Докажем теперь другую теорему о несуществовании определенного вида интегралов задачи трех тел, являющуюся в некотором отношении аналогом теоремы Брунса. Эта теорема открыта Пуанкаре ${ }^{2}$ в 1889 г.
1. Уравнения движения ограниченной задачи трех тел. Для ограниченной задачи трех тел уравнения движения могут быть написаны в виде:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2),
\]

где
\[
\begin{aligned}
H & =H_{0}+\mu H_{1}+\mu^{2} H_{2}+\ldots, \\
H_{0} & =-\frac{1}{2 p_{1}^{2}}-n p_{2},
\end{aligned}
\]

а $H_{1}, H_{2}, \ldots$ суть периодические функции от $q_{1}, q_{2}$ с периодом $2 \pi$.
Гессиан
\[
\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial p_{1}^{2}} & \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial p_{1} \partial p_{2}} \\
\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial p_{1} \partial p_{2}} & \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial p_{2}^{2}}
\end{array}\right|
\]

равен, очевидно, нулю. Так как это обстоятельство является препятствием при доказательстве теоремы Пуанкаре, то мы преобразуем уравнения движения таким образом, чтобы гессиан системы не равнялся больше нулю.
Положим, что $H^{2}=K$ и пусть $H=h$ есть интеграл энергии. Тогда
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{1}{2 h} \frac{\partial K}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{1}{2 h} \frac{\partial K}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2),
\]

Принимая $\frac{K}{2 h}$ за новую функцию $H$, мы можем уравнения движения
${ }^{1}$ Bull. Astr., т. 15 , стр. 81,1898 .
${ }^{2}$ Acta Math., т. 13, стр. 259, 1890.

ограниченной задачи трех тел привести к виду:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2),
\]

где $H$ для достаточно малых значений $\mu$ может быть разложена в ряд по степеням параметра $\mu$ :
\[
H=H_{0}+\mu H_{1}+\mu^{2} H_{2}+\ldots,
\]

где
\[
2 h H_{0}=\frac{1}{4 p_{1}^{4}}+\frac{n p_{2}}{p_{1}^{2}}+n^{2} p_{2}^{2} .
\]

Гессиан функции $H_{0}$ теперь не равен нулю, а $H_{1}, H_{2}, \ldots$ означают, как и раньше, некоторые периодические функции от $q_{1}$ и $q_{2}$ с периодом $2 \pi$.
2. Формулировка теоремы Пуанкаре. Пусть $\Phi$ означает некоторую функцию от $q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}, \mu$, которая однозначна и регулярна для всех действительных значений переменных $q_{1}$ и $q_{2}$, для всех значений $\mu$, лежащих между определенными границами, и для всех значений $p_{1}, p_{2}$, принадлежащих некоторой сколь угодно малой области $D$; пусть, далее, $\Phi$ будет периодична относительно $q_{1}, q_{2}$ и имеет период, равный $2 \pi$. При этих условиях функция $\Phi$ может быть разложена в степенной ряд по степеням $\mu$ :
\[
\Phi=\Phi_{0}+\mu \Phi_{1}+\mu^{2} \Phi_{2}+\ldots,
\]

где $\Phi_{0}, \Phi_{1}, \Phi_{2}, \ldots$ суть однозначные аналитические функции от $q_{1}, q_{2}$, $p_{1}, p_{2}$ и периодические относительно $q_{1}$ и $q_{2}$. Теорема Пуанкаре гласит: Не существует интегралов ограниченной задачи трех тел (за исключением якобиева и равносильных ему интегралов) типа:
\[
\Phi=\text { const }
\]

где $\Phi$ – функиия указанного вида. Приводимое ниже доказательство остается справедливым для всякой динамической задачи с уравнениями движения того же типа, что и в ограниченной задаче трех тел.

Для того чтобы уравнение $\Phi=$ const являлось интегралом, необходимо и достаточно, чтобы скобки Пуассона $(H, \Phi)$ равнялись нулю, или в развернутом виде:
\[
\begin{array}{c}
\left(H_{0}, \Phi_{0}\right)+\mu\left\{\left(H_{1}, \Phi_{0}\right)+\left(H_{0}, \Phi_{1}\right)\right\}+\mu^{2}\left\{\left(H_{2}, \Phi_{0}\right)+\right. \\
\left.+\left(H_{1}, \Phi_{1}\right)+\left(H_{0}, \Phi_{2}\right)\right\}+\cdots=0,
\end{array}
\]

