Рассмотрим дифференциальную форму:
$$X_{1}d{x}_1+X_{2}d{x}_2+\cdots +X_{n}d{x}_n,$$

где $X_1,X_2,\dots ,X_n$ означают произвольные функции независимых переменных $x_1,x_2,\dots ,x_n$. Такого рода форма называется пфаффовым
${}^1$ Эти уравнения впервые встречаются у Якоби в «Vorlesungen über Dynamik», стр. 470,1866 , где выясняется значений этих уравнений для преобразования уравнения в частных производных первого порядка (к которому применяются задачи динамики). Значение этих уравнений в теории контактных преобразований открыл С. Ли.

выражением ${}^1$ в переменных $x_1,x_2,\dots ,x_n$. Мы будем употреблять для него символ ${\vartheta }_{\delta }$, полагая
$${\vartheta }_{\delta }=X_1\delta x_1+X_2\delta x_2+\cdots +X_n\delta x_n,$$

где $\delta$ — символ системы независимых вариаций. Тогда будем иметь:
$$\begin{array}{rl}\delta {\vartheta }_d-d{\vartheta }_{\delta }& =\delta (X_{1}d{x}_1+X_{2}d{x}_2+\cdots +X_{n}d{x}_n)-\\ & -d(X_1\delta x_1+X_2\delta x_2+\cdots +X_n\delta x_n)=\\ & =\delta X_{1}d{x}_1+\cdots +\delta X_{n}d{x}_n+X_1\delta d{x}_1+\cdots +X_n\delta d{x}_n-\\ & -d{X}_1\delta x_1-\cdots -d{X}_n\delta x_n-X_{1}d\delta x_1-\cdots -X_{n}d\delta x_n\end{array}$$

Замечая, что в силу независимости вариаций $d$ и $\delta$ имеет место соотношение $d\delta x_r=\delta d{x}_r$, и заменяя $d{X}_r$ и $\delta X_r$ через
$$\frac{\partial X_r}{\partial x_1}d{x}_1+\cdots +\frac{\partial X_r}{\partial x_n}d{x}_n\text{ и }\frac{\partial X_r}{\partial x_1}\delta x_1+\cdots +\frac{\partial X_r}{\partial x_n}\delta x_n,$$

получим:
$$\delta {\vartheta }_d-d{\vartheta }_{\delta }=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}d{x}_i\delta x_j$$

где через $a_{ij}$, обозначены величины $\frac{\partial X_i}{\partial x_j}\frac{\partial X_j}{\partial x_i}$.
Пусть $y_1,y_2,\dots ,y_n$ — новые независимые переменные, в которые переходят после некоторого преобразования переменные $x_1,x_2,\dots ,x_n$ и пусть после такого преобразования дифференциальная форма принимает вид:
$$Y_{1}d{y}_1+Y_{2}d{y}_2+\cdots +Y_{n}d{y}_n.$$

Обозначим величины $\frac{\partial Y_i}{\partial y_j}\frac{\partial Y_j}{\partial y_i}$ через $b_{ij}$. Так как величина $\delta {\vartheta }_d-d{\vartheta }_{\delta }$ имеет, очевидно, одни и те же значения, в каких бы переменных мы ее ни выражали, то должно быть:
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}d{x}_i\delta x_j=\sum _{i=2}^n\sum _{j=1}^n{b}_{ij}d{y}_i\delta y_j$$

На основании последнего уравнения величину $\sum _{i=1,j=1}^n{a}_{ij}d{x}_i\delta x_j$ называют билинейным ковариантом формы $\sum _{i=1}^n{X}_{i}d{x}_i$.