1. Мгновенная ось вращения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, сохраняет неизменным свое положение относительно тела. Показать, что в этом случае положение этой оси относительно пространства остается также неизменным, т. е. что движение представляет собой вращение вокруг неподвижной оси.
2. Точка отнесена к осям $x$ и $y$, вращающимся вокруг начала с угловой скоростью $\omega$. Она имеет относительно точки $x=a,y=0$ ускорение, равное расстоянию, умноженному на $n^2{\omega }^2$. Показать, что траектория может быть построена беря: 1) точку $x=\frac{n^{2}a}{n^2-1},y=0;2$ ) равномерное круговое движение с угловой скоростью ( $n-1$ ) $\omega$ вокруг этой точки и 3) равномерное круговое движение в противоположном направлении с угловой скоростью $(n+1)\omega$ вокруг этой же точки.
3. Скорость точки, движущейся на плоскости, складывается из скорости $v$ по направлению радиуса-вектора относительно какой-нибудь неподвижной точки и скорости $v^{\prime }$, параллельной какой-нибудь неподвижной прямой. Показать, что соответствующие ускорения суть:
$$\frac{dv}{dt}+\frac{v{v}^{\prime }}{r}\cos \vartheta \text{ и }\frac{d{v}^{\prime }}{dt}+\frac{v{v}^{\prime }}{r},$$

где $\vartheta$ — угол между радиусом-вектором и неподвижной прямой.
4. Точка, движущаяся на плоскости, отнесена к косоугольным осям координат, образующим с какой-нибудь неподвижной прямой углы $\alpha$ и $\beta$, где $\alpha$ и $\beta$ суть заданные функции от времени. Показать, что компоненты скоростей суть:
$$\dot{x}-x\dot{\alpha }\mathrm{ctg}(\beta -\alpha )-\frac{y\dot{\beta }}{\sin (\beta -\alpha )}\text{ и }\dot{y}+y\dot{\beta }\mathrm{ctg}(\beta -\alpha )+\frac{\dot{x}\alpha }{\sin (\beta -\alpha )},$$

и вычислить компоненты ускорения.
5. Точка движется на плоскости. Логарифм отношения ее расстояний от двух неподвижных точек этой плоскости равен $\vartheta$, угол между этими расстояниями равен $\phi$, расстояние между неподвижными точками равно $2k$. Показать, что скорость точки равна
$$\frac{k\sqrt{{\dot{\vartheta }}^2+{\dot{\phi }}^2}}{\mathrm{ch}\vartheta -\cos \phi }.$$

6. Точка описывает дважды одну и ту же траекторию, причем произведение скоростей в соответствующих положениях при обоих движениях остается постоянным. Показать, что ускорения относятся как квадраты скоростей и что они образуют равные, но противоположно направленные углы с нормалью к траектории. (J. von Vieth.)
7. Точка движется по параболе, параметр которой равен $4a$. На расстоянии $r$ от фокуса она имеет скорость $v$. Показать, что ее ускорение складывается из ускорении $R$ и $N$ в направлении радиуса-вектора и нормали, причем
$$R=v\frac{dv}{dr},N=\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2r^{\frac{3}{2}}}\frac{d}{dr}\left(v^{2}r\right).$$
8. Оси $x$ и $y$ вращаются с угловыми скоростями ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$ и образуют между собой угол $\psi$. Показать, что компоненты по осям координат ускорения точки суть:
$$\ddot{x}-x{\omega }_1^2-(x{\dot{\omega }}_1+2\dot{x}{\omega }_1)\mathrm{ctg}\psi -(y{\dot{\omega }}_2+2\dot{y}{\omega }_2)\frac{1}{\sin \psi }$$

