1. Формулировка теоремы. Мы видели ( $\S 155$ ), что уравнения движения в задаче трех тел допускают десять интегралов: шесть интегралов движения центра тяжести, три интеграла моментов количества движения и интеграл энергии. Все эти так называемые классические интегралы являются алгебраическими, т. е. имеют вид:
$$f(q_1,q_2,\dots ,q_9,p_1,p_2,\dots ,p_9,t)=\text{ const },$$

где $f$ означает алгебраическую функцию координат $q_1,q_2,\dots ,q_9$, $p_1,p_2,\dots ,p_9$ и времени $t$.

Было сделано много неудачных попыток найти еще и другие алгебраические интегралы задачи трех тел, не зависящие от этих десяти. И вот в 1887 г. Брунс ${}^1$ доказал, что таких интегралов больше не существует. Другими словами: Классические интегралы являются единственными независимыми алгебраческими интегралами задачи трех тел.

Следует заметить ${}^2$, что несуществование алгебраических интегралов не обусловливает обязательно большой сложности уравнений. Одно из наиболее простых дифференциальных уравнений — линейное уравнение с постоянными коэффициентами:
$$\ddot{x}-({\mu }_1+{\mu }_2)\dot{x}+{\mu }_1{\mu }_{2}x=0$$

не имеет алгебраических интегралов, за исключением того случая, когда $\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}$ — рациональное число. В последнем случае уравнение имеет первый интеграл:
$$\frac{{(\dot{x}-{\mu }_{2}x)}^{{\mu }_2}}{{(\dot{x}-{\mu }_{1}x)}^{{\mu }_1}}=\mathrm{const},$$

который может быть преобразован в алгебраический.
2. Представление интегралов как функций координат § 160. Мы переходим теперь к доказательству теоремы Брунса, рассматривая сначала только такие интегралы, которые не содержат явно времени.
${}^1$ Berichte der Kgl. Sächs. Ges. d. Wiss., стр. 1,55, 1887; Acta Math., т. 11, cтp. 25; см. также Forsyth, Theory of Differential Equations, т. 3, гл. 17, 1900.
${}^2$ Cm. Bohlin, Astron. lakttagelser och Undres. a Stockholms Observ., т. 9, № 1, 1908.

Уравнения движения задачи могут быть написаны в виде ( $\mathrm{\$}160$ ):
$$\frac{d{q}_r}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r},\frac{d{p}_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r}(r=1,2,\dots ,6),$$

где
$$\begin{array}{rl}H& =T-U\\ T& =\frac{1}{2\mu }(p_1^2+p_2^2+p_3^2)+\frac{1}{2{\mu }^{\prime }}(p_4^2+p_5^2+p_6^2),\\ U& =m_1{m}_2{(q_1^2+q_2^2+q_3^2)}^{-\frac{1}{2}}+m_1{m}_2\{q_4^2+q_5^2+q_6^2+\\ & {+\frac{2m_2}{m_1+m_2}(q_1{q}_4+q_2{q}_5+q_3{q}_6)+{\left(\frac{m_2}{m_1+m_2}\right)}^2(q_1^2+q_2^2+q_3^2)\}}^{-\frac{1}{2}}+\\ & +m_2{m}_3\{q_4^2+q_5^2+q_6^2-\frac{2m_2}{m_1+m_2}(q_1{q}_4+q_2{q}_5+q_3{q}_6)+\\ & {+{\left(\frac{m_1}{m_1+m_2}\right)}^2(q_1^2+q_2^2+q_3^2)\}}^{-\frac{1}{2}},\\ \mu & =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2},{\mu }^{\prime }=\frac{m_3(m_1+m_2)}{m_1+m_2+m_3}.\end{array}$$

Обозначим
$${\mu }_1={\mu }_2={\mu }_3=\mu ,{\mu }_4={\mu }_5={\mu }_6={\mu }^{\prime };$$

тогда
$$T=\sum _{r=1}^6\frac{p_r^2}{2{\mu }_r}.$$

Пусть координатами трех тел соответственно будут $(q_1^{\prime },q_2^{\prime },q_3^{\prime })$, $(q_4^{\prime },q_5^{\prime },q_6^{\prime }),(q_7^{\prime },q_8^{\prime },q_9^{\prime })$ и пусть $m_k{\dot{q}}_r^{\prime }=p_r^{\prime }$, где $k$ означает наибольшее число, удовлетворяющее условию $k⩽\frac{1}{3}(r+2)$. Интегралы, существование которых мы исследуем, имеют вид:
$$\phi (q_1^{\prime },q_2^{\prime },\dots ,q_9^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime },\dots ,p_9^{\prime })=a,$$

где $a$ — произвольная постоянная, а $\phi$ означает алгебраическую функцию от ее аргументов. Формулы § 160 дают возможность выразить $q_1^{\prime },q_2^{\prime },\dots ,q_9^{\prime },p_1,p_2,\dots ,p_9$ как линейные функции от $q_1,q_2,\dots ,q_9$, $p_1,p_2,\dots ,p_9$. Если мы эти функции подставим в интеграл, то мы получим уравнение:
$$f(q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,p_2,\dots ,p_6)=a.$$

Если интеграл $\phi$ складывается из интегралов движения центра тяжести, то функция $f$ приведется, очевидно, к постоянной. В противном случае $f$ есть алгебраическая функция переменных $q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,\dots$, $p_6$. Нам предстоит, следовательно, исследовать, допускают ли уравнения (1) интегралы вида (2).
3. Интегралы содержат импульсы. Покажем сначала, что интеграл вида (2) необходимо содержит величины $p$, т. е. что он не может являться функцией одних лишь величин $q_1,q_2,\dots ,q_6$.
В самом деле, допустим, что интеграл
$$f(q_1,q_2,\dots ,q_6)=a$$

не содержит ни одной из величин $p_1,p_2,\dots ,p_6$. Дифференцирование по $t$ дает:
$$0=\sum _{r=1}^6\frac{\partial f}{\partial q_r}{\dot{q}}_r=\sum _{r=1}^6\frac{\partial f}{\partial q_r}\frac{p_r}{{\mu }_r}.$$

Поэтому должны выполняться тождественно уравнения:
$$\frac{\partial f}{\partial q_r}=0(r=1,2,\dots ,6).$$

Следовательно, $f$ не содержит также $q_1,q_2,\dots ,q_6$, т. е. сводится к постоянной.
4. Интеграл содержит только одно иррациональное выражение. Так как взаимные расстояния тел являются иррациональными функциями от $q_1,q_2,\dots ,q_6$, то и $U$ также является иррациональной функцией этих переменных. Но если обозначить через $s$ сумму всех трех взаимных расстояний, то, как это нетрудно видеть, все эти расстояния могут быть выражены как рациональные функции семи величин $q_1,q_2,\dots ,q_6,s$. Другими словами, иррациональности, входящие в расстояния, могут быть выражены через одну иррациональность $s$. Поэтому мы можем принять, что $U$ есть рациональная функция от $q_1,q_2,\dots ,q_6,s$.

Что касается функции $f$, то она, являясь алгебраической относительно $q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6$, не является обязательно рациональной. Приведем уравнение (2) к рациональному виду и расположим его до степеням $a$. Будем иметь:
$$\begin{array}{l}{a}^m+a^{m-1}{\phi }_1(q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6)+\\ +a^{m-2}{\phi }_2(q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6)+\cdots +\\ +{\phi }_m(q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6)=0\end{array}$$

где ${\phi }_1,{\phi }_2,\dots ,{\phi }_m$ суть некоторые рациональные функции от $q_1,q_2,\dots$, $q_6,p_1,\dots ,p_6$. Если левая часть этого уравнения приводима в переменных $q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6,s$, т. е. может быть разложена на множители вида:
$$\begin{array}{l}{a}^l+a^{l-1}{\psi }_1(q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6,s)+\cdots +\\ +{\psi }_l(q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6,s)=0\end{array}$$

где ${\psi }_1,{\psi }_2,\dots ,{\psi }_l$ суть некоторые рациональные функции от $q_1,q_2,\dots$, $q_6,p_1,\dots ,p_6,s$, то одно из этих уравнений дает то значение $a$, которое соответствует уравнению (2), и мы можем рассматривать это уравнение вместо уравнения (3). Так как уравнения вида (4) содержат как частный случай уравнения вида (3), то мы можем принять, что значение $a$ определяется посредством $q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6,s$ неприводимым уравнением вида (4).

Дифференцируя (4) по $t$ и принимая во внимание уравнения (1), будем иметь:
$$a^{l-1}({\psi }_1,H)+a^{l-2}({\psi }_2,H)+\cdots +({\psi }_l,H)=0,$$

где, как обычно, $({\psi }_r,H)$ означают скобки Пуассона от ${\psi }_r^{\prime }$ и $H$.
Примем сначала, что выражения $({\psi }_r,H)$, являющиеся рациональными функциями от $q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6,s$, не обращаются в нуль одновременно. Тогда уравнения (4) и (5) должны иметь по крайней мере один общий корень $a$; вследствие этого уравнение (4) в переменных $q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6,s$ будет приводимым. Но так как это уравнение не приводимо, то исходное предположение приводит к противоречию. Выражения $({\psi }_r,H)$ должны, следовательно, равняться нулю. Это значит, что все коэффициенты уравнения (4) являются интегралами уравнения (1). Интеграл $f$ может быть алгебрачески выражен через другие интегралы, являющиеся рациональными функциями oт $q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6,s$.
5. Интеграл есть частное двух алгебраческих полиномов. Теперь мы уже можем ограничиться рассмотрением интегралов вида:
$$f(q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6,s)=a,$$

где $f$ означает рациональную функцию указанных аргументов. Вид функции $f$ может быть выяснен еще более точно при помощи следующих рассуждений. Если в уравнениях движения заменить величины $q_r,p_r,t$ величинами $q_r{k}^2,p_r{k}^{-1},t{k}^2$, где $k$ — некоторая постоянная, то эти уравнения не изменяются. Поэтому если эту подстановку сделать в уравнение (6), то это уравнение, как бы ни было выбрано $k$, останется интегралом системы.

