Перейдем теперь к исследованию малых колебаний неголономных систем. При этом обнаруживается, что при колебаниях около положения равновесия неголономность системы не имеет существенного значения.

Итак, рассмотрим колебания около положения равновесия некоторой неголономной системы с $n$ независимыми координатами и с $n-m$ степенями свободы, связи которой не зависят явно от времени. Пусть $T$ и $V$ – кинетическая и потенциальная энергии системы, для задачи о колебаниях $T$ предполагается однородной квадратичной формой относительно $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$, а $V$ – такой же формой относительно $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, причем коэффициенты в обеих формах предполагаются постоянными.
Если
\[
A_{1 k} \dot{q}_{1}+A_{2 k} \dot{q}_{2}+\cdots+A_{n k} \dot{q}_{n}=0 \quad(k=1,2, \ldots, m)
\]

суть уравнения неголономных связей, то согласно § 87 уравнениями движения будут:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)=-\frac{\partial V}{\partial q_{r}}+\lambda_{1} A_{r 1}+\lambda_{2} A_{r 2}+\ldots+\lambda_{m} A_{r m} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Из этих уравнений мы видим, что $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$ будут, вообще говоря, малыми величинами того же порядка, что и координаты. Поэтому в задаче о колебаниях нам следует учитывать только постоянные части величин $A_{11}, A_{12}, \ldots, A_{n m}$. Следовательно, колебания протекают так, как если бы коэффициенты $A_{11}, A_{12}, \ldots, A_{n m}$ были независящими от координат постоянными величинами. Но в этом случае уравнения
\[
A_{1 k} \dot{q}_{1}+A_{2 k} \dot{q}_{2}+\cdots+A_{n k} \dot{q}_{n}=0 \quad(k=1,2, \ldots, m)
\]

могут быть проинтегрированы и дают:
\[
A_{1 k} q_{1}+A_{2 k} q_{2}+\cdots+A_{n k} q_{n}=0 \quad(k=1,2, \ldots, m),
\]

где все постоянные интегрирования равны нулю, так как система значений
\[
q_{1}=0, q_{2}=0, \ldots, q_{n}=0
\]

определяет возможное положение системы.
Поэтому колебания неголономной системы совпадают с колебаниями такой голономной системы, у которой связи могут быть представлены в проинтегрированной форме:
\[
A_{1 k} q_{1}+A_{2 k} q_{2}+\cdots+A_{n k} q_{n}=0 \quad(k=1,2, \ldots, m) .
\]

Следовательно, для определения колебаний мы можем исключить при помощи этих уравнений $m$ координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$ из функций $T$ и $V$. Тогда мы получим голономную систему с $n-m$ степенями свободы, у которой кинетическая и потенциальная энергии выражены как функции $n-m$ координат и соответствующих скоростей. Колебания такой системы могут быть определены обычными способами предшествующей главы.
В качестве примера рассмотрим следующую задачу ${ }^{1}$.
Тяжелое однородное тело, имеющее форму полусферы, покоится на шероховатой горизонтальной плоскости, причем его выпуклая сторона обращена вниз. На верхнюю плоскость этой полусферы поставлена вторая полусфера, причем точка соприкасания совпадает с центром первой полусферы. Определить малые колебания системы около этого положения равновесия.
Выберем следующие системы координат:
1. Систему $Z_{2} x y z$, неразрывно связанную с верхней полусферой, с началом в центре тяжести $Z_{2}$.
2. Систему $Z_{1} \xi \eta \zeta$, неразрывно связанную с нижней полусферой, с началом в центре тяжести $Z_{1}$.
3. Неподвижную в пространстве систему с началом в точке соприкасания нижней полусферы с плоскостью в положении равновесия.

Мы предполагаем далее, что в положении равновесия оси $Z_{2} z, Z_{1} \zeta$ и $R n$ вертикальны и, следовательно, совпадают, а оси $Z_{2} x, Z_{1} \xi$ и $R l$, а следовательно, также и оси $Z_{2} y, Z_{1} \eta$ и $R m$ параллельны между собой.

