1. Абсолютно шероховатый шар радиуса $a$ вращается с постоянной угловой скоростью $n$ вокруг вертикального диаметра. В точке, удаленной от наивысшей точки на расстояние $a \alpha$, на него положен второй однородный шар радиуса $b$. Определить движение и угловую скорость второго шара в любой точке. Показать, что этот шар оставляет поверхность первого шара в точке, для которой угловое расстояние $\vartheta$ от наивысшей точки определяется уравнением:
\[
\cos \vartheta=\frac{10}{17} \cos \alpha+\frac{4}{119} \frac{a^{2} n^{2} \sin ^{2} \alpha}{(a+b) g} .
\]
(Camb. Math. Tripos, часть 1,1889 .)
2. Шероховатый шар радиуса $a$ катится под действием силы тяжести по поверхности конуса вращения (вершина которого расположена сверху), вращающегося с постоянной угловой скоростью $n$ вокруг своей вертикальной оси. Угол раствора конуса равен $2 \alpha$, расстояние центра шара от оси конуса равно $r \sin \alpha$, угол поворота вертикальной плоскости, проходящей через центр шара, относительно конуса равен $\psi$, угловая скорость шара относительно общей нормали равна $\omega_{3}$. Показать, что
\[
\begin{array}{c}
7 \dot{r}^{2}+\frac{2+5 \sin ^{2} \alpha}{49}\left(\frac{A}{r}+n r+B\right)^{2}-10 \operatorname{gr} \cos \alpha=C, \\
a\left(\omega_{3}-n \sin \alpha\right)=\frac{\cos \alpha}{7}\left(\frac{A}{r}+n r\right)+\frac{\left(2+5 \sin ^{2} \alpha\right) B}{14 \cos \alpha}, \\
(7 \dot{\psi}-6 n) r^{2}=A,
\end{array}
\]

где $A, B, C$ – некоторые постоянные.
(Camb. Math. Tripos, часть 1, 1897.)
3. Однородное тело вращения массы $M$ с плоским круговым основанием радиуса $c$ катится без скольжения своим краем по шероховатой горизонтальной плоскости. Показать, что $\vartheta, \omega$ и $\Omega$ определяются уравнениями:
\[
\begin{array}{c}
M a c \frac{d}{d \vartheta}\left(\Omega \cos ^{2} \vartheta\right)-M c^{2} \Omega \cos ^{2} \vartheta=\left(C+M c^{2}\right) \cos \vartheta \frac{d \omega}{d \vartheta} \\
\left\{A\left(C+M c^{2}\right)-M^{2} a^{2} c^{2}\right\} \frac{d}{d \vartheta}\left(\Omega \cos ^{2} \vartheta\right)+C\left(C+M c^{2}\right) \omega \cos \vartheta- \\
-M a c C \Omega \cos ^{2} \vartheta=0 \\
\left(A+M c^{2}\right) \dot{\vartheta}^{2}+A \Omega^{2} \cos ^{2} \vartheta-2 M a c \omega \Omega \cos \vartheta+\left(C+M c^{2}\right) \omega^{2}+ \\
+2 M g(a \sin \vartheta+c \cos \vartheta)=\text { const }
\end{array}
\]

где $\vartheta$ – угол наклона оси тела к горизонту, $\Omega$ – угловая скорость вертикальной плоскости, проходящей через ось тела, $\omega$ – угловая скорость тела относительно своей оси, $A$ – момент инерции тела относительно диаметра основания, $C$ – момент инерции тела относительно своей оси, $a$ – расстояние центра тяжести от основания. (Camb. Math. Tripos, часть 1, 1898.)
4. Колесо с $4 n$ симметрично расположенными спицами катится с горизонтально направленной осью по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Колесо и спицы сделаны из тяжелой тонкой проволоки. Показать, что условием устойчивости будет:
\[
V^{2}>\frac{3}{4} \frac{2 n+\pi}{4 n+3 \pi} g a,
\]

где $a$ – радиус колеса, а $V$ – его скорость.
5. Тело катится под действием тяжести по неподвижной горизонтальной плоскости, принимаемой за плоскость $y z$. Показать, что
\[
\sum m\left\{\left(y-y_{A}\right) \dot{z}-\left(z-z_{A}\right) \dot{y}\right\}=\text { const },
\]