Но $f$ есть рациональная функция аргументов и поэтому может быть представлена как дробь двух полиномов относительно

$q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6,s$. Если в этих полиномах заменить величины $q_r,p_r,s$ величинами $q_r{k}^2,p_r{k}^{-1},s{k}^2$, то функция $f$ после умножения числителя и знаменателя на подходящую степень $k$ примет вид:
$$f=\frac{A_0{k}^p+A_1{k}^{p-1}+\cdots +A_p}{B_0{k}^q+B_1{k}^{q-1}+\cdots +B_q},$$

где $A_0,A_1,\dots ,B_q$ суть некоторые полиномы относительно $q_1,q_2,\dots$, $q_6,p_1,\dots ,p_6,s$. Так как $\frac{df}{dt}$, то имеем:
$$\begin{array}{c}(B_0{k}^q+B_1{k}^{q-1}+\cdots +B_q)(\frac{d{A}_0}{dt}{k}^p+\cdots +\frac{d{A}_p}{dt})-\\ -(A_0{k}^p+A_1{k}^{p-1}+\cdots +A_p)(\frac{d{B}_0}{dt}{k}^q+\cdots +\frac{d{B}_q}{dt})=0.\end{array}$$

Но величина $k$ — произвольная; поэтому в этом уравнении должны обращаться в нуль все коэффициенты при отдельных степенях $k$. Имеем, следовательно,
$$\begin{array}{l}0=B_0\frac{d{A}_0}{dt}-A_0\frac{d{B}_0}{dt},\\ 0=B_1\frac{d{A}_0}{dt}+B_0\frac{d{A}_1}{dt}-A_1\frac{d{B}_0}{dt}{A}_0\frac{d{B}_1}{dt},\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ 0=B_q\frac{d{A}_p}{dt}-A_p\frac{d{B}_q}{dt}\end{array}$$

Эти $q+p+1$ уравнений равносильны системе:
$$\frac{1}{A_0}\frac{d{A}_0}{dt}=\frac{1}{A_1}\frac{d{A}_1}{dt}=\cdots =\frac{1}{A_p}\frac{d{A}_p}{dt}=\frac{1}{B_0}\frac{d{B}_0}{dt}=\cdots =\frac{1}{B_q}\frac{d{B}_q}{dt},$$

откуда вытекает, что каждая из величин
$$\frac{A_1}{A_0},\frac{A_2}{A_0},\dots ,\frac{A_p}{A_0},\frac{B_0}{A_0},\dots ,\frac{B_q}{A_0}$$

является интегралом. Мы получили таким образом теорему: каждый интеграл вида $f$ может быть составлен из интегралов вида:
$$\frac{G_2(q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6,s)}{G_1(q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6,s)}=\text{ const },$$

в котором каждая из функций $G_1,G_2$ является полиномом относительно своих аргулентов, которые лишь умножаются на некоторую степень $k$, если переменные $q_r,p_r,s$ заменить соответственно через $q_r{k}^2,p_r{k}^{-1},s{k}^2$. Мы можем, следовательно, ограничиться рассмотрением интегралов только такого вида.

Далее, заметим, что функции $G_1$ и $G_2$ без ограничения общности рассуждений могут быть приняты действительными. В самом деле, если $P$ и $Q$ суть действительная и мнимая части какого-нибудь интеграла
$$P+iQ=\text{ const, }$$

то равенство
$$\frac{dP}{dt}+i\frac{dQ}{dt}=0$$

должно выполняться тождественно, но так как дифференциальные уравнения не содержат мнимых членов, то $\frac{dP}{dt}$ и $\frac{dQ}{dt}$ должны быть действительными. Поэтому каждая из величин $\frac{dP}{dt}$ и $\frac{dQ}{dt}$ в отдельности равна нулю; следовательно, $P$ и $Q$ являются сами интегралами и каждый комплексный интеграл складывается из двух действительных. Мы можем поэтому предполагать в дальнейшем, что функция $\frac{G_1}{G_2}$ является действительной.
6. Образование интегралов из числителя и знаменателя дроби. Разложим функцию $G_1$ на произведение неразложимых полиномов относительно $p_1,p_2,\dots ,p_6$, коэффициенты которых являются рациональными функциями от $q_1,q_2,\dots ,q_6,s$. Пусть $\psi$ есть один из этих полиномов, входящий множителем в $G_1\lambda$-раз, и пусть $\chi$ означает произведение всех остальных множителей, так что
$$G_1={\psi }^{\lambda }\chi .$$

Если $G_1$ не приводимо, то естественно $G_1=\psi$ и $\chi =1$.
Уравнение
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{G_1}{G_2}\right)=0$$

дает
$$\frac{\lambda }{\psi }\frac{d\psi }{dt}+\frac{1}{\chi }\frac{d\chi }{dt}-\frac{1}{G_2}\frac{d{G}_2}{dt}=0$$

или
$$\frac{d\psi }{dt}=\psi (\frac{1}{\lambda G_2}\frac{d{G}_2}{dt}-\frac{1}{\lambda \chi }\frac{d\chi }{dt})$$

Но $\frac{d\psi }{dt}$ есть целая рациональная функция от $p_1,\dots ,p_6;\psi$ есть также целая рациональная функция от $p_1,\dots ,p_6$, но степени на единицу ниже, чем $\frac{d\psi }{dt}$. Далее, $\psi$ не имеет общих множителей с $G_2$ или с $\chi$. Отсюда следует, что
$$\frac{1}{\lambda G_2}\frac{d{G}_2}{dt}-\frac{1}{\lambda \chi }\frac{d\chi }{dt}$$

есть целая рациональная функция первого порядка относительно $p_1$, $p_2,\dots ,p_6$. Обозначим этот полином через $\omega$. Тогда будем иметь:
$$\frac{d\psi }{dt}=\omega \psi$$

Аналогичным образом можно показать, что и все остальные неприводимые множители функции $G_1$ удовлетворяют такого рода уравнениям. Если все эти различные множители $G_1$ обозначить соответственно через ${\psi }^{\prime },{\psi }^{\prime \prime }$, так что
$$G_1={\psi }^{\prime \mu }{\psi }^{\prime \prime }\dots ,$$

и если уравнения, которым они удовлетворяют, имеют вид:
$$\frac{1}{{\psi }^{\prime }}\frac{d{\psi }^{\prime }}{dt}={\omega }^{\prime },\frac{1}{{\psi }^{\prime \prime }}\frac{d{\psi }^{\prime \prime }}{dt}{\omega }^{\prime \prime },\dots ,$$

To
$$\frac{1}{G_1}\frac{d{G}_1}{dt}=\frac{\mu }{{\psi }^{\prime }}\frac{d{\psi }^{\prime }}{dt}+\frac{u}{{\psi }^{\prime \prime }}\frac{d{\psi }^{\prime \prime }}{dt}+\cdots =\mu {\omega }^{\prime }+u{\omega }^{\prime \prime }+\cdots =\omega ,$$

где $\omega$ есть целая и рациональная функция первого порядка относительно $p_1,p_2,\dots ,p_6$ и рациональная относительно $q_1,q_2,\dots ,q_6,s$. Таким образом, $G_1$ удовлетворяет уравнению:
$$\frac{d{G}_1}{dt}=\omega G_1$$

и так как $\frac{G_1}{G_2}$ есть интеграл, то и $G_2$ удовлетворяет уравнению:
$$\frac{d{G}_2}{dt}=\omega G_2$$

Так как $G_1$ и $G_2$ удовлетворяют одному и тому же уравнению, то мы обе эти функции будем в дальнейшем обозначать через $\phi$; следовательно, $\phi$ означает действительный полином относительно $p_1,\dots ,p_6,q_1,\dots ,q_6,s$, удовлетворяющий уравнению $\phi =\omega \phi$.

Но $\phi$ лишь умножается на некоторую степень $k$, если величины $q_r,p_r,s$, заменить соответственно через $q_r{k}^2,p_r{k}^{-1},s{k}^2$. Так как
$$\omega =\frac{1}{\phi }\frac{d\phi }{dt}=\sum _{r=1}^6\frac{1}{\phi }(\frac{\partial \phi }{\partial q_r}\frac{p_r}{\mu }+\frac{\partial \phi }{\partial p_r}\frac{\partial U}{\partial q_r})$$

то $\omega$ умножается при этой подстановке на $k^{-3}$. Следовательно, $\omega$ не может содержать члена, свободного от $p_1,\dots ,p_6$, ибо такой член должен был бы умножиться на четную степень $k$. Поэтому $\omega$ имеет вид:
$$\omega ={\omega }_1{p}_1+{\omega }_2{p}_2+\cdots +{\omega }_6{p}_6,$$

где каждая из величин ${\omega }_r$ является однородной функцией ( -1 )-го порядка относительно $q_1,\dots ,q_6,s$.

Далее, пусть один из членов функции $\phi$ будет $m$-го порядка относительно $p_1,\dots ,p_6$ и $n$-го порядка относительно $q_1,\dots ,q_6,s$, а другой член $m^{\prime }$-го порядка относительно $p_1,\dots ,p_6$ и $n^{\prime }$-го порядка относительно $q_1,\dots ,q_6,s$. Так как оба эти члена при вышеуказанной постановке умножаются на одну и ту же степень $k$, то
$$-m+2n=-m^{\prime }+2n^{\prime },$$

и поэтому $m-m^{\prime }$ есть четное число. Следовательно, $\phi$ может быть расположен следующим образом:
$$\phi ={\phi }_0+{\phi }_2+{\phi }_4+\cdots ,$$

где ${\phi }_0$ означает совокупность членов наивысшего порядка относительно $p_1,\dots ,p_6,{\phi }_2$ — совокупность членов порядка на две единицы ниже и т. д. Каждая из этих величин ${\phi }_r$ есть полином относительно $q_1,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6,s$, однородный как относительно $p_1,\dots ,p_6$, так и относительно $q_1,\dots ,q_6,s$.

