Введем еще другой вид скобок, тесно связанный со скобками Лагранжа.

Если $u$ и $v$ суть две произвольные функции переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots$, $q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, то выражение
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(\frac{\partial u}{\partial q_{r}} \frac{\partial v}{\partial p_{r}}-\frac{\partial u}{\partial p_{r}} \frac{\partial v}{\partial q_{r}}\right)
\]

называется скобками Пуассона ${ }^{1}$ и обозначается символом $(u, v)$.
Пусть $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2 n}$ означают $2 n$ независимых функций от $q_{1}$, $q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, так что, и наоборот, $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots$, $p_{n}$ являются функциями от $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2 n}$. Очевидно, между скобками Пуассона $\left(u_{r}, u_{s}\right.$ ) и скобками Лагранжа $\left[u_{r}, u_{s}\right]$ должна существовать некоторая зависимость, которую мы теперь и отыщем.
Имеем:
\[
\begin{aligned}
& \sum_{t=1}^{2 n}\left(u_{t}, u_{r}\right)\left[u_{t}, u_{s}\right]= \\
= & \sum_{t=1}^{2 n} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial u_{t}}{\partial q_{i}} \frac{\partial u_{r}}{\partial p_{i}}-\frac{\partial u_{t}}{\partial p_{i}} \frac{\partial u_{r}}{\partial q_{i}}\right)\left(\frac{\partial q_{j}}{\partial u_{t}} \frac{\partial p_{j}}{\partial u_{s}}-\frac{\partial p_{j}}{\partial u_{t}} \frac{\partial q_{j}}{\partial u_{s}}\right) .
\end{aligned}
\]

Выполним умножение в правой части равенства и заметим, что величины:
\[
\sum_{t=1}^{2 n}\left(\frac{\partial u_{t}}{\partial q_{i}} \frac{\partial p_{j}}{\partial u_{t}}\right) \text { и } \sum_{t=1}^{2 n}\left(\frac{\partial u_{t}}{\partial p_{i}} \frac{\partial q_{j}}{\partial u_{t}}\right)
\]
${ }^{1}$ Poisson, Journal de l’Ecole polytechn., т. 8, тетр. 15., стр. 266, 1809.

равны нулю, а величины:
\[
\sum_{t=1}^{2 n}\left(\frac{\partial u_{t}}{\partial q_{i}} \frac{\partial q_{j}}{\partial u_{t}}\right) \quad \text { и } \sum_{t=1}^{2 n}\left(\frac{\partial u_{t}}{\partial p_{i}} \frac{\partial p_{j}}{\partial u_{t}}\right)
\]

равны единице или нулю в зависимости от того, $i$ равно или не равно $j$.
Тогда наше уравнение примет вид:
\[
\sum_{t=1}^{2 n}\left(u_{t}, u_{r}\right)\left[u_{t}, u_{s}\right]=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial u_{r}}{\partial p_{i}} \frac{\partial p_{i}}{\partial u_{s}}+\frac{\partial u_{r}}{\partial q_{i}} \frac{\partial q_{i}}{\partial u_{s}}\right)
\]

и, следовательно,
\[
\sum_{t=1}^{2 n}\left(u_{t}, u_{r}\right)\left[u_{t}, u_{s}\right]=0 \quad \text { при } r
eq s
\]

и
\[
\sum_{t=1}^{2 n}\left(u_{t}, u_{r}\right)\left[u_{t}, u_{r}\right]=1 .
\]

Но в этом заключаются условия того, что оба детерминанта:
\[
\left|\begin{array}{cccc}
{\left[u_{1}, u_{1}\right]} & {\left[u_{1}, u_{2}\right]} & \ldots & {\left[u_{1}, u_{2 n}\right]} \\
{\left[u_{2}, u_{1}\right]} & {\left[u_{2}, u_{2}\right]} & \ldots & {\left[u_{2}, u_{2 n}\right]} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
{\left[u_{2 n}, u_{1}\right]} & {\left[u_{2 n}, u_{2}\right]} & \ldots & {\left[u_{2 n}, u_{2 n}\right]}
\end{array}\right| \text { и }\left|\begin{array}{cccc}
\left(u_{1}, u_{1}\right) & \left(u_{2}, u_{1}\right) & \ldots & \left(u_{2 n}, u_{1}\right) \\
\left(u_{1}, u_{2}\right) & \left(u_{2}, u_{2}\right) & \ldots & \left(u_{2 n}, u_{2}\right) \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
\left(u_{1}, u_{2 n}\right) & \left(u_{2}, u_{2 n}\right) & \ldots & \left(u_{2 n}, u_{2 n}\right)
\end{array}\right|
\]

взаимно обратны, т. е. каждый элемент одного детерминанта равен алгебраическому дополнению соответствующего элемента второго детерминанта, деленному на этот второй детерминант. В самом деле, произведение обоих детерминантов равно единице. Скобки Лагранжа и скобки Пуассона связаны, следовательно, таким образом, что образованные из них детерминанты взаимно обратны.
ЗаДАчА 1. Пусть $f, \varphi, \psi$ – три произвольные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}$, $p_{2}, \ldots, p_{n}$. Показать, что
\[
((f, \varphi), \psi)+((\varphi, \psi), f)+((\psi, f), \varphi)=0 .
\]

ЗАДАчА 2. Пусть $F$ и $\Phi$ означают функции от $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}$, являющихся, в свою очередь, функциями от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$. Показать, что
\[
(F, \Phi)=\sum_{r, s}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial f_{s}} \frac{\partial F}{\partial f_{r}}-\frac{\partial \Phi}{\partial f_{r}} \frac{\partial F}{\partial f_{s}}\right)\left(f_{r}, f_{s}\right),
\]

где суммирование распространено на всевозможные сочетания $f_{r}$ и $f_{s}$.