Рассмотрим теперь движение материальной точки, вынужденной оставаться на некоторой гладкой поверхности и подверженной каким угодно силам.

Обозначим через $X, Y, Z$ компоненты по осям прямоугольных координат действующей на точку внешней силы, не включая сюда силу, вынуждающую точку оставаться на поверхности. Введем также следующие обозначения: $v$ – скорость точки; $s$ – дуга и $\rho$ – радиус кривизны траектории; $\chi$ – угол между главной нормалью к траектории и нормалью к поверхности движения; $\lambda, \mu,
u$ – направляющие косинусы той нормали к траектории, которая лежит в касательной плоскости. Все величины отнесены к моменту времени $t$. Пусть, наконец, масса равна единице. Ускорение будет складываться из двух компонентов: $v \frac{d v}{d s}-$ в направлении касательной и $\frac{v^{2}}{\rho}$ – в направлении главной нормали к траектории. Последний, в свою очередь, можно разложить на две составляющих: $\frac{v^{2}}{\rho} \sin \chi$ – в направлении прямой, с направляющими косинусами $\lambda, \mu,
u$ и $\frac{v^{2}}{\rho} \cos \chi$ – в направлении нормали к поверхности.
Уравнения движения будут иметь вид:
\[
\begin{aligned}
v \frac{d v}{d s} & =X \frac{d x}{d s}+Y \frac{d y}{d s}+Z \frac{d z}{d s}, \\
\frac{v^{2}}{\rho} \sin \chi & =X \lambda+Y \mu+Z
u .
\end{aligned}
\]
${ }^{1}$ Некоторые обобщения задачи двух притягивающих центров есть в статье Хилтебейтеля (Hiltebeitel, Amer. Journ. Math., т. 33. стр. 337, 1911).
${ }^{2}$ Самыми ранними исследованиями движения на поверхности являются исследования Галилея движения тяжелой точки по наклонной плоскости. Движение тяжелой точки по горизонтальному кругу некоторого шара было исследовано Гюйгенсом (Horologium oscillatorium, 1673).

Эти уравнения вместе с уравнением поверхности полностью определяют движение. Действительно, из уравнения поверхности можно определить $z$ как функцию от $x, y$, а затем все величины в уравнениях (1) и (2) выразить через $x, y, \dot{x}, \dot{y}, \ddot{x}, \ddot{y}$. Таким образом, уравнения (1) и (2) сводятся к системе дифференциальных уравнений четвертого порядка для определения $x$ и $y$ как функций $t$. Если силы консервативны, то выражение
\[
-X d x-Y d y-Z d z
\]

будет дифференциалом потенциальной функции $V(x, y, z)$. Тогда уравнение (1) интегрируется и дает уравнение энергии:
\[
\frac{1}{2} v^{2}+V(x, y, z)=c,
\]

где $c$ – постоянно.
Если теперь вставить в уравнение (2) найденное значение $v^{2}$, то получим:
\[
2(c-V) \frac{\sin \chi}{\rho}=X \lambda+Y \mu+Z
u .
\]

После исключения $z$ с помощью уравнения поверхности это даст дифференциальное уравнение второго порядка для $x$ и $y$, определяющее траекторию на поверхности.

В общем случае дифференциальные уравнения движения точки на поверхности не интегрируются в квадратурах. Однако, в двух случаях задачу можно поставить так, что при этом результаты могут быть использованы и при различных других зависимостях.
1. Движение по инерции. Если на точку не действуют никакие внешние силы, то уравнение (2) дает $\chi=0$, т. е. траектории будут геодезическими линиями на поверхности ${ }^{1}$. Из уравнения энергии следует, что эти геодезические линии описываются точкой с постоянной скоростью.
ЗАДАчА 1. Точка движется свободно по неподвижной, гладкой, линейчатой поверхности, стрикционная линия которой есть ось $z$, а образующая в точке $z$ имеет направляющие косинусы:
\[
\sin \alpha \cos \frac{z}{m}, \quad \sin \alpha \sin \frac{z}{m}, \quad \cos \alpha .
\]