Допустим, что в момент времени $t$ координаты какой-нибудь точки относительно этих различных систем координат связаны соотношениями:
\[
\begin{aligned}
\xi & =\alpha+\alpha_{1} x+\alpha_{2} y+\alpha_{3} z, \\
\eta & =\beta+\beta_{1} x+\beta_{2} y+\beta_{3} z, \\
\zeta & =\gamma+\gamma_{1} x+\gamma_{2} y+\gamma_{3} z, \\
l & =a+a_{1} \xi+a_{2} \eta+a_{3} \zeta, \\
m & =b+b_{1} \xi+b_{2} \eta+b_{3} \zeta, \\
n & =c+c_{1} \xi+c_{2} \eta+c_{3} \zeta .
\end{aligned}
\]
${ }^{1}$ Задача принадлежит Керкговен-Витгофу (Kerkhoven-Wythoff) Nieuw Archief voor Wiskunde, т. IV, 1899

В этих формулах преобразования 24 коэффициента определяют положение системы в любой момент времени. Но так как система имеет только шесть степеней свободы, то эти коэффициенты или их производные должны быть связаны восемнадцатью соотношениями. Двенадцать из них являются обычными условиями ортогональности и имеют вид:
\[
\begin{aligned}
\alpha_{1}^{2}+\alpha_{2}^{2}+\alpha_{3}^{2} & =1, \quad \alpha_{1} \beta_{1}+\alpha_{2} \beta_{2}+\alpha_{3} \beta_{3} & =0, \\
a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2} & =1, \quad a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3} & =0 .
\end{aligned}
\]

Остальные шесть соотношений содержат условия касания и качения, выводом которых мы сейчас и займемся.

Обозначим через $R_{1}$ и $R_{2}$ радиусы нижней и верхней полусфер, а через $l_{1}$ и $l_{2}$ – расстояния их центров тяжести от ограничивающих диаметральных плоскостей, так что $l_{1}=\frac{3}{8} R_{1}$ и $l_{2}=\frac{3}{8} R_{2}$. Точка касания верхней и нижней полусфер имеет координаты:
\[
x_{2}=-R_{2} \gamma_{1}, \quad y_{2}=-R_{2} \gamma_{2}, \quad z_{2}=l_{2}-R_{2} \gamma_{3} .
\]

Условиями, выражающими, что эта точка покоится относительно нижней полусферы, будут:
\[
\begin{aligned}
\dot{\alpha}+\dot{\alpha}_{1} x_{2}+\dot{\alpha}_{2} y_{2}+\dot{\alpha}_{3} z_{2} & =0, \\
\dot{\beta}+\dot{\beta}_{1} x_{2}+\dot{\beta}_{2} y_{2}+\dot{\beta}_{3} z_{2} & =0, \\
\dot{\gamma}+\dot{\gamma}_{1} x_{2}+\dot{\gamma}_{2} y_{2}+\dot{\gamma}_{3} z_{2} & =0 .
\end{aligned}
\]

Последнее из этих уравнений дает $\dot{\gamma}+l_{2} \dot{\gamma}_{3}=0$. Это уравнение может быть получено дифференцированием уравнения:
\[
l_{1}-\gamma-\gamma_{3} l_{2}=-R_{2},
\]

выражающего условие касания обеих полусфер. Что же касается первых двух уравнений, то из них вытекает, что
\[
\begin{aligned}
\dot{\alpha}-\dot{\alpha}_{1} R_{2} \gamma_{1}-\dot{\alpha}_{2} R_{2} \gamma_{2}+\dot{\alpha}_{3}\left(l_{2}-R_{2} \gamma_{3}\right) & =0, \\
\dot{\beta}-\dot{\beta}_{1} R_{2} \gamma_{1}-\dot{\beta}_{2} R_{2} \gamma_{2}+\dot{\beta}_{3}\left(l_{2}-R_{2} \gamma_{3}\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

Эти уравнения выражают, что верхняя полусфера катится по нижней. В первом приближении они дают:
\[
\dot{\alpha}=\dot{\alpha}_{3}\left(R_{2}-l_{2}\right), \quad \dot{\beta}=\dot{\beta}_{3}\left(R_{2}-l_{2}\right)
\]

