Так же как и в случае с двумя степенями свободы, возможность разрешения в квадратурах задачи движения системы с тремя степенями свободы обусловливается обычно или существованием двух циклических координат, дающих интегралы количества движения и момента количества движения, или возможностью разделения переменных в кинетическом потенциале. Поясним это на следующих примерах.
1. Движение стержня в заданном силовом поле. Однородный стержень массы $m$ и длины $2 a$ может свободно двигаться по гладкой горизонтальной плоскости. Каждый элемент стержня притягивается неподвижной прямой с силой, прямо пропорциональной массе элемента и его расстоянию от прямой.

Пусть $x$ и $y$ – координаты середины стержня, а $\vartheta$ – угол, под которым он наклонен к притягивающей прямой. Тогда для кинетической и потенциальной энергий имеем:
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\frac{1}{3} a^{2} \dot{\vartheta}^{2}\right), \\
V=\frac{m \mu}{4 a} \int_{-a}^{+a}(y+r \sin \vartheta)^{2} d r
\end{array}
\]

где $\mu$ – постоянная, или:
\[
V=\mu m\left(\frac{1}{2} y^{2}+\frac{1}{6} a^{2} \sin ^{2} \vartheta\right) .
\]

Уравнения Лагранжа дают:
\[
\begin{array}{c}
\ddot{x}=0, \quad \ddot{y}=-\mu y, \\
2 \ddot{\vartheta}+\mu \sin 2 \vartheta=0 .
\end{array}
\]

Из первых двух уравнений получаем:
\[
x=c t+d, \quad y=f \sin \left(\mu^{\frac{1}{2}} t+\varepsilon\right),
\]

где $c, d, f, \varepsilon$ – постоянные интегрирования. Середина стержня описывает, следовательно, синусоиду. Уравнение для $\vartheta$ имеет вид уравнения маятника и поэтому может быть проинтегрировано так же, как и в § 44 .
2. Движение стержня и цилиндра на плоскости. Система состоит из однородного гладкого цилиндра массы $M$ и радиуса $c$, движущегося по гладкой горизонтальной плоскости, и тяжелого стержня массы $m$ и длины $2 a$. Стержень находится в вертикальной плоскости, проходящей через центр тяжести цилиндра и перпендикулярной к его оси. Одним своим концом он опирается на плоскость, на которой находится цилиндр, касаясь в то же время поверхности цилиндра.

Допустим, что в момент времени $t$ расстояние образующей, вдоль которой цилиндр касается плоскости, от ее положения в начальный момент равно $x$, цилиндр повернулся на угол $\varphi$ и стержень образует с вертикалью угол $\vartheta$. Выберем систему координат в плоскости стержня; за оси $x$ и $y$ примем соответственно горизонтальное и вертикальное направления; за начало координат примем точку, лежащую на первоначальном положении прямой соприкосновения цилиндра и плоскости. Тогда координаты середины стержня будут соответственно равны:
\[
x-c \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\vartheta}{2}\right)+a \sin \vartheta \quad \text { и } \quad a \cos \vartheta .
\]

Пусть к моменту времени $t$ цилиндр повернулся на угол $\varphi$. Система имеет кинетическую энергию:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{6} m a^{2} \dot{\vartheta}^{2}+\frac{1}{2} m\left\{\dot{x}-\frac{c \dot{\vartheta}}{2} \sin ^{-2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\vartheta}{2}\right)+a \dot{\vartheta} \cos \vartheta\right\}^{2}+ \\
& +\frac{1}{2} m a^{2} \dot{\vartheta}^{2} \sin ^{2} \vartheta+\frac{1}{2} M \dot{x}^{2}+\frac{1}{4} M c \dot{\varphi}^{2}
\end{aligned}
\]

и потенциальную энергию:
\[
V=m g a \cos \vartheta .
\]

Координаты $x$ и $\varphi$ будут, очевидно, циклическими; им соответствуют интегралы:
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}=\text { const, } \quad \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=\text { const. }
\]

Первый из них может быть истолкован как интеграл количества движения системы относительно оси $x$, а второй – как интеграл момента количества движения цилиндра относительно своей оси. Этим интегралам можно придать вид:
\[
\begin{array}{c}
m\left\{\dot{x}-\frac{c \dot{\vartheta}}{2} \sin ^{-2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\vartheta}{2}\right)+a \dot{\vartheta} \cos \vartheta\right\}+M \dot{x}=\text { const } \\
\frac{1}{2} M c^{2} \dot{\varphi}=\text { const. }
\end{array}
\]

Исключая из этих уравнений и уравнения энергии
\[
T+V=\text { const }
\]

величины $\dot{x}$ и $\dot{\varphi}$, получим:
\[
\dot{\vartheta}^{2}\left[\frac{1}{3} a^{2}+a^{2} \sin ^{2} \vartheta+\frac{M}{M+m}\left\{a \cos \vartheta-\frac{c}{2} \sin ^{-2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\vartheta}{2}\right)\right\}^{2}\right]=d-2 g a \cos \vartheta,
\]

где $d$ – постоянная. Так как в этом уравнении переменные $\vartheta$ и $t$ разделяются, то из него можно будет выразить величину $\vartheta$ как функцию от $t$. Тогда предыдущие два интеграла дадут возможность найти также и величины $x$ и $\varphi$.