Докажем теперь следующее: Если в не входит явно в ${\phi }_0$, то $\phi$ путем умножения на подходяцую рациональную функцию от $q_1,\dots ,q_6$ может быть преобразован в интеграл.
В самом деле, если ${\phi }_0$ не содержит $s$, то из уравнения:
$$\frac{d\phi }{dt}=\omega \phi$$

или
$$\frac{d{\phi }_0}{dt}+\frac{d{\phi }_2}{dt}+\cdots =({\omega }_1{p}_1+{\omega }_2{p}_2+\cdots +{\omega }_6{p}_6)({\phi }_0+{\phi }_2+\cdots )$$

из сравнения членов наивысшего порядка относительно $p_1,\dots ,p_6$ вытекает, что
$$\sum _{r=1}^6\frac{p_r}{{\mu }_r}\frac{\partial {\phi }_0}{\partial q_r}=({\omega }_1{p}_1+{\omega }_2{p}_2+\cdots +{\omega }_6{p}_6){\phi }_0$$

Далее, ${\phi }_0$ может содержать множителем величину $p_6$; чтобы учесть эту возможность, положим ${\phi }_0=p_6^k{\phi }_0^{\prime }$, где ${\phi }_0^{\prime }$ уже не содержит больше множителем $p_6$, и где, в частности, может быть, что $k=0,{\phi }_0^{\prime }={\phi }_0$. Заменяя в дифференциальном уравнении ${\phi }_0$ через $p_6^k{\phi }_0^{\prime }$, получим:
$$\sum _{r=1}^6\frac{p_r}{{\mu }_r}\frac{\partial {\phi }_0^{\prime }}{\partial q_r}=({\omega }_1{p}_1+{\omega }_2{p}_2+\cdots +{\omega }_6{p}_6){\phi }_0^{\prime }.$$

Обозначим через ${\phi }_0^{\prime \prime }$ совокупность членов в ${\phi }_0^{\prime }$, не содержащих $p_6$. Тогда, приравнивая в обеих частях уравнения члены, не зависящие от $p_6$, будем иметь:
$$\sum _{r=1}^5\frac{p_r}{{\mu }_r}\frac{\partial {\phi }_0^{\prime \prime }}{\partial q_r}=({\omega }_1{p}_1+{\omega }_2{p}_2+\cdots +{\omega }_5{p}_5){\phi }_0^{\prime \prime }.$$

Если ${\phi }_0^{\prime \prime }$ есть функция одних лишь величин $q_1,q_2,\dots ,q_6$, то мы ее обозначим через $R$. Тогда
$$\frac{1}{{\mu }_r}\frac{\partial R}{\partial q_r}={\omega }_{r}R(r=1,2,\dots ,5)$$

или
$${\mu }_r{\omega }_r=\frac{1}{R}\frac{\partial R}{\partial q_r}(r=1,2,\dots ,5)$$

и поэтому
$$\frac{\partial }{\partial q_s}\left({\mu }_r{\omega }_r\right)=\frac{\partial }{\partial q_r}\left({\mu }_s{\omega }_s\right)(r,s=1,2,\dots ,5).$$

Если же ${\phi }_0^{\prime \prime }$ зависит также и от величины $p_1,\dots ,p_5$, то, принимая, что ${\phi }_0^{\prime \prime }$ содержит, например, $p_5$ множителем, положим ${\phi }_0^{\prime \prime }=p_5^{\lambda }{\phi }_0^{\prime \prime \prime }$, где ${\phi }_0^{\prime \prime \prime }$ уже не содержит более $p_5$ в качестве множителя. Уравнение переходит тогда в
$$\sum _{r=1}^5\frac{p_r}{{\mu }_r}\frac{\partial {\phi }_0^{\prime \prime \prime }}{\partial q_r}=({\omega }_1{p}_1+{\omega }_2{p}_2+\cdots +{\omega }_5{p}_5){\phi }_0^{\prime \prime \prime }.$$

Обозначим через ${\phi }_0^{IV}$ совокупность членов в ${\phi }_0^{\prime \prime \prime }$ не содержащих $p_5$. Сравнивая тогда в обеих частях уравнения члены, не зависящие от $p_5$, будем иметь:
$$\sum _{r=1}^5\frac{p_r}{{\mu }_r}\frac{\partial {\phi }_0^{IV}}{\partial q_r}=({\omega }_1{p}_1+{\omega }_2{p}_2+{\omega }_3{p}_3+{\omega }_4{p}_4){\phi }_0^{IV}.$$

Продолжая аналогичным образом дальше, мы придем к заключению, что либо
$$\frac{\partial }{\partial q_1}\left({\mu }_2{\omega }_2\right)=\frac{\partial }{\partial q_2}\left({\mu }_1{\omega }_1\right),либосуществуетнекотораяфункция\$\psi \$,являющаясяполиномомотносительно\$q_1,\dots ,q_6,p_1,p_2\$ипритомоднороднымкакотносительно\$q_1,\dots ,q_6\$,такиотносительно\$p_1,p_2\$,несодержащимникакихмножителей,являющихсястепенямиот\$p_1\$и\$p_2\$,иудовлетворяющаяуравнению:\text{[}\frac{p_1}{{\mu }_1}\frac{\partial \psi }{\partial q_1}+\frac{p_2}{{\mu }_2}\frac{\partial \psi }{\partial q_2}=({\omega }_1{p}_1+{\omega }_2{p}_2)\psi .$$

Пусть
$$\psi =a{p}_1^l+b{p}_2^l+c{p}_1^{l-1}{p}_2+\cdots ;$$

сравнивая коэффициенты при $p_1^{l+1}$ и $p_2^{l+1}$ в обеих частях последнего уравнения, будем иметь:
$${\omega }_1=\frac{1}{{\mu }_{1}a}\frac{\partial a}{\partial q_1},{\omega }_2=\frac{1}{{\mu }_{2}b}\frac{\partial b}{\partial q_2}.$$

Величины $a,b,c$ суть полиномы относительно $q_1,\dots ,q_6$. Они могут содержать какой-нибудь полином $Q$ общим множителем, так что
$$a=a^{\prime }Q,b=b^{\prime }Q,\dots$$

Пусть
$${\psi }^{\prime }=a^{\prime }{p}_1^l+b^{\prime }{p}_2^l+c^{\prime }{p}_1^{l-1}{p}_2+\cdots ,$$

следовательно,
$$\psi =Q{\psi }^{\prime }$$

Тогда
$$\begin{array}{c}\frac{1}{{\psi }^{\prime }}(\frac{p_1}{{\mu }_1}\frac{\partial {\psi }^{\prime }}{\partial q_1}+\frac{p_2}{{\mu }_2}\frac{\partial {\psi }^{\prime }}{\partial q_2})=\frac{1}{\psi }(\frac{p_1}{{\mu }_1}\frac{\partial \psi }{\partial q_1}+\frac{p_2}{{\mu }_2}\frac{\partial \psi }{\partial q_2})-\frac{1}{Q}(\frac{p_1}{{\mu }_1}\frac{\partial Q}{\partial q_1}+\frac{p_2}{{\mu }_2}\frac{\partial Q}{\partial q_2})=\\ =({\omega }_1-\frac{1}{Q{\mu }_1}\frac{\partial Q}{\partial q_1})p_1+({\omega }_2-\frac{1}{Q{\mu }_2}\frac{\partial Q}{\partial q_2})p_2={\omega }_1^{\prime }{p}_1+{\omega }_2^{\prime }{p}_2\end{array}$$

где
$${\omega }_1^{\prime }=\frac{1}{{\mu }_1{a}^{\prime }}\frac{\partial a^{\prime }}{\partial q_1},{\omega }_2^{\prime }=\frac{1}{{\mu }_2{b}^{\prime }}\frac{\partial b^{\prime }}{\partial q_2}$$

и, следовательно,
$$\frac{p_1}{{\mu }_1}\frac{\partial {\psi }^{\prime }}{\partial q_1}+\frac{p_2}{{\mu }_2}\frac{\partial {\psi }^{\prime }}{\partial q_2}=({\omega }_1^{\prime }{p}_1+{\omega }_2^{\prime }{p}_2){\psi }^{\prime }.$$

Левая часть этого уравнения есть целая рациональная функция от $q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,p_2$. Но если $a^{\prime }$ содержит $q_1$, то и ${\omega }_1^{\prime }$ содержит в знаменателе если не $a^{\prime }$, то во всяком случае один множитель от $a^{\prime }$. Поэтому ${\psi }^{\prime }$ должно содержать в качестве множителя либо $a^{\prime }$, либо один множитель от ${\omega }^{\prime }$. Но последнее несовместимо с предположением, что $a^{\prime },b^{\prime },\dots$ не имеют общих множителей. Поэтому $a^{\prime }$ не может содержать $q_1$ и ${\omega }_1^{\prime }$ равно нулю. Аналогично получается, что и ${\omega }_2^{\prime }$ тоже равно нулю.
Таким образом,
$${\omega }_1=\frac{1}{Q{\mu }_1}\frac{\partial Q}{\partial q_1},{\omega }_2=\frac{1}{Q{\mu }_2}\frac{\partial Q}{\partial q_2},$$

поэтому
$$\frac{\partial }{\partial q_2}\left({\mu }_1{\omega }_1\right)=\frac{\partial }{\partial q_1}\left({\mu }_2{\omega }_2\right).$$

Следовательно, второе наше допущение свелось к первому.
Аналогичным образом можно показать, что вообще
$$\frac{\partial }{\partial q_r}\left({\mu }_s{\omega }_s\right)=\frac{\partial }{\partial q_s}\left({\mu }_r{\omega }_r\right).$$

Поэтому мы можем написать:
$${\mu }_r{\omega }_r=\frac{1}{R}\frac{\partial R}{\partial q_r}$$

где $R$ некоторая рациональная функция от $q_1,q_2,\dots ,q_6$. Следовательно,
$${\omega }_1{p}_1+{\omega }_2{p}_2+\cdots +{\omega }_6{p}_6=\sum _{r=1}^6\frac{p_r}{{\mu }_r}\frac{1}{R}\frac{\partial R}{\partial q_r}=\sum _{r=1}^6\frac{1}{R}\frac{\partial R}{\partial q_r}\frac{d{q}_r}{dt}$$

или
$$\frac{1}{\phi }\frac{d\phi }{dt}=\frac{1}{R}\frac{dR}{dt}$$

и поэтому
$$\frac{\phi }{R}=\text{ const. }$$

Таким образом, $\phi$ путем умножения на некоторую рациональную функцию от $q_1,\dots ,q_6$, а именно на функцию $\frac{1}{R}$ может быть преобразовано в константу, чем теорема и доказывается.

Следовательно, если члены ${\phi }_k$ от $G_1$ и $G_2$ не содержат явно $s$, то $G_1$ и $G_2$ путем умножения на подходящую рациональную функцию от $q_1,q_2,\dots ,q_6$ могут быть преобразованы в интегралы. Поэтому, если нам удастся доказать, что ${\phi }_0$ не содержит явно $s$, то мы получим теорему, что каждый алгебраический интеграл задачи трех тел складывается из интегралов, являющихся полиномами относительно $p_1,p_2,\dots ,p_6$, и рациональными функциями от $q_1,q_2,\dots ,q_6,s$.
7. Доказательство того, что ${\phi }_0$ не содержит $s$. Предыдущее исследование предполагает, что функция ${\phi }_0$ не содержит $s$. Мы хотим сейчас показать, что не может существовать никакой вещественной функции ${\phi }_0$, удовлетворяющей уравнению:
$$\sum _{r=1}^6\frac{p_r}{{\mu }_r}\frac{\partial {\phi }_0}{\partial q_r}=({\omega }_1{p}_1+{\omega }_2{p}_2+\cdots +{\omega }_6{p}_6){\phi }_0$$

и содержащей $s$, что, следовательно, функция ${\phi }_0$ нашей задачи не содержит $s$ и что предыдущий результат действительно имеет место.