или, интегрируя, получим:
\[
\alpha=\alpha_{3}\left(R_{2}-l_{2}\right), \quad \beta=\beta_{3}\left(R_{2}-l_{2}\right) .
\]

Аналогично условием касания нижней полусферы с плоскостью будет:
\[
c+c_{3} l_{1}=R_{1}
\]

и условиями качения будут:
\[
a=a_{3}\left(R_{1}-l_{1}\right), \quad b=b_{3}\left(R_{1}-l_{1}\right) .
\]

Таким образом, мы получили восемнадцать уравнений, связывающих между собой двадцать четыре коэффициента. Выбирая за независимые координаты системы шесть величин $\alpha_{2}, \beta_{3}, \gamma_{1}, a_{2}, b_{3}, c_{1}$ и разрешая уравнения относительно остальных восемнадцати коэффициентов, с необходимым приближением будем иметь:
\[
\begin{aligned}
\alpha & =\gamma_{1}\left(l_{2}-R_{2}\right), & a & =c_{1}\left(l_{1}-R_{1}\right), \\
\alpha_{1} & =1-\frac{1}{2}\left(\alpha_{2}^{2}+\gamma_{1}^{2}\right), & a_{1} & =1-\frac{1}{2}\left(a_{2}^{2}+c_{1}^{2}\right), \\
\alpha_{3} & =-\gamma_{1}, & a_{3} & =-c_{1}, \\
\beta & =\beta_{3}\left(R_{2}-l_{2}\right), & b & =b_{3}\left(R_{1}-l_{1}\right), \\
\beta_{1} & =-\alpha_{2}, & b_{1} & =-a_{2}, \\
\beta_{2} & =1-\frac{1}{2}\left(\alpha_{2}^{2}+\beta_{3}^{2}\right), & b_{2} & =1-\frac{1}{2}\left(a_{2}^{2}+b_{3}^{2}\right), \\
\gamma & =R_{2}+l_{1}-l_{2}\left\{1-\frac{1}{2}\left(\gamma_{1}^{2}+\beta_{3}^{2}\right)\right\}, & c & =R_{1}-l_{1}\left\{1-\frac{1}{2}\left(c_{1}^{2}+b_{3}^{2}\right)\right\}, \\
\gamma_{2} & =-\beta_{3}, & c_{2} & =-b_{3}, \\
\gamma_{3} & =1-\frac{1}{2}\left(\gamma_{1}^{2}+\beta_{3}^{2}\right), & c_{3} & =1-\frac{1}{2}\left(c_{1}^{2}+b_{3}^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Для потенциальной энергии системы имеем:
\[
V=M_{1} g c+M_{2} g\left(c+c_{1} \alpha+c_{2} \beta+c_{3} \gamma\right)
\]

или, пренебрегая членами выше второго порядка, получим:
\[
\begin{aligned}
\frac{V}{g}= & b_{3}^{2}\left(\frac{3}{16} R_{1} M_{1}-\frac{5}{16} R_{2} M_{2}\right)-\frac{5}{8} M_{2} R_{2} b_{3} \beta_{3}+\frac{3}{16} M_{2} R_{2} \beta_{3}^{2}+ \\
& +c_{1}^{2}\left(\frac{3}{16} R_{1} M_{1}-\frac{5}{16} R_{2} M_{2}\right)-\frac{5}{8} M_{2} R_{2} c_{1} \gamma_{1}+\frac{3}{16} M_{2} R_{2} \gamma_{1}^{2} .
\end{aligned}
\]

