Рассмотрим дифференциальную форму:
\[
X_{1} d x_{1}+X_{2} d x_{2}+\cdots+X_{n} d x_{n},
\]

где $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ означают произвольные функции независимых переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$. Такого рода форма называется пфаффовым
${ }^{1}$ Эти уравнения впервые встречаются у Якоби в «Vorlesungen über Dynamik», стр. 470,1866 , где выясняется значений этих уравнений для преобразования уравнения в частных производных первого порядка (к которому применяются задачи динамики). Значение этих уравнений в теории контактных преобразований открыл С. Ли.

выражением ${ }^{1}$ в переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$. Мы будем употреблять для него символ $\vartheta_{\delta}$, полагая
\[
\vartheta_{\delta}=X_{1} \delta x_{1}+X_{2} \delta x_{2}+\cdots+X_{n} \delta x_{n},
\]

где $\delta$ – символ системы независимых вариаций. Тогда будем иметь:
\[
\begin{aligned}
\delta \vartheta_{d}-d \vartheta_{\delta} & =\delta\left(X_{1} d x_{1}+X_{2} d x_{2}+\cdots+X_{n} d x_{n}\right)- \\
& -d\left(X_{1} \delta x_{1}+X_{2} \delta x_{2}+\cdots+X_{n} \delta x_{n}\right)= \\
& =\delta X_{1} d x_{1}+\cdots+\delta X_{n} d x_{n}+X_{1} \delta d x_{1}+\cdots+X_{n} \delta d x_{n}- \\
& -d X_{1} \delta x_{1}-\cdots-d X_{n} \delta x_{n}-X_{1} d \delta x_{1}-\cdots-X_{n} d \delta x_{n}
\end{aligned}
\]

Замечая, что в силу независимости вариаций $d$ и $\delta$ имеет место соотношение $d \delta x_{r}=\delta d x_{r}$, и заменяя $d X_{r}$ и $\delta X_{r}$ через
\[
\frac{\partial X_{r}}{\partial x_{1}} d x_{1}+\cdots+\frac{\partial X_{r}}{\partial x_{n}} d x_{n} \quad \text { и } \quad \frac{\partial X_{r}}{\partial x_{1}} \delta x_{1}+\cdots+\frac{\partial X_{r}}{\partial x_{n}} \delta x_{n},
\]

получим:
\[
\delta \vartheta_{d}-d \vartheta_{\delta}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} d x_{i} \delta x_{j}
\]

где через $a_{i j}$, обозначены величины $\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}} \frac{\partial X_{j}}{\partial x_{i}}$.
Пусть $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$ – новые независимые переменные, в которые переходят после некоторого преобразования переменные $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ и пусть после такого преобразования дифференциальная форма принимает вид:
\[
Y_{1} d y_{1}+Y_{2} d y_{2}+\cdots+Y_{n} d y_{n} .
\]

Обозначим величины $\frac{\partial Y_{i}}{\partial y_{j}} \frac{\partial Y_{j}}{\partial y_{i}}$ через $b_{i j}$. Так как величина $\delta \vartheta_{d}-d \vartheta_{\delta}$ имеет, очевидно, одни и те же значения, в каких бы переменных мы ее ни выражали, то должно быть:
\[
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} d x_{i} \delta x_{j}=\sum_{i=2}^{n} \sum_{j=1}^{n} b_{i j} d y_{i} \delta y_{j}
\]

На основании последнего уравнения величину $\sum_{i=1, j=1}^{n} a_{i j} d x_{i} \delta x_{j}$ называют билинейным ковариантом формы $\sum_{i=1}^{n} X_{i} d x_{i}$.