Теорема Пуассона, как это и следовало ожидать, имеет аналог и в теории скобок Лагранжа.
Пусть интегралы
\[
u_{r}=a_{r} \quad(r=1,2, \ldots, 2 n)
\]

представляют полное решение динамической системы с $n$ степенями свободы. Здесь величины $u_{r}$ суть известные функции переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t$, а $a_{r}$ – произвольные постоянные. При помощи этих уравнений можно выразить $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ как функции от $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 n}$ и от $t$ и составить скобки Лагранжа $\left[a_{r}, a_{s}\right]$, где $a_{r}$ и $a_{s}$ – две произвольные величины из ряда $a_{1}$, $a_{2}, \ldots, a_{2 n}$.

Так как переход от значений переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots$, $p_{n}$ в момент времени $t$ к их значениям в момент времени $t+\Delta t$ есть контактное преобразование, то ( $\$ 128$ )
\[
\frac{d}{d t} \sum_{r=1}^{n}\left(\Delta q_{r} \delta p_{r}-\delta q_{r} \Delta p_{r}\right)=0,
\]

где $\Delta$ и $\delta$ означают символы двух независимых переходов от какойнибудь траектории к двум другим бесконечно близким траекториям. Если обозначить через $\delta$ вариацию, при которой из всех величин $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 n}$ изменяется одна лишь величина $a_{i}$, а через $\delta$ вариацию, при которой изменяется лишь $a_{j}$, то предыдущее уравнение переходит в
\[
\frac{d}{d t} \sum_{r=1}^{n}\left(\frac{\partial q_{r}}{\partial a_{i}} \frac{\partial p_{r}}{\partial a_{j}}-\frac{\partial q_{r}}{\partial a_{j}} \frac{\partial p_{r}}{\partial a_{i}}\right)=0
\]

или
\[
\frac{d}{d t}\left[a_{i}, a_{j}\right]=0,
\]
т. е. скобка Лагранжа $\left[a_{i}, a_{j}\right]$ в течение всего движения остается постоянной вдоль всякой траектории. Эта теорема высказана Лагранжем в 1808 г.

Теорема Лагранжа в противоположность теореме Пуассона не дает возможности нахождения новых интегралов, ибо для вычисления скобки Лагранжа нужно предварительно знать все интегралы системы.