и
$$\ddot{y}-y{\omega }_2^2-(x{\dot{\omega }}_1+2\dot{x}{\omega }_1)\frac{1}{\sin \psi }+(y{\dot{\omega }}_2+2\dot{y}{\omega }_2)\mathrm{ctg}\psi .$$
9. Скорость точки складывается из ее компонентов $u$ и $v$ по двум направлениям, образующим с неподвижной прямой углы $\vartheta$ и $\phi$. Показать, что компоненты $f$ и $f^{\prime }$ ускорения по тем же направлениям определяются равенствами:
$$\begin{array}{rl}f& =\dot{u}-u\dot{\vartheta }\mathrm{ctg}\chi -\frac{v\dot{\phi }}{\sin \chi }\\ f^{\prime }& =\dot{v}+\frac{u\dot{\vartheta }}{\sin \chi }+v\dot{\phi }\mathrm{ctg}\chi \end{array}$$

где $\chi$ — угол между обоими направлениями. Обозначая, далее, через $r$ и $s$ радиусы-векторы движущейся точки относительно двух неподвижных и через $\vartheta$ и $\phi$ — углы наклона этих радиусов-векторов относительно прямой, соединяющей эти точки, определить ускорение движущейся точки как функции величин $\omega ={\dot{\vartheta }}_{\text{и }}{\omega }^{\prime }=\dot{\phi }$.
10. $A,B$ и $C$ означают три ненодвижные точки, а $u,v,w-$ комноненты скорости какой-нибудь точки $P$ по направлениям $PA,PB,PC$. Показать, что компоненты ускорения определяются выражением:
$$\dot{u}+uv(\frac{1}{PB}-\frac{\cos APB}{PA})+uw(\frac{1}{PC}-\frac{\cos APC}{PA})$$

и двумя другими выражениями, аналогичными этому.

11. Движение плоской пластинки задано ее угловой скоростью $\omega$ и компонентами $u$ и $v$ скорости начала координат по осям $Ox,Oy$, взятыми на пластинке. Определить компоненты скорости любой точки пластинки. Показать, далее, что уравнения
$$\frac{d}{dt}\mathrm{arctg}\left(\frac{u-y\omega }{v+x\omega }\right)=\pm \omega$$

опеделяют на пластинке две окружности, из которых первая есть геометрическое место точек перегиба всех траекторий, а вторая — геометрическое место центров кривизны, огибающих всех прямых пластинки.
12. Точка описывает кривую двойной кривизны. Показать, что ее ускорение может быть разложено на два компонента, из которых один направлен по радиусу-вектору относительно проекции какой-нибудь неподвижной точки на плоскость кривизны, а другой — по касательной. Значения этих компонентов равны соответственно:
$$\frac{r}{p^3}\frac{T^2}{\rho }\text{ и }\frac{T}{p^2}\frac{dT}{ds}+\frac{T^2}{p^4}q\frac{dq}{ds}.$$

Здесь $\rho$ означает радиус кривизны, $q$ — расстояние неподвижной точки от ее проекции на плоскость кривизны, $r$ и $p$ — расстояния этой проекции от движущейся точки и от касательной, $T$ — произвольную функцию (произведение скорости на $p$ ), $s$ — дугу. (Siacci.)
13. На плоскости лежат окружность, прямая и точка. Положение точки определяется ее расстоянием $p$ от прямой и длиной $t$ — касательной, проведенной из нее к окружности. Компоненты ее скорости по направлениям, определяемым отрезками $t$ и $p$, равны соответственно $u$ и $v$. Угол между этими направлениями равен $\vartheta$. Показать, что
$$\dot{u}-uv\cos \frac{\vartheta }{t}\text{ и }\dot{v}+u\frac{v}{t}$$

суть компоненты ускорения по тем же направлениям.
14. Точка движется по дуге окружности. Ее расстояния от концов $A$ и $B$ какой-нибудь неподвижной хорды равны $r$ и $r^{\prime }$. Показать, что компоненты ускорения точки $P$ по направлениям $AB$ и $BP$ равны соответственно:
$$\frac{dv}{dt}+\frac{v{v}^{\prime }}{r{r}^{\prime }}(r-r\cos \alpha )\text{ и }\frac{d{v}^{\prime }}{dt}+\frac{v{v}^{\prime }}{r{r}^{\prime }}(r^{\prime }-r\cos \alpha ),$$

где $v,v^{\prime }$ суть компоненты скорости по направлениям $r,r^{\prime }$, а $\alpha -$ угол $APB$.