Для нахождения кинетической энергии системы выразим соответственно координаты $l, m, n$ произвольной точки верхней или нижней полусфер через ее координаты в системах $Z_{2} x y z$ и $Z_{1} \xi \eta \zeta$ и составим для каждой полусферы выражение $\frac{1}{2} \sum m\left(\dot{l}^{2}+\dot{m}^{2}+\dot{n}^{2}\right)$, пренебрегая членами выше второго порядка. Тогда, замечая, что главными моментами инерции в центре тяжести для полусферы массы $M$ и радиуса $R$ будут $\frac{2}{5} M R^{2}, \frac{83}{320} M R^{2}$ и $\frac{83}{320} M R^{2}$ для кинетической энергии системы $T$ получим:
\[
\begin{aligned}
2 T & =\frac{2}{5} \dot{a}_{2}^{2}\left(M_{1} R_{1}^{2}+M_{2} R_{2}^{2}\right)+\frac{4}{5} \dot{a}_{2} \dot{\alpha}_{2} M_{2} R_{2}^{2}+\frac{2}{5} \dot{\alpha}_{2}^{2} M_{2} R_{2}^{2}+ \\
+ & \dot{b}_{3}^{2}\left\{\frac{13}{20} M_{1} R_{1}^{2}+M_{2}\left(\frac{13}{20} R_{2}^{2}+\frac{5}{4} R_{1} R_{2}+R_{1}^{2}\right)\right\}+2 \dot{b}_{3} \dot{\beta}_{3} M_{2} R_{2}\left(\frac{13}{20} R_{2}+\frac{5}{8} R_{1}\right)+ \\
& +\frac{13}{20} \dot{\beta}_{3}^{2} M_{2} R_{2}^{2}+\dot{c}_{1}^{2}\left\{\frac{13}{20} M_{1} R_{1}^{2}+M_{2}\left(\frac{13}{20} R_{2}^{2}+\frac{5}{4} R_{1} R_{2}+R_{1}^{2}\right)\right\}+ \\
& +2 \dot{c}_{1} \dot{\gamma}_{1} M_{2} R_{2}\left(\frac{5}{8} R_{1}+\frac{13}{20} R_{2}\right)+\frac{13}{20} \dot{\gamma}_{1}^{2} M_{2} R_{2}^{2} .
\end{aligned}
\]

Уравнения двияения распадаются, очевидно, на три самостоятельные системы, а именно:
1. Уравнения для координат $a_{2}$ и $\alpha_{2}$. Эти уравнения не содержат никаких членов из $V$. Им, собственно говоря, не соответствуют никакие колебания. И действительно, равновесие не нарушится, если каждую сферу повернуть на произвольный угол вокруг оси симметрии. Поэтому эти уравнения можно не рассматривать,
2. Уравнения для координат $b_{3}$ и $\beta_{3}$.
3. Уравнения для координат $c_{1}$ и $\gamma_{1}$. Эти уравнения будут, очевидно, такие же, как и уравнения для координат $b_{3}$ и $\beta_{3}$, и поэтому мы можем рассматривать только последние.
В развернутой форме уравнения для $b_{3}$ и $\beta_{3}$ имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
\left\{\frac{13}{20} M_{1} R_{1}^{2}+M_{2}\left(R_{1}^{2}+\frac{5}{4} R_{1} R_{2}+\frac{13}{20} R_{2}^{2}\right)\right\} \ddot{b}_{3}+M_{2} R_{2}\left(\frac{5}{8} R_{1}+\frac{13}{20} R_{2}\right) \ddot{\beta}_{3}+ \\
+g\left(\frac{3}{8} M_{1} R_{1}-\frac{5}{8} M_{2} R_{2}\right) b_{3}-\frac{5}{8} g M_{2} R_{2} \beta_{3}=0, \\
\left(\frac{5}{8} R_{1}-\frac{13}{20} R_{2}\right) \ddot{b}_{3}+\frac{13}{20} R_{2} \ddot{\beta}_{3}-\frac{5}{8} g b_{3}+\frac{3}{8} g \beta_{3}=0 . \\
\end{array}
\]

Соответствующее детерминантное уравнение для $\lambda$, где $2 \pi / \sqrt{\lambda}-$ период, имеет вид:
\[
\left|\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right|=0,
\]