где $x, y, z$ – координаты материальной точки, $m, x_{A}, y_{A}, z_{A}$ – координаты точки касания, и суммирование распространено на все точки тела. (Neumann)
6. Одна половина горизонтальной плоскости гладкая, а другая половина абсолютно шероховатая. Однородный тяжелый эллипсоид с полуосями $a, b, c$ движется в направлении оси $a$ со скоростью $v$ из гладкой части плоскости в шероховатую, причем его ось $b$ все время вертикальна. Показать, что если
\[
v^{2}<2 g \frac{b^{2}+k^{2}}{b^{2}}(a-b),
\]

где $k$ – радиус инерции относительно оси $c$, то эллипсоид снова возвращается на гладкую часть плоскости, и при этом его движение является колебанием около стационарного состояния движения.

Показать также, что для частного случая $a=2 b$, ось $b$ эллипсоида, после возвращения на гладкую часть плоскости, не может образовывать с вертикалью угла большего, чем $\operatorname{arctg} \sqrt{\frac{5}{7}}$.
7. Внутри оболочки, имеющей форму вытянутого эллипсоида вращения, центр тяжести которого совпадает с его центром, находится симметричный гироскоп, вращающийся с угловой скоростью $\omega$ вокруг своей оси. Центр гироскопа и его ось совпадают с центром и осью эллипсоида. Показать, что при стационарном движении эллипсоида по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости, при котором его центр описывает круг радиуса $c$ с угловой скоростью $\Omega$, угол $\alpha$ наклона оси относительно вертикали определяется уравнением:
\[
\begin{array}{c}
\{M b c(a \operatorname{ctg} \alpha+b)-A b \cos \alpha+C(a \sin \alpha+c)\} \Omega^{2}+ \\
C^{\prime} b \omega \Omega-M g b(a-b \operatorname{ctg} \alpha)=0,
\end{array}
\]

где $M$ означает общую массу гироскопа и оболочки, $A$ – момент инерции оболочки и гироскопа, вместе взятых, относительно прямой, проходящей через центр перпендикулярно к их оси, $C$ и $C^{\prime}$ – моменты инерции оболочки и гироскопа (в отдельности) относительно их осей, $a$ расстояние между точкой касания эллипсоида с плоскостью и его центром, измеряемое параллельно оси, $b$ – расстояние этой точки касания от оси. (Camb. Math. Tripos, часть I, 1899.)
8. Однородный шероховатый шар радиуса $a$ скатывается из состояния покоя по двум взаимно перпендикулярным скрещивающимся стержням, кратчайшее расстояние между которыми равно $2 c$, и которые наклонены (оба) под углом $\alpha$ к вертикали. Пусть $\rho_{0}$ и $\rho_{0}^{\prime}$ – начальные расстояния точек касания от точек кратчайшего расстояния между стержнями, а $\rho$ и $\rho^{\prime}$ – эти расстояния в последующий момент времени, когда уже достигнута скорость, равная $V$. Показать, что
\[
V^{2}=16 c^{2} \frac{\left\{\rho^{2}{\rho^{\prime}}^{2}-a^{2}\left(\rho^{2}+{\rho^{\prime}}^{2}\right)\right\} \dot{\rho} \dot{\rho}^{\prime}}{\left\{16 c^{4}-\left(\rho^{2}-{\rho^{\prime}}^{2}\right)^{2}\right\} \rho \rho^{\prime}}
\]