Допустим, что существует функция ${\phi }_0$, содержащая $s$ и удовлетворяющая вышенаписанному дифференциальному уравнению. Тогда, если в ${\phi }_0$ подставить все восемь различных значений, которые может принимать $s$, то функция ${\phi }_0$ примет ряд различных значений, которые мы обозначим соответственно через ${\phi }_0^{\prime },{\phi }_0^{\prime \prime },\dots$ Все эти значения удовлетворяют уравнениям вида:
$$\sum _{r=1}^6\frac{p_r}{{\mu }_r}\frac{\partial {\phi }_0^{\prime }}{\partial q_r}={\omega }^{\prime }{\phi }_0^{\prime },\sum _{r=1}^6\frac{p_r}{{\mu }_r}\frac{\partial {\phi }_0^{\prime \prime }}{\partial q_r}={\omega }^{\prime \prime }{\phi }_0^{\prime \prime },\dots ,$$

где ${\omega }^{\prime },{\omega }^{\prime \prime },\dots$ означают значения $\omega$, получающиеся подстановкой значений $s$, соответствующих значениям ${\phi }_0^{\prime },{\phi }_0^{\prime \prime },\dots$
Пусть
$$\mathrm{\Phi }={\phi }_0^{\prime }{\phi }_0^{\prime \prime }{\phi }_0^{\prime \prime \prime }\cdots$$

Тогда
$$\frac{1}{\mathrm{\Phi }}\sum _{r=1}^6\frac{p_r}{{\mu }_r}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_r}=\sum _{r=1}^6\frac{p_r}{{\mu }_r}(\frac{1}{{\phi }_0^{\prime }}\frac{\partial {\phi }_0^{\prime }}{\partial q_r}+\frac{1}{{\phi }_0^{\prime \prime }}\frac{\partial {\phi }_0^{\prime \prime }}{\partial q_r}+\cdots )={\omega }^{\prime }+{\omega }^{\prime \prime }+\cdots =\mathrm{\Omega },$$

где $\mathrm{\Omega }$ есть линейная функция от $p_1,p_2,\dots ,p_6$, коэффициенты которой суть рациональные функции от $q_1,q_2,\dots ,q_6$.

Но функция $\mathrm{\Omega }$ по самому способу ее образования рациональна относительно $q_1,q_2,\dots ,q_6$ и не содержит $s$. Далее, она, очевидно, является полиномом относительно $p_1,p_2,\dots ,p_6$. Поэтому к функции $\mathrm{\Phi }$ могут быть приложены уже доказанные положения, согласно которым (если $\mathrm{\Phi }$ умножить на некоторую рациональную функцию от $q_1,q_2,\dots ,q_6$ ) $\mathrm{\Omega }=0$, в силу чего функция $\mathrm{\Phi }$ удовлетворяет уравнению:
$$\sum _{r=1}^6\frac{p_r}{{\mu }_r}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_r}=0$$

Можно указать сразу пять независимых решений этого уравнения с частными производными для $\mathrm{\Phi }$, содержащего шесть независимых переменных, а именно:
$$\frac{q_2{p}_1}{{\mu }_1}-\frac{q_1{p}_2}{{\mu }_2},\dots ,\frac{q_6{p}_1}{{\mu }_1}-\frac{q_1{p}_6}{{\mu }_6}.$$

Следовательно, $\mathrm{\Phi }$ есть функция одних лишь величин:
$$\frac{q_2{p}_1}{{\mu }_1}-\frac{q_1{p}_2}{{\mu }_2},\dots ,\frac{q_6{p}_1}{{\mu }_1}-\frac{q_1{p}_6}{{\mu }_6},p_1,p_2,\dots ,p_6$$

Множители функции $\mathrm{\Phi }$ отличаются друг от друга лишь тем, что для их образования взяты различные значения величины $s$. Допустим, что величины $q_1,q_2,\dots ,q_6$ связаны таким соотношением:
$$f(q_1,q_2,\dots ,q_6)=0,$$

что два значения величины $s$ совпадают. Тогда два множителя функции $\mathrm{\Phi }$ будут также совпадать. Следовательно, уравнение $\mathrm{\Phi }=0$, pacсматриваемое как уравнение относительно $p_1$, должно при этом условии иметь по меньшей мере два одинаковых корня и поэтому $\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial p_1}=0$. Аналогично получаем, что все величины $\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial p_2},\dots ,\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial p_6}$ обращаются одновременно в нуль. Но так как функция $\mathrm{\Phi }$ однородна относительно $p_1,p_2,\dots ,p_6$, то уравнение
$$p_1\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial p_1}+p_2\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial p_2}+\cdots +p_6\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial p_6}=0$$

равносильно уравнению $\mathrm{\Phi }=0$ и, следовательно, последнее уравнение есть следствие уравнений:
$$\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial p_1}=0,\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial p_2}=0,\dots ,\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial p_6}=0.$$

Если переменным, удовлетворяющим уравнению $\mathrm{\Phi }=0$, придать бесконечно малые приращения, то последние должны быть связаны соотношением:
$$\sum _{r=1}^6(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_r}\delta q_r+\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial p_r}\delta p_r)=0.$$

Но если $q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6$ удовлетворяют уравнениям $\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial p_r}=0$, то это соотношение переходит в следующее:
$$\sum _{r=1}^6\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_r}\delta q_r=0.$$

Поэтому это соотношение между вариациями $\delta q_r$ должно быть эквивалентно соотношению:
$$\sum _{r=1}^6\frac{\partial f}{\partial q_r}\delta q_r=0$$

Следовательно, уравнения:
$$\frac{\partial f/\partial q_1}{\partial \mathrm{\Phi }/\partial q_1}=\frac{\partial f/\partial q_2}{\partial \mathrm{\Phi }/\partial q_2}=\cdots =\frac{\partial f/\partial q_6}{\partial \mathrm{\Phi }/\partial q_6}$$

должны являться следствием уравнений $\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial p_r}=0$, и так как $\sum _{r=1}^6\frac{p_r}{{\mu }_r}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_r}=$ $=0$, то для системы значений $q_1,q_2,\dots ,q_6,p_1,p_2,\dots ,p_6$, удовлетворяющих этим уравнениям,
$$\sum _{r=1}^6\frac{p_r}{{\mu }_r}\frac{\partial f}{\partial q_r}=0$$

Поэтому уравнения $f=0$ и $\sum _{r=1}^6\frac{p_r}{{\mu }_r}\frac{\partial f}{\partial q_r}=0$ могут быть получены алгебраически из уравнений $\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_r}=0$. При этом алгебраическом исключении не имеют значения действительные значения величин $q_1,q_2,\dots ,q_6$. Мы можем поэтому во всех уравнениях заменить $q_r$ через $q_r+p_r\frac{t}{{\mu }_r}$. Отсюда ясно, что уравнения:
$$\begin{array}{c}f(q_1+\frac{p_1}{{\mu }_1}t,\dots ,q_6+\frac{p_6}{{\mu }_6}t)=0\\ \sum _{r=1}^6\frac{p_r}{{\mu }_r}\frac{\partial }{\partial q_r}f(q_1+\frac{p_1}{{\mu }_1}t,\dots ,q_6+\frac{p_6}{{\mu }_6}t)=0\end{array}$$

являются алгебраическим следствием уравнений:
$$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial p_r}\mathrm{\Phi }(q_1,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6)-\\ -\frac{t}{{\mu }_r}\frac{\partial }{\partial q_r}\mathrm{\Phi }(q_1,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6)=0(r=1,2,\dots ,6).\end{array}$$

Следовательно, результат исключения $t$ из уравнений:
$$\begin{array}{c}f(q_1+\frac{p_1}{{\mu }_1}t,\dots ,q_6+\frac{p_6}{{\mu }_6}t)=0,\\ \frac{\partial }{\partial t}f(q_1+\frac{p_1}{{\mu }_1}t,\dots ,q_6+\frac{p_6}{{\mu }_6}t)=0\end{array}$$

должен являться алгебраической комбинацией уравнений:
$$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial p_r}\mathrm{\Phi }(q_1,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6)-\\ -\frac{t}{{\mu }_r}\frac{\partial }{\partial q_r}\mathrm{\Phi }(q_1,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6)=0(r=1,2,\dots ,6).\end{array}$$

Такого рода алгебраической комбинацией является уравнение:
$$\mathrm{\Phi }(q_1,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6)=0,$$

ибо оно получается из этих уравнений последовательным умножением их на $p_1,\dots ,p_6$ и сложением. Покажем, что это и есть то уравнение, которое получается в результате исключения $t$. Обозначим искомое уравнение через $\mathrm{\Psi }$. Тогда уравнение:
$$\sum _{r=1}^6(\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q_r}\delta q_r+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p_r}\delta p_r)=0$$

должно являться комбинацией уравнений:
$$\sum _{r=1}^6\frac{\partial f}{\partial q_r}(\delta q_r+\frac{t}{{\mu }_r}\delta p_r)=0$$

и
$$\sum _{r=1}^6\frac{1}{{\mu }_r}\frac{\partial f}{\partial q_r}\delta p_r+\sum _{r=1}^6\sum _{s=1}^6\frac{p_r}{{\mu }_r}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial q_r\partial q_s}(\delta q_s+\frac{t}{{\mu }_s}\delta p_s+\frac{p_s}{{\mu }_s}\delta t)=0.$$

Так как последнее уравнение содержит $\delta t$, то оно, очевидно, не может войти в комбинацию; следовательно, имеем:
$$\frac{\partial \mathrm{\Psi }/\partial q_1}{\partial f/\partial q_1}=\frac{\partial \mathrm{\Psi }/\partial q_2}{\partial f/\partial q_2}=\cdots =\frac{\partial \mathrm{\Psi }/\partial q_6}{\partial f/\partial q_6};\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p_r}=\frac{t}{{\mu }_r}\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q_r}(r=1,2,\dots ,6).$$

Совпадение этих уравнений с найденными уравнениями для $\mathrm{\Phi }$ показывает, что уравнения $\mathrm{\Phi }=0$ и $\mathrm{\Psi }=0$ эквивалентны. Следовательно, уравнение $\mathrm{\Phi }=0$ есть результат исключения $t$ из уравнений:
$$f(q_1+\frac{p_1}{{\mu }_1}t,\dots ,q_6+\frac{p_6}{{\mu }_6}t)=0$$

и
$$\frac{\partial }{\partial t}f(q_1+\frac{p_1}{{\mu }_1}t,\dots ,q_6+\frac{p_6}{{\mu }_6}t)=0.$$

Легко указать все уравнения $f(q_1,q_2,\dots ,q_6)=0$, являющиеся условием того, что уравнение для $s$ имеет кратные корни. Этот результат даст нам возможность найти всевозможные полиномы $\mathrm{\Phi }$ и тем самым, — путем разложения $\mathrm{\Phi }$ на множители, — все возможные полиномы ${\phi }_0$.