где
\[
\begin{aligned}
A & =\left\{\frac{13}{20} M_{1} R_{1}^{2}+M_{2}\left(R_{1}^{2}+\frac{5}{4} R_{1} R_{2}+\frac{13}{20} R_{2}^{2}\right)\right\} \lambda-g\left(\frac{3}{8} M_{1} R_{1}-\frac{5}{8} M_{2} R_{2}\right), \\
B & =\left(\frac{5}{8} R_{1}+\frac{13}{20} R_{2}\right) \lambda+\frac{5}{8} g, \\
C & =M_{2} R_{2}\left(\frac{5}{8} R_{1}+\frac{13}{20} R_{2}\right) \lambda+\frac{5}{8} g M_{2} R_{2}, \\
D & =\frac{13}{20} R_{2} \lambda-\frac{3}{8} g,
\end{aligned}
\]

и является квадратным уравнением относительно $\lambda$. Его корни положительны, когда
\[
9 M_{1} R_{1}<40 M_{2} R_{2} .
\]

В этом заключается условие устойчивости равновесия.
При исследовании колебаний неголономных систем около стационарного состояния движения удобней всего пользоваться уравнениями § 88. Мы поясним этот метод на следующем примере.
ЗАдАчА 1. Тело вращения, у которого экваториальная плоскость является плоскостью симметрии, находится в стационарном состоянии движения, при котором оно катится по шероховатой горизонтальной плоскости, так что его экваториальная плоскость все время вертикальна. УГловая скорость тела равна $n$. Определить период малых колебаний около этого стационарного состояния движения.

Пусть $G$ – центр тяжести тела, а $C$ и $A$ – его моменты инерции в точке $G$ относительно оси симметрии и перпендикулярной к ней прямой. В качестве подвижной системы координат выберем систему $G x y z$, где $G z$ совпадает с осью тела, $G y$ перпендикулярна плоскости, проходящей через $G z$ и точку соприкасания (так что $G y$ горизонтальна), а $G x$ перпендикулярна к плоскости $G y z$. Обозначим через $F, F^{\prime}$ и $R$ компоненты силы, приложенной к телу в точке соприкасания, причем $F$ лежит в плоскости $G x z, F^{\prime}$ параллелен к $G y$, а $R$ перпендикулярен к плоскости, по которой катится тело. Пусть, как обычно $\vartheta_{1}, \vartheta_{2}, \vartheta_{3}$ и $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ означают компоненты угловой скорости системы $G x y z$ и тела, а $u, v, w$ – компоненты скорости точки $G$ в направлении подвижных осей.

Пусть, наконец, $\rho$ означает радиус кривизны меридиана тела на экватоpe, $a$ – радиус экваториальной окружности, $\vartheta$ – угол между $G z$, и вертикалью, $\varphi$ – угол между осью $G y$ и ее положением в невозмущенном движении. Тогда
\[
\vartheta_{1}=\omega_{1}=-\dot{\varphi} \sin \vartheta, \quad \vartheta_{2}=\omega_{2}=\dot{\vartheta}, \quad \vartheta_{3}=\dot{\varphi} \cos \vartheta,
\]

и кинетическая энергия есть:
\[
T=\frac{1}{2} M\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)+\frac{1}{2} A\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\right)+\frac{1}{2} C \omega_{3}^{2} .
\]

Поэтому, если $P$ есть точка касания, $P K$ перпендикуляр из этой точки на ось, $G N$ – перпендикуляр из $G$ на горизонтальную плоскость, то уравнения § 18 дают:
\[
\left\{\begin{array}{l}
M\left(\dot{u}-v \vartheta_{3}+w \vartheta_{2}\right)=F \cos \vartheta-(R-M g) \sin \vartheta \\
M\left(\dot{v}-w \vartheta_{1}+u \vartheta_{3}\right)=F^{\prime}, \\
M\left(\dot{w}-u \vartheta_{2}+v \vartheta_{1}\right)=(R-M g) \cos \vartheta+F \sin \vartheta \\
A \dot{\omega}_{1}-A \omega_{2} \vartheta_{3}+C \omega_{3} \vartheta_{2}=-F^{\prime} \cdot G K, \\
A \dot{\omega}_{2}-C \omega_{3} \vartheta_{1}+A \omega_{1} \vartheta_{3}=-F \cdot G N-R \cdot N P, \\
C \dot{\omega}_{3}=F^{\prime} \cdot P K .
\end{array}\right.
\]