и
\[
\begin{array}{c}
V^{2} \frac{28 a^{2}-20 c^{2}-5 \rho^{2}-5{\rho^{\prime}}^{2}}{4 a^{2}-4 c^{2}-\rho^{2}-{\rho^{\prime}}^{2}}= \\
=\left\{\left(\rho-\rho_{0}+\rho^{\prime}-\rho_{0}^{\prime}\right) \cos \alpha+\frac{1}{4 c}\left(\rho^{2}-\rho_{0}^{2}-{\rho^{\prime}}^{2}+{\rho^{\prime}}_{0}^{2}\right) \sqrt{-\cos 2 \alpha}\right\} .
\end{array}
\]
(Camb. Math. Tripos, часть I, 1899.)
9. Материальная точка движется под действием силы тяжести по шероховатой винтовой линии с вертикальной осью, радиусом $a$ и углом $\gamma$. Показать, что скорость $v$ и путь $s$ могут быть выражены как функции некоторого параметра $\vartheta$ в виде:
\[
\begin{array}{c}
-\frac{2}{a} \cos \gamma \cdot s=\int \frac{\left(1+\vartheta^{2}\right) d \vartheta}{\vartheta\{\mu \cos \gamma+\vartheta(\mu \cos \gamma+2 \sin \gamma)\}}, \\
v^{2}=\frac{g a}{2 \cos \gamma}\left(\vartheta-\frac{1}{\vartheta}\right) .
\end{array}
\]

10. Материальная точка бросается горизонтально со скоростью и на наклонную шероховатую плоскость так, что она по ней скользит. Исследовать движение и показать, что при
\[
2 \geqslant 2 \mu \operatorname{ctg} \alpha>1
\]

точка приближается асимптотически к прямой наибольшего уклона, отстоящей на расстоянии:
\[
\frac{u^{2}}{g} \frac{2 \mu \cos \alpha}{4 \mu^{2} \cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha},
\]

где $\mu$ – коэффициент трения и $\alpha$ – угол наклона плоскости.
11. Шероховатая трубка, имеющая форму циклоиды, поставлена вертикально так, что ее вершина расположена в наивысшей точке. Радиус образующего круга равен $a$. Из вершины скатывается материальная точка с начальной скоростью $\sqrt{4 a g} \sin \alpha$. Показать, что она достигает острия циклоиды со скоростью:
\[
\left[4 a g \cos ^{2} \alpha\left\{1-2 \sin \alpha e^{-\left(\frac{1}{2} \pi-\alpha\right) \operatorname{tg} \alpha}\right\}\right]^{\frac{1}{2}},
\]

где $\alpha$ – угол трения.
12. Тяжелый стержень длины $2 a$ движется в вертикальной плоскости таким образом, что один его конец все время касается шероховатой вертикальной стены, а другой конец – шероховатой горизонтальной плоскости. Коэффициенты трения стены и плоскости одинаковы и равны $\operatorname{tg} \varepsilon$. Показать, что наклон стержня относительно вертикали в любой момент времени определяется уравнением:
\[
\ddot{\vartheta}\left(k^{2}+a^{2} \cos 2 \varepsilon\right)-a^{2} \dot{\vartheta}^{2} \sin 2 \varepsilon=a g \sin (\vartheta-2 \varepsilon) .
\]
13. В наинизшей точке тонкостенного сферического сосуда, стоящего на шероховатой горизонтальной плоскости, находится материальная точка конечной массы. Коэффициент трения между материальной точкой и сосудом известен, а коэффициент трения между сосудом и плоскостью практически бесконечно велик. Движение с двумя степенями свободы вызвано тем, что сосуду при помощи толчка сообщают угловую скорость $\Omega$. Составить уравнение, определяющее угол поворота сосуда в тот момент времени, когда точка начинает скользить.
14. Вертикальный круговой диск радиуса $a$ касается шероховатой (коэффициент трения $\mu$ ) пластинки, которая может свободно вращаться вокруг лежащей на ее верхней поверхности горизонтальной оси, проходящей через ее центр тяжести. Точка касания диска отстоит от оси на расстоянии $b$. Нить, укрепленная одним концом к наиболее отдаленной от пластинки точке диска, протянута параллельно поверхности пластинки к перпендикулярной к ней стойке, прикрепленной к доске и проходящей через ось. Центр тяжести пластинки со стойкой лежит на оси. В тот момент, когда система приходит в движение, центр диска лежит в горизонтальной плоскости, проходящей через ось. Показать, что диск начинает скользить, когда угол наклона пластинки к вертикали достигает величины $\vartheta$, определяемой уравнением:
\[
\operatorname{tg} \vartheta=\frac{A+a^{2}+6 \mu a b+3 b^{2}}{2 \mu A+7 \mu a^{2}+\frac{5}{2} a b},
\]