Восемь корней $s$ являются восемью значениями, которые может принимать выражение $\pm r_1\pm r_1\pm r_3$, где $r_1,r_2,r_3$ означают взаимные расстояния наших трех тел. Поэтому совпадение двух корней $s$ можно рассматривать как следствие каждого из уравнений:
$$\begin{array}{c}{r}_1=0,r_2=0,r_3=0,r_2=\pm r_3,r_3=\pm r_1,r_1=\pm r_2,\\ r_1\pm r_2\pm r_3=0.\end{array}$$

Уравнение $r_1=0$ дает:
$$q_1^2+q_2^2+q_3^2=0,$$

и результат исключения $t$ из уравнений:
$${(q_1+\frac{p_1}{{\mu }_1}t)}^2+{(q_2+\frac{p_2}{{\mu }_2}t)}^2+{(q_3+\frac{p_3}{{\mu }_3}t)}^2=0$$

и
$$\frac{d}{dt}\{{(q_1+\frac{p_1}{{\mu }_1}t)}^2+{(q_2+\frac{p_2}{{\mu }_2}t)}^2+{(q_3+\frac{p_3}{{\mu }_3}t)}^2\}=0$$

есть
$$q_1^2+q_2^2+q_3^2(\frac{p_1^2}{{\mu }_1^2}+\frac{p_2^2}{{\mu }_2^2}+\frac{p_3^2}{{\mu }_3^2})={(\frac{q_1{p}_1}{{\mu }_1}+\frac{q_2{p}_2}{{\mu }_2}+\frac{q_3{p}_3}{{\mu }_3})}^2.$$

Получаемое отсюда значение $\mathrm{\Phi }$ есть, следовательно,
$$\mathrm{\Phi }={(\frac{q_1{p}_2}{{\mu }_2}-\frac{q_2{p}_1}{{\mu }_1})}^2+{(\frac{q_2{p}_3}{{\mu }_3}-\frac{q_3{p}_2}{{\mu }_2})}^2+{(\frac{q_3{p}_1}{{\mu }_1}-\frac{q_1{p}_3}{{\mu }_3})}^2.$$

Это выражение не может быть разложено на действительные множители и поэтому в этом случае не существует действительного ${\phi }_0$.

Аналогичный результат может быть получен и в случае $r_2=0$ и $r_3=0$. Рассмотрим теперь уравнение:
$$r_2=\pm r_3,$$

которое может быть написано в виде:
$$\begin{array}{c}{q}_4^2+q_5^2+q_6^2+\frac{2m_2}{m_1+m_2}(q_1{q}_4+q_2{q}_5+q_3{q}_6)+\\ +{\left(\frac{m_2}{m_1+m_2}\right)}^2(q_1^2+q_2^2+q_3^2)=q_4^2+q_5^2+q_6^2-\\ -\frac{2m_1}{m_1+m_2}(q_1{q}_4+q_2{q}_5+q_3{q}_6){\left(\frac{m_1}{m_1+m_2}\right)}^2(q_1^2+q_2^2+q_3^2)\end{array}$$

или
$$2(q_1{q}_4+q_2{q}_5+q_3{q}_6)+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}(q_1^2+q_2^2+q_3^2)=0.$$

Заменяя $q_r$ через $q_r+\frac{p_{r}t}{{\mu }_r}$ и составляя дискриминант полученного таким образом уравнения относительно $t$, получим:
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Phi }& =\{2(q_1{q}_4+q_2{q}_5+q_3{q}_6)+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}(q_1^2+q_2^2+q_3^2)\}\times \\ & \times \{2(\frac{p_1{p}_4}{{\mu }_1{\mu }_4}+\frac{p_2{p}_5}{{\mu }_2{\mu }_5}+\frac{p_3{p}_6}{{\mu }_3{\mu }_6})-\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}(\frac{p_1^2}{{\mu }_1^2}+\frac{p_2^2}{{\mu }_2^2}+\frac{p_3^2}{{\mu }_3^2})\}-\\ & -\{\frac{q_1{p}_4}{{\mu }_4}+\frac{q_4{p}_1}{{\mu }_1}+\frac{q_2{p}_5}{{\mu }_5}+\frac{q_5{p}_2}{{\mu }_2}+\frac{q_3{p}_6}{{\mu }_6}+\frac{q_6{p}_3}{{\mu }_3}+\\ & {+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}(\frac{q_1{p}_1}{{\mu }_1}+\frac{q_2{p}_2}{{\mu }_2}+\frac{q_3{p}_3}{{\mu }_3})\}}^2.\end{array}$$

Это выражение может быть разложено на полиномы, линейные относительно $p_1,p_2,\dots ,p_6$. Следовательно, и в этом случае не существует ${\phi }_0$.

Аналогично можно показать, что и в случае уравнений $r_3=\pm r_1$, $r_1=\pm r_2$ не существует функции ${\phi }_0$.
Наконец, уравнения:
$$r_1\pm r_2\pm r_3=0,$$

в рациональной форме принимают вид:
$${(r_3^2-r_2^2+r_1^2)}^2-4r_3^2{r}_1^2=0.$$

При $r_1=0$ этот случай приводится к предыдущему; так как полином $\mathrm{\Phi }$ в этом частном случае не разлагается на множителей, то то же самое будет иметь место и в общем случае.

Следовательно, не существует вещественных полиномов ${\phi }_0$, содержащих s.

Резюмируя, можем сказать: Мы до сих пор доказали, что всякий не зависящий от $t$ алгебраический интеграл дифференциальных уравнений задачи трех тел есть алгебраическая функция интегралов $\phi$, каждый из которых может быть представлен в виде:
$${\phi }_0+{\phi }_2+{\phi }_4+\cdots ,$$

где ${\phi }_0$ есть однородный полином некоторой $k$-й степени относительно переменных $p$ и однородная алгебраическая функция некоторой $l$-й степени относительно переменных $q;{\phi }_2$ есть однородный полином $(k-2)$-й степени относительно переменных $p$ и однородная алгебраическая функция ( $l-1$ )-й степени относительно переменных $q;{\phi }_4$ есть однородный полином ( $k-4$ )-й степени относительно $p$ и функция $(l-2)$-й степени относительно $q$ и т. д.

8. Функция ${\phi }_0$ зависит только от импульсов и от интегралов моментов количества движения. Подставляя в уравнение:
$$\frac{d\phi }{dt}=0\text{ или }\sum _{r=1}^6(\frac{p_r}{{\mu }_r}\frac{\partial \phi }{\partial q_r}+\frac{\partial U}{\partial q_r}\frac{\partial \phi }{\partial p_r})=0$$

вместо $\phi$ его значение ${\phi }_0+{\phi }_2+{\phi }_4+\dots$ и приравнивая члены одного и того же порядка, получим:
$$\begin{array}{l}0=\sum _{r=1}^6\frac{\partial {\phi }_0}{\partial q_r}\frac{p_r}{{\mu }_r}\\ 0=\sum _{r=1}^6(\frac{\partial {\phi }_2}{\partial q_r}\frac{p_r}{{\mu }_r}+\frac{\partial {\phi }_0}{\partial p_r}\frac{\partial U}{\partial q_r}),\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ 0=\sum _{r=1}^6(\frac{\partial {\phi }_k}{\partial q_r}\frac{p_r}{{\mu }_r}+\frac{\partial {\phi }_{k-2}}{\partial p_r}\frac{\partial U}{\partial q_r}),\\ 0=\sum _{r=1}^6\frac{\partial {\phi }_k}{\partial p_r}\frac{\partial U}{\partial q_r}).\end{array}$$

Первое из этих уравнений есть линейное уравнение с частными производными, определяющее ${\phi }_0$; оно легко разрешается и дает:
$${\phi }_0=f_0(P_2,P_3,\dots ,P_6,p_1,p_2,\dots ,p_6),$$

где
$$P_r=\frac{q_r{p}_1}{{\mu }_1}-\frac{q_1{p}_r}{{\mu }_r}(r=2,3,\dots ,6).$$

Пусть ${\phi }_2$, выраженное в переменных $q_1,P_2,\dots ,P_6,p_1,\dots ,p_6$, имеет вид:
$${\phi }_2=f_2(q_1,P_2,P_3,\dots ,P_6,p_1,p_2,\dots ,p_6)$$

Тогда
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f_2}{\partial q_1}& =\frac{\partial {\phi }_2}{\partial q_1}+\sum _{r=2}^6\frac{\partial {\phi }_2}{\partial q_r}\frac{\partial q_r}{\partial q_1}=(q_r=\frac{{\mu }_1{P}_r}{p_1}+\frac{{\mu }_1{p}_r{q}_1}{{\mu }_r{p}_1})\\ & =\frac{\partial {\phi }_2}{\partial q_1}+\sum _{r=2}^6\frac{\partial {\phi }_2}{\partial q_r}\frac{{\mu }_1{p}_r}{{\mu }_r{p}_1}\end{array}$$

или
$$\frac{p_1}{{\mu }_1}\frac{\partial f_2}{\partial q_1}=\sum _{r=1}^6\frac{p_r}{{\mu }_r}\frac{\partial {\phi }_2}{\partial q_r}=-\sum _{r=1}^6\frac{\partial {\phi }_0}{\partial p_r}\frac{\partial U}{\partial q_r}.$$

Интегрируя, находим:
$$f_2=\chi (P_2,P_3,\dots ,P_6,p_1,\dots ,p_6)-\int \frac{{\mu }_1}{p_1}\sum _{r=1}^6\frac{\partial {\phi }_0}{\partial p_r}\frac{\partial U}{\partial q_r}d{q}_1.$$

Отсюда следует, что $\int Xd{q}_1$, где $X$ функция от $q_1,P_2,\dots ,P_6$, определяемая уравнением:
$$\begin{array}{rl}X& =\sum _{r=1}^6\frac{\partial {\phi }_0}{\partial p_r}\frac{\partial U}{\partial q_r}=(\frac{\partial f_0}{\partial p_1}+\sum _{s=2}^6\frac{\partial f_0}{\partial P_s}\frac{q_s}{{\mu }_1})+\sum _{r=2}^6(\frac{\partial f_0}{\partial p_r}-\frac{\partial f_0}{\partial P_r}\frac{q_1}{{\mu }_r})\frac{\partial U}{\partial q_r}=\\ & =\sum _{r=1}^6\frac{\partial f_0}{\partial p_r}\frac{\partial U}{\partial q_r}+\sum _{r=2}^6\frac{\partial f_0}{\partial P_r}(\frac{q_r}{{\mu }_1}\frac{\partial U}{\partial q_1}-\frac{q_1}{{\mu }_r}\frac{\partial U}{\partial q_r})\end{array}$$