откуда
\[
\left(H_{0}, \Phi_{0}\right)=0, \ldots\left(H_{1}, \Phi_{0}\right)+\left(H_{0}, \Phi_{1}\right)=0 .
\]

3. Доказательство того, что $\Phi_{0}$ не является функцией от $H_{0}$. Покажем сначала, что, не нарушая общности рассуждений, мы можем принять, что $\Phi_{0}$ не является функцией от $H_{0}$. В самом деле, если предположить, что существует соотношение вида $\Phi_{0}=\psi\left(H_{0}\right)$, то уравнение $H=H_{0}\left(p_{1}, p_{2}\right)$ после разрешения его относительно $p_{1}$ даст $p_{1}=\vartheta\left(H_{0}, p_{2}\right)$, где $\vartheta$ есть однозначная функция обоих аргументов, если внутри области $D$ величина $\frac{\partial H_{0}}{\partial p_{1}}$ отлична от нуля. Заменяя в функции $\Phi_{0}\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)$ величину $p_{1}$ ее значением $\vartheta$, получим равенство вида:
\[
\Phi_{0}\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)=\psi\left(q_{1}, q_{2}, H_{0}, p_{2}\right),
\]

и так как $\Phi_{0}$ однозначна, то и $\psi$ есть однозначная функция от $q_{1}, q_{2}$, $H_{0}, p_{2}$. Но по предположению $\psi$ зависит только от $H_{0}$; следовательно, $\psi$ есть однозначная функция от $H_{0}$, коль скоро $p_{1}$ и $p_{2}$ остаются в области $D$ и $\frac{\partial H_{0}}{\partial p_{1}}$ или еще более обще одна из производных $\frac{\partial H_{0}}{\partial p_{1}}, \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{2}}$ внутри этой области не обращается в нуль. Последнее условие в общем случае, очевидно, выполняется. Так как $\psi$ есть функция однозначная, то уравнение $\psi(H)=$ const есть однозначный интеграл уравнений движения. Поэтому и
\[
\Phi-\psi(H)=\mathrm{const}
\]

есть также однозначный интеграл. Этот интеграл может быть разложен по степеням $\mu$, и при этом он делится нацело на $\mu$, так как $\Phi_{0}-\psi\left(H_{0}\right)=0$. Полагая поэтому
\[
\Phi-\psi(H)=\mu \Phi^{\prime}
\]

находим, что $\Phi^{\prime}=$ const есть однозначный аналитический интеграл. Если положим
\[
\Phi^{\prime}=\Phi_{0}^{\prime}+\mu \Phi_{1}^{\prime}+\mu^{2} \Phi_{2}^{\prime}+\ldots,
\]

то в общем случае $\Phi_{0}^{\prime}$ не будет функцией от $H_{0}$. Но если она все же является функцией от $H_{0}$, то, повторяя относительно нее все предыдущие рассуждения, мы придем к новому интегралу, у которого член, свободный от $\mu$, не будет в общем случае функцией от $H_{0}$ и т. д. Очевидно, мы придем в конце концов к такому интегралу, который при $\mu=0$ не приведется к функции от $H_{0}$ за исключением того случая, когда $\Phi$ есть функция от $H$, но в этом случае интегралы $\Phi$ и $H$ не являются независимыми.

Таким образом, если существует не зависящий от $H$ однозначный аналитический интеграл $\Phi$, для которого $\Phi_{0}$ есть функция от $H_{0}$, то из него может быть получен другой интеграл такого же характера, но который при $\mu_{0}=0$ не обращается в функцию от $H_{0}$. Поэтому мы можем принять заранее, что $\Phi_{0}$ не есть функция от $H_{0}$.

4. Доказательство того, что $\Phi_{0}$ не содержит переменных $q_{1}$ и $q_{2}$. Если функция $\Phi_{0}$ содержит переменные $q_{1}$ и $q_{2}$, то мы можем ее, как периодическую функцию от этих переменных, записать в виде:
\[
\Phi_{0}=\sum_{m_{1}, m_{2}} A_{m_{1}, m_{2}} e^{i\left(m_{1} q_{1}+m_{2} q_{2}\right)}=\sum_{m_{1}, m_{2}} A_{m_{1}, m_{2}} \zeta,
\]

где $m_{1}$ и $m_{2}$ означают положительные или отрицательные целые числа, $i=\sqrt{-1}$, величины $A_{m_{1}, m_{2}}$ зависят от $p_{1}, p_{2}$, а $\zeta$ – показательная функция, стоящая множителем при $A_{m_{1}, m_{2}}$. Так как $H_{0}$ не содержит $q_{1}$ и $q_{2}$, то имеем:
\[
-\left(H_{0}, \Phi_{0}\right)=\frac{\partial H_{0}}{\partial p_{1}} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial H_{0}}{\partial p_{2}} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial q_{2}} .
\]