где $A$ – отношение момента инерции пластинки относительно оси вращения к массе диска.
15. Обруч брошен вниз по наклонной плоскости со скоростью $V$. Угол наклона плоскости равен $\alpha$, а коэффициент трения равен $\mu$ (> $\operatorname{tg} \alpha$ ). В начальный момент обруч имеет такую обратно направленную угловую скорость $\Omega$, что по истечении промежутка времени $t_{1}$ он начинает катиться вверх и затем, находясь в таком движении в течение промежутка времени $t_{2}$, снова начинает катиться вниз. Показать, что если движение происходит в вертикальной плоскости, перпендикулярной к наклонной плоскости, то
\[
\left(t_{1}+t_{2}\right) g \sin \alpha=a \Omega-V .
\]
16. Кольцо радиуса $a$ укреплено на гладкой горизонтальной плоскости. Внутри этого кольца положено на плоскость второе кольцо, касающееся первого. Внутреннее кольцо приводится в движение без вращения с начальной скоростью $V$, направленной по касательной в точке соприкосновения. Определить, когда оно перестанет скользить, если коэффициент трения равен $\mu$, и показать, что к этому моменту времени точка касания опишет дугу длиной $\frac{a \ln 2}{\mu}$. Исследовать, какое получится движение, если в тот момент, когда внутреннее кольцо перестанет скользить, внешнее кольцо внезапно освободить. Показать, что за промежуток времени, в течение которого внутреннее кольцо, катясь по внешнему, опишет половину его периметра, центр последнего переместится на расстояние:
\[
\frac{m}{M+m}(a-b)\left(\pi^{2}+4\right)^{\frac{1}{2}},
\]

где $m$ и $b$ – масса и радиус внутреннего кольца, а $M$ – масса наружного кольца. (Camb. Math. Tripos, часть I, 1900.)

17. Показать, что при падении тяжелой точки в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости, величина
\[
e^{-k \alpha}+e^{k \beta},
\]

где $k v^{2}$ – сопротивление, а $\alpha$ и $\beta$ – два отрезка, проходимые точкой за два последовательных равных интервала времени $\tau$, зависит только от $\tau$, но не зависит от начальной скорости.
18. Показать, что при падении без начальной скорости тяжелой материальной точки в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости, путь, пройденный точкой к моменту времени $t$, paвен $\frac{U^{2} \ln \operatorname{ch} \frac{g t}{U}}{g}$, а ее скорость равна $U \operatorname{th} \frac{g t}{U}$. Здесь $U$ есть конечная скорость в этой среде.

Показать далее, что угол $\vartheta$ асимптоты траектории снаряда в такой среде определяется уравнением:
\[
\frac{U^{2}}{V^{2}}=\operatorname{arcsh} \operatorname{ctg} \vartheta+\frac{\operatorname{ctg} \vartheta}{\sin \vartheta}
\]

где $V$ – скорость снаряда в момент горизонтального движения.
19. Показать, что координаты $x$ и $y$ материальной точки, падающей под действием силы тяжести в среде с сопротивлением $R$, удовлетворяют уравнению:
\[
\frac{d^{3} y}{d x^{3}}+\frac{2 g R}{v^{4} \cos ^{3} \varphi}=0,
\]

где $v$ – скорость, а $\varphi$ – угол касательной с горизонталью.
20. Материальная точка движется под действием силы тяжести в среде, сопротивление которой пропорционально скорости. Показать, что уравнение траектории, отнесенное к вертикальной асимптоте и прямой, параллельной направлению движения при бесконечно большой скорости $(t=-\infty)$, может быть представлено в виде:
\[
y=b \ln \frac{x}{a} .
\]
21. Показать, что при движении снаряда в сопротивляющейся среде, вызывающей замедление $k v^{3}$, где $k$ мало, приближенное (пренебрегая $k^{2}$ ) уравнение траектории при горизонтальном выстреле с начальной скоростью $V$ имеет вид:
\[
y=\frac{g x^{2}}{2 V^{2}}+\frac{k g x^{3}}{3 V}\left(1+\frac{g^{2} x^{2}}{10 V^{4}}\right),
\]

где за ось $x$ взято направление выстрела, а за ось $y$ – направленная вниз вертикаль.