не может содержать логарифмических членов.
Если $V$ означает функцию $U$, выраженную в переменных $q_1$, $P_2,\dots ,P_6,p_1,\dots ,p_6$, то
$$\frac{\partial U}{\partial q_r}=\frac{p_1}{{\mu }_1}\frac{\partial V}{\partial P_r}(r>1)\text{ и }\frac{\partial U}{\partial q_1}=\frac{\partial V}{\partial q_1}-\sum _{r=2}^6\frac{\partial V}{\partial P_r}\frac{p_r}{{\mu }_r}.$$

Нетрудно видеть, что члены в $X$, которые могут вызвать появление логарифмических членов в $\int Xd{q}_1$, суть:
$$\sum _{r=2}^6\frac{\partial f_0}{\partial P_r}\{\frac{p_{r}V}{{\mu }_r{p}_1}+\frac{p_r{q}_1}{{\mu }_r{p}_1}\sum _{s=2}^6\frac{\partial V}{\partial P_s}\frac{p_s}{{\mu }_s}+\frac{q_1{p}_1}{{\mu }_r{\mu }_1}\frac{\partial V}{\partial P_r}\}.$$

Поэтому члены, могущие быть логарифмическими в $\int Xd{q}_1$ суть:
$$\begin{array}{rl}\sum _{r=2}^6\frac{p_r}{{\mu }_r{p}_1}\frac{\partial f_0}{\partial P_r}\int Vd{q}_1& +\sum _{r=2}^6\sum _{s=2}^6\frac{\partial f_0}{\partial P_r}\frac{p_r{p}_s}{{\mu }_r{\mu }_s{p}_1}\frac{\partial }{\partial P_s}\int q_{1}Vd{q}_1+\\ & +\sum _{r=2}^6\frac{\partial f_0}{\partial P_r}\frac{p_1}{{\mu }_r{\mu }_1}\frac{\partial }{\partial P_r}\int q_{1}Vd{q}_1\end{array}$$

Но $V$ есть сумма трех членов, каждый из которых имеет вид ${(A+B{q}_1+C{q}_1^2)}^{-\frac{1}{2}}$. Взяв эти члены в отдельности, для трансцендентной

части последнего выражения получим:
$$\begin{array}{c}\sum _{r=2}^6\frac{\partial f_0}{\partial P_r}\frac{p_r}{{\mu }_r{p}_1}\frac{1}{\sqrt{-C}}\arcsin \frac{2C{q}_1+B}{{(B^2-4AC)}^{\frac{1}{2}}}-\\ -\sum _{r=2}^6\sum _{s=2}^6\frac{\partial f_0}{\partial P_r}\frac{p_r{p}_s}{{\mu }_r{\mu }_s{p}_1}\frac{1}{2C\sqrt{-C}}\frac{\partial B}{\partial P_s}\arcsin \frac{2C{q}_1+B}{{(B^2-4AC)}^{\frac{1}{2}}}-\\ -\sum _{r=2}^6\frac{\partial f_0}{\partial P_r}\frac{p_1}{{\mu }_r{\mu }_1}\frac{1}{2C\sqrt{-C}}\frac{\partial B}{\partial P_r}\arcsin \frac{2C{q}_1+B}{{(B^2-4AC)}^{\frac{1}{2}}}\end{array}$$

Поэтому для каждой из дробей ${(A+B{q}_1+C{q}_1^2)}^{-\frac{1}{2}}$ должно иметь место соотношение:
$$C\sum _{r=2}^6\frac{\partial f_0}{\partial P_r}\frac{p_r}{{\mu }_r{p}_1}-\sum _{r=2}^6\sum _{s=2}^6\frac{\partial f_0}{\partial P_r}\frac{p_r{p}_s}{{\mu }_r{\mu }_s{p}_1}\frac{1}{2}\frac{\partial B}{\partial P_s}-\sum _{r=2}^6\frac{\partial f_0}{\partial P_r}\frac{p_1}{{\mu }_r{\mu }_1}\frac{1}{2}\frac{\partial B}{\partial P_r}=0.$$

Но для первой из этих дробей, а именно для ${(q_1^2+q_2^2+q_3^2)}^{-\frac{1}{2}}$ имеем:
$$A=\frac{{\mu }_1^2}{p_1^2}(P_2^2+P_3^2),\frac{1}{2}B=\frac{{\mu }_1^2{P}_2{p}_2}{{\mu }_2{p}_1^2}+\frac{{\mu }_1^2{P}_3{p}_3}{{\mu }_3{p}_1^2},C=1+\frac{{\mu }_1^2{p}_2^2}{{\mu }_2^2{p}_1^2}+\frac{{\mu }_1^2{p}_3^2}{{\mu }_3^2{p}_1^2}.$$

Поэтому первое из трех уравнений имеет вид:
$$\begin{array}{l}(1+\frac{{\mu }_1^2{p}_2^2}{{\mu }_2^2{p}_1^2}+\frac{{\mu }_1^2{p}_3^2}{{\mu }_3^2{p}_1^2})\sum _{r=2}^6\frac{\partial f_0}{\partial P_r}\frac{p_r}{{\mu }_r{p}_1}-\sum _{r=2}^6\frac{\partial f_0}{\partial P_r}\frac{p_r}{{\mu }_r{p}_1}(\frac{{\mu }_1^2{p}_2^2}{{\mu }_2^2{p}_1^2}+\frac{{\mu }_1^2{p}_3^2}{{\mu }_3^2{p}_1^2})-\\ -(\frac{\partial f_0}{\partial P_2}\frac{{\mu }_1{p}_2}{{\mu }_2^2{p}_1}+\frac{\partial f_0}{\partial P_3}\frac{{\mu }_1{p}_3}{{\mu }_3^2{p}_1})=0\end{array}$$

или
$$\sum _{r=2}^6\frac{\partial f_0}{\partial P_r}\frac{p_r}{{\mu }_r}(\frac{\partial f_0}{\partial P_2}\frac{{\mu }_1{p}_2}{{\mu }_2^2}+\frac{\partial f_0}{\partial P_3}\frac{{\mu }_1{p}_3}{{\mu }_3^2})-0,$$

или (так как ${\mu }_1={\mu }_2={\mu }_3$ )
$$\sum _{r=4}^6{p}_r\frac{\partial f_0}{\partial P_r}=0$$

Решение этого уравнения показывает, что $f_0$ есть функция от
$$p_1,p_2,\dots ,p_6,P_2,P_3,(p_4{q}_5-p_5{q}_4),(p_4{q}_6-p_6{q}_4).$$

Так как все три выражения ( $A+B{q}_1+C{q}_1^2)$ суть линейные функции от величин $(q_1^2+q_2^2+q_3^2),(q_1{q}_4+q_2{q}_5+q_3{q}_6),(q_4^2+q_5^2+q_6^2)$, то мы можем для нашей цели заменить их этими величинами. Поэтому в качестве второго выражения ( $A+B{q}_1+C{q}_1^2$ ) мы принимаем величину $(q_1{q}_4+q_2{q}_5+q_3{q}_6)$ или
$$\begin{array}{rl}{q}_1(\frac{\mu P_4}{p_1}+& \frac{\mu P_4}{{\mu }^{\prime }{p}_1}{q}_1)+(\frac{\mu P_2}{p_1}+\frac{p_2{q}_1}{p_1})(\frac{\mu P_5}{p_1}+\frac{\mu p_5{q}_1}{{\mu }^{\prime }{p}_1})+\\ & +(\frac{\mu P_3}{p_1}+\frac{p_3{q}_1}{p_1})(\frac{\mu P_6}{p_1}+\frac{\mu p_6{q}_1}{{\mu }^{\prime }{p}_1}).\end{array}$$

Для нее
$$\begin{array}{rl}B& =\frac{\mu P_4}{p_1}+\frac{\mu P_5{p}_2}{p_1^2}+\frac{{\mu }^2{P}_2{p}_5}{{\mu }^{\prime }{p}_1^2}+\frac{\mu P_6{p}_3}{p_1^2}+\frac{{\mu }^2{P}_3{p}_6}{{\mu }^{\prime }{p}_1^2}\\ C& =\frac{\mu p_4}{{\mu }^{\prime }{p}_1}+\frac{\mu p_2{p}_5}{{\mu }^{\prime }{p}_1^2}+\frac{\mu p_3{p}_6}{{\mu }^{\prime }{p}_1^2}\end{array}$$

и соответствующим уравнением будет:
$$\begin{array}{c}\frac{\partial f_0}{\partial P_2}(p_2{p}_4-p_1{p}_5)+\frac{\partial f_0}{\partial P_3}(p_3{p}_4-p_1{p}_6)+\frac{\partial f_0}{\partial P_4}(\frac{\mu p_4^2}{{\mu }^{\prime }}-p_1^2)+\\ +\frac{\partial f_0}{\partial P_5}(\frac{\mu p_4{p}_5}{{\mu }^{\prime }}-p_1{p}_2)+\frac{\partial f_0}{\partial P_6}(\frac{\mu p_4{p}_6}{{\mu }^{\prime }}-p_1{p}_3)=0\end{array}$$

В качестве третьего выражения для ( $A+B{q}_1+C{q}_1^2)$ мы можем принять величину $q_4^2+q_5^2+q_6^2$. Можно показать, что соответствующее уравнение совпадает с (7) и может быть поэтому отброшено. ІІам нужно, таким образом, рассмотреть только уравнения (7) и (8). Упрощая (8) при помощи (7), мы можем этим уравнениям придать вид:
$$\begin{array}{c}{p}_4\frac{\partial f_0}{\partial P_4}+p_5\frac{\partial f_0}{\partial P_5}+p_6\frac{\partial f_0}{\partial P_6}=0\\ (p_2{p}_4-p_1{p}_5)\frac{\partial f_0}{\partial P_2}+(p_4{p}_3-p_1{p}_6)\frac{\partial f_0}{\partial P_3}-p_1(p_1\frac{\partial f_0}{\partial P_4}+p_2\frac{\partial f_0}{\partial P_5}+p_3\frac{\partial f_0}{\partial P_6})=0.\end{array}$$

Эти уравнения являются, очевидно, алгебраически независимыми и условия интегрируемости Якоби выполняются для них тождественно, так как коэффициенты при производных $\frac{\partial f_0}{\partial P}$ не содержат величины $P$. Оба уравнения образуют поэтому полную систему с пятью независимыми переменными $P_2,P_3,P_4,P_5,P_6$. Они имеют, следовательно, $5-2=3$ независимых интегралов и всякий другой интеграл будет функцией от этих трех интегралов и от величин $p_1,p_2,\dots ,p_6$.
Нетрудно убедится, что тремя независимыми решениями будут:
$$\begin{array}{r}{P}_2{p}_3-P_3{p}_2+P_5{p}_6-P_6{p}_5,\\ P_3{p}_1+P_6{p}_4-P_4{p}_6,\\ -P_2{p}_1+P_4{p}_5-P_5{p}_4,\end{array}$$