Определить движение.
Обозначим через $v$ расстонние точки $(x, y, z)$ поверхности от стрикционной линии, взятое по образующей. Далее, пусть точка $(0,0, \zeta)$ есть точка пересечения этой образующей со стрикционной линией. Тогда будем иметь:
\[
x=v \sin \alpha \cos \frac{\zeta}{m}, \quad y=v \sin \alpha \sin \frac{\zeta}{m}, \quad z=\zeta+v \cos \alpha .
\]
${ }^{1}$ Это – теорема Эйлера (Mechanica, т. II, гл. 4, 1736).

Материальная точка обладает кинетической энергией:
\[
T=\frac{1}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\dot{v}^{2}+\dot{\zeta}^{2} \frac{v^{2}}{m^{2}} \sin ^{2} \alpha+\dot{\zeta}^{2}+2 \dot{\zeta} \dot{v} \cos \alpha\right) .
\]

Величины $v$ и $\zeta$ можно принять за координаты, определяющие положение точки. Очевидно, координата $\zeta$ – циклическая, ей соответствует интеграл $\frac{\partial T}{\partial \dot{\zeta}}=k$, где $k$ – постоянная, или
\[
\left(\frac{v^{2}}{m^{2}} \sin ^{2} \alpha+1\right) \zeta+\dot{v} \cos \alpha=k .
\]

Интегралом энергии будет:
\[
T=h,
\]

где $h$ – тоже постоянная. Исключая из обоих интегралов $\dot{\zeta}$, получим:
\[
\dot{v}^{2}\left(v^{2}+m^{2}\right)=2 h v^{2}+\left(2 h-k^{2}\right) m^{2} \frac{1}{\sin ^{2} \alpha} .
\]

Если в начале движения $\dot{v}$ достаточно велико по сравнению с $\dot{\zeta}$ то будем иметь $\left(2 h-k^{2}\right)>0$. В этом предположении можем написать:
\[
\left(2 h-k^{2}\right) \frac{m^{2}}{\sin ^{2} \alpha}=2 h \lambda^{2},
\]

где $\lambda$ – новая постоянная, и, следовательно, получаем уравнение:
\[
\dot{v}^{2}\left(v^{2}+m^{2}\right)=2 h\left(v^{2}+\lambda^{2}\right),
\]

которое может быть проинтегрировано, если ввести вещественную вспомогательную переменную $u$, определяемую равенством:
\[
u=\int_{0}^{v}\left\{\left(m^{2}+v^{2}\right)\left(\lambda^{2}+v^{2}\right)\right\}^{-\frac{1}{2}} d v .
\]

Полагая здесь
\[
v=\lambda m x^{-\frac{1}{2}},
\]

будем иметь:
\[
u=\int_{x}^{\infty}\left\{4 x\left(x+\lambda^{2}\right)\left(x+m^{2}\right)\right\}^{-\frac{1}{2}} d x .
\]

Это равенство эквивалентно следующему:
\[
x=\wp(u)-e_{1},
\]

где функция $ю$ образована при помощи корней $e_{1}, e_{2}, e_{3}$, определяемых равенствами:
\[
e_{1}-e_{2}=\lambda^{2}, \quad e_{1}-e_{3}=m^{2}, \quad e_{1}+e_{2}+e_{3}=0 .
\]

Связь между переменными $v$ и $и$ будет, следовательно, определена равенством:
\[
v=\lambda m\left\{\wp(u)-e_{1}\right\}^{-\frac{1}{2}} .
\]