22. Материальная точка движется прямолинейно по инерции в сопротивляющейся среде, сопротивление которой есть $\frac{v^{2}-v^{3} \ln s}{s}$, где $v-$ скорость, а $s$ – расстояние от заданной точки прямой. Показать, что зависимость между $s$ и $t$ определяется уравнением вида:
\[
t=a+\frac{1}{2} c s^{2}+s \ln s,
\]

где $a$ и $c$ – постоянные.
23. Материальная точка движется в сопротивляющейся среде под действием притягивающего центра. Пусть $R$ – вызванное сопротивлением среды замедление, а $v$ – скорость. Показать, что секториальная скорость радиуса вектора из центра силы пропорциональна
\[
e^{-\int \frac{R}{v} d t}
\]
24. Показать, что в сопротивляющейся среде материальная точка может описывать параболу под действием центральной силы, направленной к фокусу и пропорциональной расстоянию, если сопротивление в точке, где скорость равна $v$, равно $k\left\{v\left(v-v_{0}\right)\right\}^{\frac{1}{2}}$, где $v_{0}$ – скорость в вершине. Определить $k$.
25. Материальная точка движется в сопротивляющейся среде под действием центральной силы $P$. Сопротивление среды равно $R$.
Показать, что
\[
\frac{d}{d s}\left\{P p^{2} \frac{d r}{d p}\right\}=-2 R p^{2},
\]

где $r$ – радиус-вектор, а $p$ – перпендикуляр на касательную.
Если $u=\frac{1}{r}, P=\mu u^{2}, R=k v^{2}$, то показать, что, пренебрегая вторыми и высшими степенями $k$, уравнение траектории будет иметь вид:
\[
p \frac{d^{2} p}{d u^{2}}-3\left(\frac{d p}{d u}\right)^{2}=\frac{2 \mu k}{h^{2}} \frac{u^{2}}{\left(1-p^{2} u^{2}\right)^{\frac{1}{2}}},
\]

где $h$ – определенная постоянная.
26. Материальная точка, отталкиваемая центральной силой $\varphi(r)$ от начала, находится в сопротивляющейся среде, замедляющая сила которой равна $k$-кратной величине скорости. Показать, что траектория определяется уравнениями:
\[
r^{2} \dot{\vartheta}=h e^{-k t}, \quad \ddot{r}+k \dot{r}-h^{2} r^{-3} e^{-2 k t}=\varphi(r),
\]

где $h$ – постоянная.

27. Материальная точка описывает окружность под действием притягивающей силы, пропорциональной расстоянию, из внутренней точки. Сопротивление среды равно произведению квадрата скорости на плотность. Показать, что плотность в любой точке пропорциональна тангенсу угла между прямыми, соединяющими эту точку с центром силы и центром окружности.
28. Стержень длины $a$ вращается вокруг закрепленного конца. На него не действуют никакие силы за исключением сопротивления воздуха. Предполагая, что эффект замедления от сопротивления на элемент длины $d x$ равен $A d x$, умноженному на квадрат скорости, показать, что угловая скорость в момент времени $t$ определяется уравнением:
\[
\frac{1}{\omega}-\frac{1}{\Omega}=\frac{A a^{4}}{4 M k^{2}} t,
\]

где $M k^{2}$ – момент инерции стержня относительно конца, а $\Omega$ – постоянная.
29. Гладкий овальный диск массы $M$, не имеющий поступательной скорости, вращающийся с угловой скоростью $\omega$ на гладкой горизонтальной плоскости, ударяется о середину горизонтального стержня массы $m$. Показать, что угловая скорость уменьшится в отношении
\[
(M+m) k^{2}-m e x^{2}:(M+m) k^{2}+m x^{2},
\]