Ho
\[
\frac{\partial \Phi_{0}}{\partial q_{r}}=\sum_{m_{1}, m_{2}} i m_{r} A_{m_{1}, m_{2}} \zeta ;
\]

отсюда для уравнения $\left(H_{0}, \Phi_{0}\right)$ получаем:
\[
\sum_{m_{1}, m_{2}} A_{m_{1}, m_{2}}\left(m_{1} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{1}}+m_{2} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{2}}\right) \zeta=0 .
\]

Так как это уравнение выполняется тождественно, то
\[
A_{m_{1}, m_{2}}\left(m_{1} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{1}}+m_{2} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{2}}\right)=0 .
\]

Отсюда либо
\[
A_{m_{1}, m_{2}}=0,
\]

либо
\[
m_{1} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{1}}+m_{2} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{2}}=0 .
\]

Последнее уравнение выполняется, однако, лишь тогда, когда либо $m_{1}$ и $m_{2}$ равны нулю, либо равен нулю гессиан функции $H_{0}$, что по условию не имеет места. Следовательно, все коэффициенты $A_{m_{1}, m_{2}}$, за исключением $A_{0}$, равны нулю. Итак, $\Phi_{0}$ не содержит переменных $q_{1}, q_{2}$.
5. Доказательство того, что существование однозначного интеграла в общем случае несовместимо с результатом п. 3. Рассмотрим теперь уравнение:
\[
\left(H_{1}, \Phi_{0}\right)+\left(H_{0}, \Phi_{1}\right)=0
\]

или
\[
\sum_{r=1}^{2} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial p_{r}} \frac{\partial H_{1}}{\partial q_{r}}-\sum_{r=1}^{2} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{r}} \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial q_{r}}=0 .
\]

Так как функции $H_{1}$ и $\Phi_{1}$ периодичны относительно $q_{1}, q_{2}$, то они допускают разложения:
\[
\begin{array}{l}
H_{1}=\sum_{m_{1}, m_{2}} B_{m_{1}, m_{2}} e^{i\left(m_{1} q_{1}+m_{2} q_{2}\right)}=\sum_{m_{1}, m_{2}} B_{m_{1}, m_{2}} \zeta, \\
\Phi_{1}=\sum_{m_{1}, m_{2}} C_{m_{1}, m_{2}} e^{i\left(m_{1} q_{1}+m_{2} q_{2}\right)}=\sum_{m_{1}, m_{2}} C_{m_{1}, m_{2}} \zeta,
\end{array}
\]

где $m_{1}$ и $m_{2}$ – положительные или отрицательные целые числа, и коэффициенты $B_{m_{1}, m_{2}}, C_{m_{1}, m_{2}}$ зависят от $p_{1}$ и $p_{2}$. Отсюда имеем:
\[
\frac{\partial H_{1}}{\partial q_{r}}=i \sum_{m_{1}, m_{2}} B_{m_{1}, m_{2}} m_{r} \zeta, \quad \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial q_{r}}=i \sum_{m_{1}, m_{2}} C_{m_{1}, m_{2}} m_{r} \zeta,
\]

и поэтому уравнение:
\[
\sum_{r=1}^{2} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial p_{r}} \frac{\partial H_{1}}{\partial q_{r}}-\sum_{r=1}^{2} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{r}} \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial q_{r}}=0
\]

переходит в
\[
\sum_{m_{1}, m_{2}} B_{m_{1}, m_{2}} \zeta\left(\sum_{r=1}^{2} m_{r} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial p_{r}}\right)-\sum_{m_{1}, m_{2}} C_{m_{1}, m_{2}} \zeta\left(\sum_{r=1}^{2} m_{r} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{r}}\right)=0
\]

или (так как это уравнение выполняется тождественно) в
\[
B_{m_{1}, m_{2}}\left(m_{1} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial p_{1}}+m_{2} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial p_{2}}\right)=C_{m_{1}, m_{2}}\left(m_{1} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{1}}+m_{2} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{2}}\right) .
\]

Это уравнение выполняется при всех значениях $p_{1}$ и $p_{2}$; поэтому для значений $p_{1}$ и $p_{2}$, удовлетворяющих условию
\[
m_{1} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{1}}+m_{2} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{2}}=0,
\]

должно выполняться одно из равенств:
\[
B_{m_{1}, m_{2}}=0 \quad \text { или } \quad m_{1} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial p_{1}}+m_{2} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial p_{2}}=0 .
\]

Мы будем говорить, что коэффициент $B_{m_{1}, m_{2}}$ делается вековым, если $p_{1}$ и $p_{2}$ принимают значения, при которых величина $m_{1} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{1}}+m_{2} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{2}}$ обращается в нуль.