или
$$\frac{P_{1}L}{\mu },\frac{p_{1}M}{\mu },\frac{p_{1}N}{\mu },$$

где
$$\begin{array}{rl}L& =q_2{p}_3-q_3{p}_2+q_5{p}_6-q_6{p}_5,\\ M& =q_3{p}_1-q_1{p}_3+q_6{p}_4-q_4{p}_6,\\ N& =q_1{p}_2-q_2{p}_1+q_4{p}_5-q_5{p}_4.\end{array}$$

Три уравнения:
$$L=\text{ const },M=\text{ const },N=\text{ const, }$$

представляют собой три интеграла моментов количества движения системы. Таким образом, мы доказали, что ${\phi }_0$ есть функция одних лишь величин $L,M,N,p_1,p_2,\dots ,p_6$.
9. Доказательство того, что ${\phi }_0$ есть функция от $T,L,M$ и . Так как величина ${\phi }_0$, рассматриваемая как функция от $q_1,q_2,\dots$, $q_6,p_1,\dots ,p_6$, есть целая и рациональная функция относительно величин $p_1,p_2,\dots ,p_6$, то она будет, очевидно, целой и рациональной относительно величин $L,M,N,p_1,p_2,\dots ,p_6$.
Полагая
$${\phi }_0=G(L,M,N,p_1,\dots ,p_6),$$

будем иметь:
$$\frac{{\phi }_0}{dt}=\sum _{r=1}^6\frac{\partial G}{\partial p_r}\frac{d{p}_r}{dt}=\sum _{r=1}^6\frac{\partial G}{\partial p_r}\frac{\partial U}{\partial q_r}.$$

Уравнение для $f_2$ принимает вид:
$$f_2=\chi (P_2,\dots ,P_6,p_1,\dots ,p_6)-\frac{{\mu }_1}{p_1}\sum _{r=1}^6\frac{\partial G}{\partial p_r}\int Y_{r}d{q}_1,$$

где $Y_r$ означает величину $\frac{\partial U}{\partial q_r}$, выраженную через $q_1,P_2,\dots ,P_6$, $p_1,\dots ,p_6$. Поэтому имеем:
$$\begin{array}{rl}& \frac{{\mu }_1}{p_1}\sum _{r=1}^6\frac{\partial G}{\partial p_r}\int Y_{r}d{q}_1=\\ =& \int \frac{{\mu }_1}{p_1}\{\frac{\partial G}{\partial p_1}(\frac{\partial V}{\partial q_1}-\sum \frac{\partial V}{\partial P_r}\frac{p_r}{{\mu }_r})+\frac{p_1}{{\mu }_1}\frac{\partial V}{\partial P_2}\frac{\partial G}{\partial p_2}+\cdots +\frac{p_1}{{\mu }_1}\frac{\partial V}{\partial P_6}\frac{\partial G}{\partial p_6}\}d{q}_1=\\ =& \frac{{\mu }_1}{p_1}\frac{\partial G}{\partial p_1}\int \frac{\partial V}{\partial q_1}d{q}_1+\sum _{r=2}^6\int \frac{\partial V}{\partial P_r}(\frac{\partial G}{\partial p_r}-\frac{{\mu }_1{p}_r}{{\mu }_r{p}_1}\frac{\partial G}{\partial p_1})d{q}_1=\\ =& \frac{{\mu }_1}{p_1}\frac{\partial G}{\partial p_1}V+\sum _{r=2}^6(\frac{\partial G}{\partial p_r}-\frac{{\mu }_1{p}_r}{{\mu }_r{p}_1}\frac{\partial G}{\partial p_1})\frac{\partial }{\partial P_r}\int V_1{m}_2=\\ =& \frac{{\mu }_1}{p_1}\frac{\partial G}{\partial p_1}\sum _A\frac{{(A+B{q}_1+C{q}_1^2)}^{\frac{1}{2}}}{r=2}(\frac{\partial G}{\partial p_r}-\frac{{\mu }_1{p}_r}{{\mu }_r{p}_1}\frac{\partial G}{\partial p_1})\times \\ & \times \sum _A\frac{m_1{m}_2(-2A\frac{\partial B}{\partial P_r}-q_{1}B\frac{\partial B}{\partial P_r}+B\frac{\partial A}{\partial P_r}+2C{q}_1\frac{\partial A}{\partial P_r})}{(B^2-4AC){(A+B{q}_1+C{q}_1^2)}^{\frac{1}{2}}}\end{array}$$

где $\sum _A$ означает суммирование по всем трем значениям выражения $A+B{q}_1+C{q}_1^2$.

Так как $\chi (P_2,\dots ,P_6,p_1,\dots ,p_6)$ не может дать членов, содержащих $A+B{q}_1+C{q}_1^2$ в знаменателе, то все члены, умножающиеся на ${(A+B{q}_1+C{q}_1^2)}^{\frac{1}{2}}$ должны иметь тот же характер, что и ${\phi }_2$, т. е. они, рассматриваемые как функции от $q_1,q_2,\dots ,q_6$, $p_1,\dots ,p_6$, должны быть целыми и рациональными относительно величин $p_1,\dots ,p_6$. Следовательно, выражение:
$$\frac{{\mu }_1}{p_1}\frac{\partial G}{\partial p_1}+2\sum _{r=2}^6(\frac{\partial G}{\partial p_r}-\frac{{\mu }_1{p}_r}{{\mu }_r{p}_1}\frac{\partial G}{\partial p_1})\frac{-A\frac{\partial B}{\partial P_r}-\frac{1}{2}{q}_{1}B\frac{\partial B}{\partial P_r}+\frac{1}{2}B\frac{\partial A}{\partial P_r}+C{q}_1\frac{\partial A}{\partial P_r}}{B^2-4AC},$$

рассматриваемое как функция от $q_1,\dots ,q_6,p_1,\dots ,p_6$, должно быть целым и рациональным относительно $p_1,\dots ,p_6$. Полагая сначала
$A+B{q}_1+C{q}_1^2=q_1^2+q_2^2+q_3^2$, для этого выражения мы получим значение:
$$\begin{array}{c}\frac{{\mu }_1}{p_1}\frac{\partial G}{\partial p_1}-\sum _{r=2}^3(\frac{\partial G}{\partial p_r}-\frac{{\mu }_1{p}_r}{{\mu }_r{p}_1}\frac{\partial G}{\partial p_1})\times \\ \times \frac{-p_r\{\mu (P_2^2+P_3^2)+q_1(P_2{p}_2+P_3{p}_3)\}+P_r\{\mu (P_2{p}_2+P_3{p}_3)+q_1(p_1^2+p_2^2+p_3^2)\}}{2\{p_1^2{P}_2^2+p_1^2{P}_3^2+{(p_2{P}_3-p_3{P}_2)}^2\}}\end{array}$$

или (опуская один множитель $\mu$ )
$$\begin{array}{c}\frac{1}{p_1}\frac{\partial G}{\partial p_1}-\sum _{r=2}^3(\frac{\partial G}{\partial p_r}-\frac{{\mu }_1{p}_r}{{\mu }_r{p}_1}\frac{\partial G}{\partial p_1})\times \\ \times \frac{-p_r\{p_1(q_2^2+q_3^2)-p_2{q}_1{q}_2-p_3{q}_1{q}_3\}+(q_r{p}_1-p_r{q}_1)(p_1{q}_1+p_2{q}_2+p_3{q}_3)}{2p_1\{{(q_2{p}_1-p_2{q}_1)}^2+{(q_3{p}_1-p_3{q}_1)}^2+{(p_2{q}_3-p_3{q}_2)}^2\}}\end{array}$$

или
$$\begin{array}{c}\frac{1}{p_1}\frac{\partial G}{\partial p_1}-\frac{(\frac{\partial G}{\partial p_2}-\frac{{\mu }_1{p}_2}{{\mu }_2{p}_1}\frac{\partial G}{\partial p_1})(-p_2{q}_3^2)-p_2{q}_1^2+p_1{q}_1{q}_2+p_3{q}_2{q}_3}{2\{{(q_2{p}_1-q_1{p}_2)}^2+{(q_3{p}_1-q_1{p}_3)}^2+{(q_3{p}_2-q_2{p}_3)}^2\}}-\\ -\frac{(\frac{\partial G}{\partial p_3}-\frac{{\mu }_1{p}_3}{{\mu }_3{p}_1}\frac{\partial G}{\partial p_1})(-p_3{q}_2^2-p_3{q}_1^2+q_3{q}_1{p}_1+q_3{q}_2{p}_2)}{2\{{(q_2{p}_1-q_1{p}_2)}^2+{(q_3{p}_1-q_1{p}_3)}^2+{(q_3{p}_2-q_2{p}_3)}^2\}}.\end{array}$$

Последняя дробь представляет собой целую рациональную функцию от $p_1,p_2,\dots ,p_6$.Следовательно, числитель должен делиться нацело на знаменатель.

Но $G$ есть полином относительно $L,M,N$ и, следовательно, каждое из выражений:
$$\frac{\partial G}{\partial p_2}-\frac{{\mu }_1{p}_2}{{\mu }_2{p}_1}\frac{\partial G}{\partial p_1}\text{ и }\frac{\partial G}{\partial p_3}-\frac{{\mu }_1{p}_3}{{\mu }_3{p}_1}\frac{\partial G}{\partial p_1}$$

суть целье рациональные функции от $L,M,N$, в которые $q_1,q_2,q_3$ входят лишь посредством $L,M,N$. Поэтому эти выражения либо совсем не содержат ни одной из величин $q_1,q_2,q_3$, либо они содержат члены, свободные от $q_1,q_2,q_3$. В обоих случаях знаменатель не может быть множителем числителя. Условие, следовательно, выполняется лишь в предположении, что
$$\frac{\partial G}{\partial p_2}-\frac{{\mu }_1{p}_2}{{\mu }_2{p}_1}\frac{\partial G}{\partial p_1}=0,\frac{\partial G}{\partial p_3}-\frac{{\mu }_1{p}_3}{{\mu }_3{p}_1}\frac{\partial G}{\partial p_1}=0.$$

Давая теперь $A,B,C$ вторую и третью системы значений, мы получим, как это и следовало ожидать из симметрии, что
$$\frac{\partial G}{\partial p_r}-\frac{{\mu }_1{p}_r}{{\mu }_r{p}_1}\frac{\partial G}{\partial p_1}=0(r=4,5,6).$$

Таким образом, функция $G$ удовлетворяет этим пяти уравнениям, образующим полную систему из пяти независимых уравнений с шестью независимыми переменными, и имеющим поэтому только одно независимое решение. Это решение легко находится и имеет вид:
$$\sum _{s=1}^6\frac{p_s^2}{2{\mu }_s}\text{ или }T.$$

Функция $G$ зависит, следовательно, от $p_1,p_2,\dots ,p_6$ лииь посредством $T$; так как $G$ есть полином относительно $p_1,p_2,\dots ,p_6$, то он должен быть также полиномом и относительно $T$.