где $e$ – коэффициент упругости, $x$ – расстояние центра тяжести от нормали в точке соприкосновения, $k$ – радиус инерции относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести.
30. Два стержня одинаковой длины $a$ и массы $m$ связаны верхними концами при помощи шарнира. Они падают на гладкую неупругую плоскость, сохраняя симметрию относительно вертикальной плоскости. Непосредственно перед ударом шарнир имел скорость $V$, а каждый из стержней – угловую скорость $\Omega$, увеличивающую наклон $\alpha$ к горизонту. Показать, что импульс между каждым стержнем и плоскостью равен:
\[
\frac{m\left(k^{2}+c^{2} \sin ^{2} \alpha\right)(V+a \Omega \cos \alpha)}{k^{2}+c^{2}+a(a-2 c) \cos ^{2} \alpha},
\]

где $c$ – расстояние центра тяжести каждого стержня от шарнира, a $m k^{2}$ – их моменты инерций относительно центра тяжести.
31. Три одинаковых однородных стержня $A B, B C, C D$ длины $2 a$, связанные шарнирами в точках $B$ и $C$, лежат на одной прямой и движутся с заданной скоростью по горизонтальной плоскости перпендикулярно к их направлению. Концы $A$ и $D$ ударяются одновременно о два неподвижных, неупругих препятствия, приводящие их в состояние покоя. Определить, при каком условии стержни образуют равносторонний треугольник и показать, что при ударе теряется $\frac{1}{5}$ первоначального количества движения.
32. Однородный гладкий куб может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через центры двух противоположных граней. Он находится в покое, причем его противоположные грани горизонтальны. Второй куб, равный первому, падает без вращения со скоростью $u$ и сталкивается с первым по прямой, параллельной оси вращения и отстоящей на расстоянии с от вертикальной плоскости, проходящей через эту ось. Показать, что нижний куб приобретает вследствие удара угловую скорость, равную:
\[
\frac{(1+e) c u}{c^{2}+k^{2}+a^{2}(1-\sin 2 \alpha)},
\]

где $\alpha$ – угол наклона нижней грани падающего куба относительно горизонтали, $2 a$ – длина ребра, $k$ – радиус инерции и $e$ – постоянная $\S 95$.

Далее, определить движение верхнего куба непосредственно после удара.
33. Вполне упругий круговой диск массы $M$ и радиуса $c$ ударяется без вращения о стержень массы $m$ и длины $2 a$, который может свободно вращаться вокруг своей середины. Точка соприкосновения отстоит от середины стержня на расстоянии $b$. Показать, что $M b^{2}=m a^{2}$, если компонент скорости центра диска по направлению, перпендикулярному стержню, уменьшается после удара вдвое и если трение достаточно велико, чтобы предотвратить скольжение.
34. Абсолютно шероховатый шар падает на горизонтальную плоскость с высоты $h$ и с начальной скоростью $V$. Шар имеет в начале также и угловую скорость $\Omega$ относительно горизонтального диаметра, перпендикулярного к плоскости движения. Показать, что он переместится в горизонтальном направлении на расстояние:
\[
\frac{2 \sqrt{2}}{7} \sqrt{\frac{h}{g}} \frac{e}{1-e}(5 V+2 a \Omega),
\]

прежде чем он перестанет прыгать по плоскости. Здесь $е$ есть коэффициент упругости, и расстояние отмеряется от первой точки соприкосновения.
Сравнить кинетические энергии в начале и в конце.

35. Однородный упругий шар (коэффициент упругости $e$ ) брошен на вертикальную шероховатую стену таким образом, что его центр движется в вертикальной плоскости, перпендикулярной к стене. Компоненты начальной скорости центра шара суть $u$ и $v$, и шар вращается с угловой скоростью $\Omega$ вокруг оси, перпендикулярной к вертикальной плоскости. Определить движение после удара и показать, что если центр шара возвращается в исходное положение, то точка соприкосновения шара со стеной при ударе имеет относительно исходной точки координаты:
\[
\frac{2 e u}{g} \frac{(7 e+5) v+2 a \Omega}{7+10 e+7 e^{2}}+a
\]

и
\[
\frac{2 e}{g} \frac{\{(7 e+5) v+2 a \Omega\}\{v(7+5 e)-2 a e \Omega\}}{\left(7+10 e+7 e^{2}\right)^{2}},
\]

где $a$ – радиус шара.