Так как функция $H$ задана, то и коэффициенты $B_{m_{1}, m_{2}}$ также известны. В динамических системах, определяемых дифференциальными уравнениями рассматриваемого нами типа, коэффициенты $B_{m_{1}, m_{2}}$ в общем случае не обращаются в нуль, когда они делаются вековыми. Мы будем сначала предполагать, что это условие действительно выполняется. Уравнение:
\[
m_{1} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial p_{1}}+m_{2} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial p_{2}}=0
\]

является тогда следствием уравнения $m_{1} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{1}}+m_{2} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{2}}=0$.
Пусть $k_{1}$ и $k_{2}$ означают два целых числа. Дадим величинам $p_{1}$ и $p_{2}$ значения, удовлетворяющие равенству:
\[
\frac{1}{k_{1}} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{1}}=\frac{1}{k_{2}} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{2}} .
\]

Тогда можно подобрать бесчисленное множество пар целых чисел $m_{1}$ и $m_{2}$, для которых $m_{1} k_{1}+m_{2} k_{2}=\mathbf{0}$. Для каждой такой пары чисел выполняется уравнение $m_{1} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{1}}+m_{2} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{2}}=0$; следовательно, выполняется и уравнение:
\[
m_{1} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial p_{1}}+m_{2} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial p_{2}}=0 .
\]

Сравнение обоих уравнений показывает, что
\[
\frac{\partial H_{0} / \partial p_{1}}{\partial \Phi_{0} / \partial p_{1}}=\frac{\partial H_{0} / \partial p_{2}}{\partial \Phi_{0} / \partial p_{2}} .
\]

Итак, якобиан $\frac{\partial\left(H_{0}, \Phi_{0}\right)}{\partial\left(p_{1}, p_{2}\right)}$ обращается в нуль для всех значений $p_{1}$ и $p_{2}$, при которых отношение величин $\frac{\partial H_{0}}{\partial p_{1}}$ и $\frac{\partial H_{0}}{\partial p_{2}}$ рационально. Следовательно, во всякой сколь угодно малой области существует бесчисленное множество систем значений ( $p_{1}, p_{2}$ ), при которых этот якобиан обращается в нуль. Но так как он является функцией непрерывной, то он обращается в нуль тождественно, т. е. $\Phi_{0}$ есть функция от $H_{0}$. Но это противоречит результату, полученному в п. 3 ; поэтому исходное предположение, что уравнения движения допускают отличный от $H=h$ однозначный аналитический интеграл, ошибочно, если только ни один из коэффициентов $B_{m_{1}, m_{2}}$ не обращается в нуль, когда он делается вековым.
6. Освобождение от ограничений, наложенных на коэффиценты $B_{m_{1}, m_{2}}$. Нам остается рассмотреть еще тот случай, когда по крайней мере один из коэффициентов $B_{m_{1}, m_{2}}$ обращается в нуль, когда он делается вековым. Мы будем говорить, что две пары индексов $\left(m_{1}, m_{2}\right)$ и ( $m_{1}^{\prime}, m_{2}^{\prime}$ ) принадлежат к одному и тому же классу, когда они связаны соотношением $\frac{m_{1}}{m_{1}^{\prime}}=\frac{m_{2}}{m_{2}^{\prime}}$; тогда и коэффициенты $B_{m_{1}, m_{2}}, B_{m_{1}^{\prime}, m_{2}^{\prime}}$ тоже принадлежат к одному и тому же классу.

Покажем сначала, что результат, полученный в п. 5, о несуществовании однозначного интеграла остается справедливым и тогда, когда в каждом классе существует по крайней мере один коэффициент $B_{m_{1}, m_{2}}$, который не обращается в нуль, когда он делается вековым. Допустим, что коэффициент $B_{m_{1}, m_{2}}$ обращается в нуль, но коэффициент $B_{m_{1}^{\prime}, m_{2}^{\prime}}$ отличен от нуля. Для значений $p_{1}$ и $p_{2}$, для которых $m_{1} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{1}}+m_{2} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{2}}$ обращается в нуль, имеет место соотношение $m_{1}^{\prime} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{1}}+m_{2}^{\prime} \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{2}}=0$. Следовательно,
\[
B_{m_{1}, m_{2}}\left(m_{1} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial p_{1}}+m_{2} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial p_{2}}\right)=0, \quad B_{m_{1}^{\prime}, m_{2}^{\prime}}\left(m_{1} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial p_{1}}+m_{2} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial p_{2}}\right)=0,
\]

и поэтому если соотношение $m_{1} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial p_{1}}+m_{2} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial p_{2}}=0$ не может быть выведено из первого уравнения, то оно во всяком случае может быть выведено из второго. Дальнейший ход доказательства протекает так же, как и в п. 5.