Так как ${\phi }_0$ однородна как относительно $q_1,q_2,\dots ,q_6$, так и относительно $p_1,p_2,\dots ,p_6$, и величины $L,M,N$ линейны относительно $q_1,q_2,\dots ,q_6$, а $T$ не содержит величин $q_1,\dots ,q_6$ и имеет второй порядок относительно $p_1,\dots ,p_6$, то функция $T$ должна, очевидно, входить в ${\phi }_0$, — если она вообще туда входит, — лишь в качестве множителя. Поэтому мы имеем право предположить, что
$${\phi }_0=h(L,M,N)T^m,$$

где $h$ есть целая рациональная и однородная функция ее аргументов.
10. Доказательство теоремы Брунса для интегралов, не зависящих от времени.
Уравнение, определяющее функцию $f_2$, имеет вид:
$$f_2=\chi (P_2,\dots ,P_6,p_1,\dots ,p_6)-\frac{{\mu }_1}{p_1}\frac{\partial G}{\partial p_1}U$$

Ho
$$\frac{{\mu }_1}{p_1}\frac{\partial G}{\partial p_1}=\frac{{\mu }_1}{p_1}\frac{\partial G}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial p_1}=mh(L,M,N)T^{m-1},$$

и поэтому
$$f_2=\chi (P_2,\dots ,P_6,p_1,\dots ,p_6)-mh(L,M,N)T^{m-1}U.$$

Отсюда имеем:
$$\begin{array}{c}\phi ={\phi }_0+{\phi }_2+{\phi }_4+\dots =h(L,M,N)(T^m-m{T}^{m-1}U)+\\ +\chi (P_2,\dots ,P_6,p_1,\dots ,p_6)+{\phi }_4+{\phi }_6+\dots \end{array}$$

Следовательно, интеграл $\phi$ складывается из двух других интегралов:
1. Из интеграла $h(L,M,N)(T-U{)}^m$, являющегося следствием классических интегралов, и
2. Из интеграла ${\phi }^{\prime }$, где
$$\begin{array}{l}{\phi }^{\prime }={\phi }_0^{\prime }+{\phi }_2^{\prime }+{\phi }_4^{\prime }+\dots ,\\ {\phi }_0^{\prime }=\chi (P_2,\dots ,P_6,p_1,\dots ,p_6)\\ {\phi }_2^{\prime }={\phi }_4-\frac{m(m-1)}{2!}h(L,M,N)T^{m-2}{U}^2,\\ {\phi }_4^{\prime }={\phi }_6+\frac{m(m-1)(m-2)}{3!}h(L,M,N)T^{m-3}{U}^3,\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \end{array}$$

Интеграл ${\phi }^{\prime }$, имея такой же характер, как и $\phi$, отличается от последнего тем, что его старший член ${\phi }_0^{\prime }$ относительно переменных $p_1,\dots ,p_6$ имеет порядок на две единицы ниже, чем старший член в интеграле $\phi$. Мы доказали, что интеграл $\phi$ может быть составлен из классических интегралов и интеграла ${\phi }^{\prime }$. Аналогичным способом и ${\phi }^{\prime }$ может быть составлен из классических интегралов и некоторого интеграла ${\phi }^{\prime \prime }$, имеющего такой же характер, как и $\phi$, но порядок относительно переменных $p$ на четыре единицы ниже, чем у $\phi$. Продолжая, таким образом, дальше, мы придем к заключению, что $\phi$ может быть составлен из классических интегралов и из некоторого интеграла ${\phi }^{(n)}$, имеющего относительно переменных $p$ порядок, равный единице или нулю. В первом случае в равенстве
$${\phi }^{(n)}={\phi }_0^{(n)}=h(L,M,N)T^k$$

величина $k$ должна, очевидно, равняться нулю и, следовательно, ${\phi }^{(n)}$ составляется из классических интегралов. Напротив, во втором случае функция ${\phi }^{(n)}$, будучи нулевого порядка относительно $p_1,\dots ,p_6$, зависит только от величины $q_1,\dots ,q_6$. Но мы доказали, что такие интегралы не могут существовать. Следовательно, $\phi$ всегда может быть составлен алгебраически из классических интегралов. Таким образом, теорема Брунса доказана: Каждый, не зависящий от времени, алгебрачческий интеграл задачи трех тел есть алгебрачческая комбинация классических интегралов.
11. Распространение теоремы Брунса на интегралы, зависящие также и от времени. Перейдем теперь к рассмотрению таких алгебраических интегралов задачи трех тел, которые зависят также и от времени.
Для этой цели мы берем уравнения движения в виде системы восемнадцатого порядка ( $\mathrm{\$}155$ ). Нам надо поэтому исследовать интегралы вида:
$$f(q_1,q_2,\dots ,q_9,p_1,\dots ,p_9,t)=a,$$

где $f$ — алгебраическая функция аргументов.
Функция $f$, вообще говоря, нерациональна. Приведя последнее уравнение к рациональному виду относительно переменной $t$, получим уравнение вида:
$$\begin{array}{c}{a}^m+a^{m-1}{\phi }_1(q_1,\dots ,q_9,p_1,\dots ,p_9,t)+\\ +a^{m-2}{\phi }_2(q_1,\dots ,q_9,p_1,\dots ,p_9,t)+\cdots +\\ +{\phi }_m(q_1,\dots ,q_9,p_1,\dots ,p_9,t)=0\end{array}$$

где функции $\phi$ являются рациональными относительно $t$ и алгебраическими относительно остальных аргументов. Мы можем считать, что уравнение неприводимо относительно $t$, т. е. не может быть разложено на множители рациональные относительно $t$ и более низких степеней относительно $a$. Ибо если она приводима, то она может быть заменена теми ее неприводимыми множителями, которые соответствуют первоначальному уравнению $f=a$.
Дифференцирование по $t$ дает:
$$a^{m-1}\frac{d{\phi }_1}{dt}+a^{m-2}\frac{d{\phi }_2}{dt}+\cdots +\frac{d{\phi }_m}{dt}=0.$$

Все величины $\frac{d{\phi }_r}{dt}$, рассматриваемые как функции от $q_1,q_2,\dots ,q_9$, $p_1,\dots ,p_9,t$ рациональны относительно $t$. Следовательно, первоначальное уравнение является приводимым относительно $t$ если последнее уравнение не удовлетворяется тождественно. Поэтому
$$\frac{d{\phi }_r}{dt}=0(r=1,2,\dots ,m),$$
т. е. величины ${\phi }_r$ являются сами интегралами. Интеграл $f$ складывается из интегралов $\phi$, являющихся рациональными функциями относительно $t$ и алгебраическими относительно $q_1,\dots ,q_9,p_1,\dots ,p_9$.

Разлагая такого рода интеграл на простые множители первого порядка относительно $t$, получим:
$$\frac{P{(t-{\phi }_1)}^{m_1}{(t-{\phi }_2)}^{m_2}\cdots {(t-{\phi }_k)}^{m_k}}{{(t-{\psi }_1)}^{n_1}{(t-{\psi }_2)}^{n_2}\cdots {(t-{\psi }_l)}^{n_l}},$$

где $P,{\phi }_1,{\phi }_2,\dots ,{\phi }_k,{\psi }_1,{\psi }_2,\dots ,{\psi }_l$ суть алгебраические функции

от $q_1,\dots ,q_9,p_1,\dots ,p_9$. Так как это выражение есть интеграл, то
$$\begin{array}{c}\frac{1}{P}\frac{dP}{dt}+\frac{m_1}{t-{\phi }_1}(1-\frac{d{\phi }_1}{dt})+\cdots +\frac{m_k}{t-{\phi }_k}(1-\frac{d{\phi }_k}{dt})-\\ -\frac{n_1}{t-{\psi }_1}(1-\frac{d{\psi }_1}{dt})-\cdots -\frac{m_k}{t-{\psi }_l}(1-\frac{d{\psi }_l}{dt})=0.\end{array}$$

Если в этом уравнении заменить величины $\frac{dP}{dt},\frac{d{\phi }_1}{dt},\dots ,\frac{d{\phi }_k}{dt}$, $\frac{d{\psi }_1}{dt},\dots ,\frac{d{\psi }_l}{dt}$ их значениями $(P,H),({\phi }_1,H),\dots ,({\psi }_l,H)$, то это уравнение должно перейти в тождество. Последнее, однако, возможно только тогда, когда
$$\frac{dP}{dt}=0,1-\frac{d{\phi }_1}{dt}=0,\dots ,1-\frac{d{\phi }_k}{dt}=0,\dots ,1-\frac{d{\psi }_1}{dt}=0,\dots ,1-\frac{d{\psi }_l}{dt}=0,$$
т. е. когда все выражения:
$$P,t-{\phi }_1,t-{\phi }_2,\dots ,t-{\phi }_k,t-{\psi }_1,t-{\psi }_2,\dots ,t-{\psi }_l$$

суть интегралы. Следовательно, всякий зависящий от $t$ алгебраический интеграл задачи трех тел складывается:
1. Из алгебраических интегралов, не содержащих $t$.
2. Из интеграла вида:
$$t-\phi =\mathrm{const},$$

где $\phi$ есть алгебраическая функция от $q_1,\dots ,q_9,p_1,\dots ,p_9$.
Но, как известно,
$$t-\frac{m_1{q}_1+m_2{q}_4+m_3{q}_7}{p_1+p_4+p_7}=\mathrm{const},$$

есть интеграл. Поэтому каждый, содержащий $t$, алгебраический интеграл может быть составлен:
1. Из алгебраических интегралов, не содержащих $t$.
2. Из интегралов вида:
$$\phi -\frac{m_1{q}_1+m_2{q}_4+m_3{q}_7}{p_1+p_4+p_7}=\mathrm{const},$$

где $\phi$ есть алгебраическая функция от $q_1,\dots ,q_9,p_1,\dots ,p_9$.
3. Из классического интеграла:
$$t-\frac{m_1{q}_1+m_2{q}_4+m_3{q}_7}{p_1+p_4+p_7}.$$

Но первый и второй интегралы являются алгебраическими и не содержат времени. Поэтому согласно доказанному раньше они являются алгебраическими комбинациями классических интегралов.

Таким образом, получаем окончательно: всякий алгебраичесий интеграл задачи трех тел вне зависимости от того, содержит ли он явно время или нет, складывается из классических интегралов.

Теорему Брунса обобщил Пенлеве ${}^1$, доказав, что всякий интеграл задачи $n$-тел, являющийся алгебраической функцией от скоростей и какой угодно функцией от координат, есть комбинация классических интегралов.