В этих уравнениях $G K$ и $N P$ принимаются положительными в направлении оси $x$ и ее горизонтальной проекции.
Условие, что в точке $P$ отсутствует скольжение, дает:
\[
\begin{array}{r}
u \cos \vartheta+w \sin \vartheta-G N \cdot \omega_{2}=0, \\
v+P K \cdot \omega_{3}-G K \cdot \omega_{1}=0,
\end{array}
\]

и из условия, что тело касается плоскости, находим:
\[
w \cos \vartheta-u \sin \vartheta=\frac{d}{d t}(-G K \cos \vartheta+P K \sin \vartheta) .
\]

Эти уравнения определяют движение в общем случае, когда отклонение от невозмущенного движения не предполагается бесконечно малым. Но если сделать это предположение, то
\[
\vartheta=\frac{\pi}{2}+\chi, \quad \omega_{3}=n+\widetilde{\omega}, \quad v=-a n+\eta,
\]

где $\chi, \tilde{\omega}, \eta$ малы. Величины $F, F^{\prime}, u, w, \omega_{1}, \omega_{2}, \vartheta_{1}, \vartheta_{2}, \vartheta_{3}$ также очень малы, а величина $R$ очень мало отличается от $M g$. Кроме того, $N P=(\rho-a) \chi$. Поэтому уравнения принимают вид:
\[
\begin{array}{c}
M\left(\dot{u}+a n \vartheta_{3}\right)=-R+M g, \quad M \dot{\eta}=F^{\prime}, \\
M\left(\dot{w}-a n \vartheta_{1}\right)=F, \quad A \dot{\omega}_{1}+C n \vartheta_{2}=0, \\
A \dot{\omega}_{2}-C n \vartheta_{1}=-F a-M g(\rho-a) \chi, \\
C \dot{\tilde{\omega}}=F^{\prime} a, \quad w-a \omega_{2}=0, \quad \eta+a \widetilde{\omega}=0,
\end{array}
\]

где
\[
\omega_{1}=\vartheta_{1}=-\dot{\varphi}, \quad \omega_{2}=\vartheta_{2}=\dot{\chi}, \quad \vartheta_{3}=0 .
\]

Исключая $F, F^{\prime}$ и $R$ и заменяя $\vartheta_{1}, \vartheta_{2}, \vartheta_{3}, \omega_{1}, \omega_{2}$ их значениями, получим:
\[
\begin{array}{c}
A \ddot{\varphi}-C n \dot{\chi}=0, \\
A \ddot{\chi}+\left(C+M a^{2}\right) n \dot{\varphi}+M g(\rho-a) \chi+M a \dot{w}=0, \\
C \dot{\tilde{\omega}}=M a \dot{\eta}, \quad w=a \dot{\chi}, \quad \eta=-a \widetilde{\omega} .
\end{array}
\]

Из третьего и пятого уравнений находим, что $\widetilde{\omega}$ и $\dot{\eta}$ равны нулю и, следовательно, $\widetilde{\omega}$ и $\eta$ постоянны. Остальные три уравнения по исключении $w$ принимают вид:
\[
\begin{array}{c}
A \ddot{\varphi}-C n \dot{\chi}=0, \\
\left(M a^{2}+A\right) \ddot{\chi}+\left(C+M a^{2}\right) n \dot{\varphi}+M g(\rho-a) \chi=0 .
\end{array}
\]

Поэтому уравнение, определяющее $\chi$, есть:
\[
A\left(A+M a^{2}\right) \ddot{\chi}+\left\{M g A(\rho-a)+C n^{2}\left(C+M a^{2}\right)\right\} \chi=0 .
\]

Из него для периода колебаний находим выражение:
\[
2 \pi\left\{\frac{A\left(A+M a^{2}\right)}{M g A(\rho-a)+C n^{2}\left(C+M a^{2}\right)}\right\}^{\frac{1}{2}} .
\]