Всякий класс индексов вполне определяется отношением $\frac{m_{1}}{m_{2}}$. Пусть $\lambda$ – рациональное число, а $C$ – класс индексов, для которого $\frac{m_{1}}{m_{2}}=\lambda$. Мы будем говорить, что класс принадлежит данной области или лежит в ней, если в этой области можно найти такую систему значаний $p_{1}, p_{2}$, для которой
\[
\lambda \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{1}}+\frac{\partial H_{0}}{\partial p_{2}}=0
\]

Докажем теперь, что теорема остается справедливой также и тогда, когда в сколь угодно малой части $\delta$ области $D$ лежит бесчисленное множество классов, для которых не все коэффициенты $B$ обращаются в нуль, когда они делаются вековыми.

В самом деле, пусть $p_{1}, p_{2}$ есть такая система значений, для которой
\[
\lambda \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{1}}+\lambda \frac{\partial H_{0}}{\partial p_{2}}=0 .
\]

и допустим, что $\lambda$ рационально, и для соответствующего ему класса не все коэффициенты обращаются в нуль, когда они делаются вековыми.

Тогда к этой системе значений $p_{1}, p_{2}$ можно применить все предыдущие выводы. Следовательно, для этой системы значений $p_{1}, p_{2}$ якобиан $\frac{\partial\left(H_{0}, \Phi_{0}\right)}{\partial\left(p_{1}, p_{2}\right)}$ равен нулю. Но согласно допущению такого рода системы значений существуют в бесчисленном количестве в каждой сколь угодно малой части области $D$. Поэтому якобиан обращается в нуль во всех точках области $D$, и $\Phi_{0}$ есть функция от $H_{0}$. Следовательно, и в этом случае не существует однозначного аналитического интеграла, отличного от $H=$ const.
7. Доказательство теоремы Пуанкаре. В четырех предыдущих разделах мы исследовали уравнения типа:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2),
\]

где
\[
H=H_{0}+\mu H_{1}+\mu^{2} H_{2}+\ldots,
\]

функция $H_{0}$ не содержит переменных $q_{1}, q_{2}$ и ее гессиан относительно $p_{1}$ и $p_{2}$ отличен от нуля, а функции $H_{1}, H_{2}, \ldots$ периодичны относительно $q_{1}, q_{2}$. Мы показали, что в этом случае, кроме интеграла энергии, не может существовать никакого другого интеграла, который был бы однозначен и регулярен для всех действительных значений $q_{1}, q_{2}$ при всех значениях $\mu$, лежащих в определенном интервале, и для всех значений $p_{1}, p_{2}$, образующих некоторую область $D$. При этом предполагалось, что во всякой сколь угодно малой части области $D$ существует бесчисленное множество дробей $\frac{m_{1}}{m_{2}}$, для которых не все соответствующие коэффициенты $B_{m_{1}, m_{2}}$ обращаются в нуль, когда они делаются вековыми.

Этот результат может быть непосредственно приложен к ограниченной задаче трех тел. Ибо, как мы это видели в п. 1, уравнения движения в этой задаче принадлежат к рассмотренному здесь типу, а вычисление функции $H_{1}$ путем непосредственного разложения в ряд показывает, что и последнее условие также выполняется.

Таким образом, теорема Пуанкаре доказана. Теорема Пуанкаре устанавливает несуществование интегралов, однозначных относительно кеплеровых переменных, чем охватывается однозначность вблизи всех траекторий, имеющих общий «оскулирующий» эллипс. Но этим не исключается возможность существования интегралов, однозначных в каких-нибудь областях другого вида (Levi-Civita, Acta Math., т. 30, Стр. 305, 1905).

Пуанкаре распространил свою теорему и на общую задачу трех тел (Meth. Nouv. de la Mec. Cel., т. 1, стр. 253). Пенлеве также обобщил эту теорему. (Comptes Rendus. т. 130. стр. 1699, 1900).