Подставляя это значение в уравнение, связывающее $v$ и $t$, получим:
\[
\begin{array}{c}
(2 h)^{\frac{1}{2}} t=\int \frac{\left(e_{1}-e_{3}\right)\left\{\wp(u)-e_{2}\right\}}{\wp(u)-e_{1}} d u+\text { const }= \\
=\int\left\{-e_{3}+\wp\left(u+\omega_{1}\right)\right\} d u+\text { const }^{1}=-e_{3} u-\zeta\left(u+\omega_{1}\right)+\text { const. }
\end{array}
\]

Это соотношение дает $t$ как функцию от вспомогательной переменной $u$ и, следовательно, вместе с уравнением
\[
v=\lambda m\left\{\wp(u)-e_{1}\right\}^{-\frac{1}{2}}
\]

дает связь между $v$ и $t$.
2. Движение по развертывающейся поверхности. Пусть точка движется по развертывающейся поверхности. Воспользуемся известной теоремой, что дуга $s$ и величина $\frac{\sin \chi}{\rho}$ при развертывании поверхности на плоскость остаются неизменными. Тогда из вышенаписанных уравнений движения получим следующий результат: Ecли поверхность, no которой под действием произвольных сил движется материальная точка, развертывается на плоскость, то плоская кривая, соответствующая траектории точки, будет описываться соответствующей точкой со скоростью, равной скорости точки на траектории, если только сила, действующая на точку в плоском движении, будет по величине и направлению равна проекции на касательную плоскость силь, действующей на движуцуюся по поверхности точку.
Задача 2. Тяжелая точка брошена на поверхность прямого, кругового конуса, имеющего вертикальную ось и вершину, расположенную сверху, со скоростью, которую она приобрела бы, двигаясь без начальной скорости из вершины. Показать, что траектория на конусе имеет в плоскости развертки уравнение:
\[
r^{\frac{3}{2}} \sin \frac{3}{2} \vartheta=a^{\frac{3}{2}} .
\]

После развертывания конуса на плоскость получается задача плоского движения, под действием постоянной отталкивающей силы, направленной из начала координат, причем материальная точка имеет скорость, обращающуюся в нуль в начале координат. Поэтому существуют интегралы:
\[
\begin{array}{l}
\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\vartheta}^{2}=C r, \quad \text { где } C \text { – постоянная, } \\
r^{2} \dot{\vartheta}=h, \quad \text { где } h \text { – постоянная. } \\
\end{array}
\]
${ }^{1} \mathrm{Cm}$ Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, $\S 20,33$.

Эти уравнения дают:
\[
\left(\frac{1}{r} \frac{d r}{d \vartheta}\right)^{2}+1=\frac{C r^{3}}{h^{2}}=\frac{r^{3}}{a^{3}},
\]

где $a$ – новая постоянная. Полагая $u=\frac{1}{r}$, имеем поэтому:
\[
\left(\frac{d u}{d \vartheta}\right)^{2}=\frac{1-a^{3} u^{3}}{a^{3} u},
\]

следовательно,
\[
\vartheta=\int \frac{a^{\frac{3}{2}} u^{\frac{1}{2}} d u}{\left(1-a^{3} u^{3}\right)^{\frac{1}{2}}},
\]

или
\[
\vartheta=\frac{2}{3} \int \frac{d v}{\left(1-v^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}, \quad \text { где } \quad v=u^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}}
\]
T. e.
\[
\vartheta=\frac{2}{3} \arcsin v .
\]

Это уравнение эквивалентно уравнению:
\[
r^{\frac{3}{2}} \sin \frac{3}{2} \vartheta=a^{\frac{3}{2}} .
\]

ЗАДАча 3. При движении точки $P$ по развертывающейся поверхности площадь, описываемая касательной $I P$ к ребру возврата, изменяется пропорционально времени. Доказать, что слагающая силы, перпендикулярная к $I P$ и лежащая в касательной плоскости, пропорциональна величине $\frac{\rho}{I P^{4}}$, где $\rho-$ радиус кривизны ребра возврата. (Hazzidakis).