Точка описывает половину окружности под действием ускорений, направленных к концам некоторого диаметра и в каждом положении обратно пропорциональных расстояниям $r,r^{\prime }$ от этих концов. Показать, что эти ускорения равны соответственно:
$$\frac{4a^4{V}^2}{r^3{r}^{\prime 2}}\text{ и }\frac{4a^4{V}^2}{r^2{r}^3},$$

где $a$ — радиус окружности, а $V$ — скорость точки в направлении диаметра.
15. Твердое тело движется параллельно плоскости. Его движение определяется компонентами $u$ и $v$ скорости какой-нибудь точки $C$ и его угловой скоростью $\omega$. Определить координаты относительно $C$ одной из точек $I$, имеющей скорость 0 и показать, что всякая другая точка $P$ движется перпендикулярно к $PI$.

Определить, далее, координаты точки $I$, имеющей ускорения, равные нулю, и выразить ускорение точки $P$ как функцию ее координат относительно $I$.
16. Точка движется с постоянной относительной скоростью $V$ на плоскости, вращающейся с угловой скоростью $\omega$ вокруг перпендикулярной к ней прямой. Показать, что траектория точки определяется уравнением:
$$\frac{V\vartheta }{\omega }=\sqrt{r^2-a^2}+\frac{V}{\omega }\arccos \frac{a}{r},$$

где $r$ и $\vartheta$ отнесены к неподвижным осям, а $a$ — кратчайшее расстояние точки от оси вращения.
17. Ускорение движущейся точки $Q$ определяется в каждое мгновение отрезком $\omega a$, где $\omega$ — неподвижная точка, а $a$ движется равномерно по окружности с центром $\omega$. Показать, что в каждое мгновение скорость точки $Q$ определяется отрезком $Op$, где $O$ — неподвижная точка, а $p-$ движется равномерно по некоторой окружности. Определить траекторию точки. (Camb. Math. Tripos., ч. 1, 1902.)
18. Точка движется по кривой пересечения эллипсоида $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ и однополого гиперболоида $\frac{x^2}{a^2-\lambda }+\frac{y^2}{b^2-\lambda }+\frac{z^2}{c^2-\lambda }$. Еe скорость в той точке, где траектория пересекается двуполым гиперболоидом $\frac{x^2}{a^2-\mu }+\frac{y^2}{b^2-\mu }+\frac{z^2}{c^2-\mu }$ равна:
$$h{\left\{\frac{\mu (\mu -\lambda )}{(a^2-\mu )(b^2-\mu )(c^2-\mu )}\right\}}^{\frac{1}{2}},$$

где $h$ — постоянная. Показать, что компонент ускорения по нормали к эллипсоиду равен:
$$\frac{h^{2}abc(\mu -\lambda )}{(a^2-\mu )(b^2-\mu )(c^2-\mu )\sqrt{\lambda \mu }}.$$
19. Твердое тело катится без скольжения по плоскости. Его угловая скорость имеет в каждое мгновение компоненты ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$ по касательным к линиям кривизны в точке соприкасания тела с плоскостью и компонент ${\omega }_3$ по нормали к его поверхности. Показать, что точка касания имеет компоненты ускорения:
$$-R_2{\omega }_1{\omega }_3,-R_1{\omega }_2{\omega }_3,R_1{\omega }_2^2+R_2{\omega }_1^2,$$

где $R_1$ и $R_2$ — главные радиусы кривизны поверхности тела в этой точке.