Укажем еще на одну задачу, в которой находит применение теория последнего множителя. Задача эта заключается в следующем. Определить, при каких условиях данная система $\ddot{q}_{k}=f_{k}\left(\dot{q}_{1}\right.$, $\left.\dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)(k=1,2, \ldots, n)$ дифференциальных уравнений второго порядка эквивалентна системе Лагранжа
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

в которой $L$ означает некоторую функцию от
\[
\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t .
\]

Если обе системы эквивалентны, то, очевидно, уравнения:
\[
\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{r} \partial \dot{q}_{k}} \ddot{q}_{k}+\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{r} \partial q_{k}} \dot{q}_{k}\right)+\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{r} \partial t}-\frac{\partial L}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

должны обращаться в тождество, если в них заменить $\ddot{q}_{k}$ через $f_{k}$. Следовательно, искомое условие заключается в том, что должна существовать функция $L$, удовлетворяющая системе дифференциальных уравнений с частными производными:
\[
\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{r} \partial \dot{q}_{k}} f_{k}+\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{r} \partial q_{k}} \dot{q}_{k}\right)+\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{r} \partial t}-\frac{\partial L}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

в которых величины $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t$ являются независимыли переменными.

Для $n=1$ эта задача может быть разрешена при помощи последнего множителя. Ибо тогда $L$ должна удовлетворять уравнению:
\[
\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}^{2}} f+\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q} \partial q} \dot{q}+\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q} \partial t}-\frac{\partial L}{\partial q}=0
\]

из него вытекает:
\[
-\frac{\partial}{\partial \dot{q}}\left(\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}^{2}} f\right)=\frac{\partial}{\partial \dot{q}}\left(\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q} \partial q} \dot{q}+\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q} \partial t}-\frac{\partial L}{\partial q}\right)=\frac{\partial^{3} L}{\partial \dot{q}^{2} \partial q} \dot{q}+\frac{\partial^{3} L}{\partial \dot{q}^{2} \partial t} .
\]

Полагая поэтому $\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}^{2}}=M$, находим, что $M$ должно удовлетворять уравнению:
\[
\frac{\partial}{\partial \dot{q}}(M f)+\frac{\partial}{\partial q}(M \dot{q})+\frac{\partial M}{\partial t}=0 .
\]

Из последнего же уравнения вытекает, что $M$ есть последний множитель для системы уравнений:
\[
d t=\frac{d q}{\dot{q}}=\frac{d \dot{q}}{f(\dot{q}, q, t)} .
\]

Следовательно, для $n=1$ задача отыскания функции $L$ приводится к отысканию последнего множителя данной системы.