равенств:
$$\begin{array}{l}\xi =\sin \frac{1}{2}\vartheta \sin \frac{1}{2}(\psi -\vartheta ),\eta =\sin \frac{1}{2}\vartheta \cos \frac{1}{2}(\psi -\phi ),\\ \zeta =\cos \frac{1}{2}\vartheta \sin \frac{1}{2}(\psi +\phi ),\chi =\cos \frac{1}{2}\vartheta \cos \frac{1}{2}(\psi +\phi ).\end{array}$$