Если динамическая система характеризуется своими кинетической и потенциальной энергиями и функцией рассеяния, то малые колебания около положения равновесия такого рода системы могут быть исследованы методами, аналогичными тем, которые мы изложим в гл. VII.

Примем для простоты, что система обладает только двумя степенями свободы. Так же как и в § 76 можно показать, что в задаче колебаний кинетическую энергию и функцию рассеяния можно считать однородными квадратичными функциями от скоростей, а потенциальную энергию – однородной квадратичной функцией от координат, причем все эти три функции имеют постоянные коэффициенты. Выбирая координаты таким образом, чтобы в случае отсутствия функции рассеяния они стали нормальными координатами системы для этих трех функций, получим выражения
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}\right), \\
F & =\frac{1}{2}\left(a \dot{q}_{1}^{2}+2 h \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+b \dot{q}_{2}^{2}\right), \\
V & =\frac{1}{2}\left(\lambda_{1} \dot{q}_{1}^{2}+\lambda_{2} \dot{q}_{2}^{2}\right),
\end{aligned}
\]

где $\lambda_{1}$ и $\lambda$ мы будем полагать положительными, и, следовательно, в случае отсутствия сил сопротивления равновесие будет устойчивым.
Уравнения движения имеют вид:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}_{r}}+\frac{\partial V}{\partial q_{r}}=0
\]

или
\[
\begin{array}{l}
\ddot{q}_{1}+a \dot{q}_{1}+h \dot{q}_{2}+\lambda_{1} q_{1}=0, \\
\ddot{q}_{2}+h \dot{q}_{1}+b \dot{q}_{2}+\lambda_{2} q_{2}=0 .
\end{array}
\]

Попробуем удовлетворить этим уравнениям решением вида:
\[
q_{1}=A e^{p t}, \quad q_{2}=B e^{p t} .
\]

Подстановка этих значений в дифференциальные уравнения дает:
\[
\begin{array}{l}
A\left(p^{2}+a p+\lambda_{1}\right)+B h p=0, \\
A h p+B\left(p^{2}+b p+\lambda_{2}\right)=0 .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что $p$ должно быть корнем уравнения
\[
\left(p^{2}+a p+\lambda_{1}\right)\left(p^{2}+b p+\lambda_{2}\right)-h^{2} p^{2}=0 .
\]

Предполагая, что силы сопротивления настолько малы, что можно пренебречь квадратами величин $a, h$ и $b$ для корней уравнения, мы получим значения:
\[
p_{1}=i \sqrt{\lambda_{1}}-\frac{1}{2} a, \quad p_{2}=i \sqrt{\lambda_{2}}-\frac{1}{2} b .
\]

Подставляя корень $p_{1}$ из второго уравнения, связывающего $A$ и $B$, получим равенство:
\[
\frac{B}{A}=\frac{i h \sqrt{\lambda_{1}}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}} .
\]

Следовательно, дифференциальные уравнения имеют частное решение:
\[
\begin{array}{l}
q_{1}=\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) e^{-\frac{1}{2} a t}\left(\cos \sqrt{\lambda_{1}} t+i \sin \sqrt{\lambda_{1}} t\right), \\
q_{2}=h \sqrt{\lambda_{1}} e^{-\frac{1}{2} a t}\left(i \cos \sqrt{\lambda_{1}} t-\sin \sqrt{\lambda_{2}} t\right) .
\end{array}
\]

Второе частное решение получится заменой $i$ на $-i$. Следовательно, два независимых действительных решения дифференциальных уравнений определяются равенствами:
\[
\begin{array}{l}
q_{1}=\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) e^{-\frac{1}{2} a t} \cos \sqrt{\lambda_{1}} t, \quad q_{1}=\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) e^{-\frac{1}{2} a t} \sin \sqrt{\lambda_{1}} t, \\
q_{2}=-h \sqrt{\lambda_{1}} e^{-\frac{1}{2} a t} \sin \sqrt{\lambda_{1}} t, \quad q_{2}=h \sqrt{\lambda_{1}} e^{-\frac{1}{2} a t} \cos \sqrt{\lambda_{1}} t . \\
\end{array}
\]

Поэтому наиболее общее действительное решение, соответствующее корню $p_{1}$, имеет вид:
\[
\begin{array}{l}
q_{1}=\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) A e^{-\frac{1}{2} a t} \sin \left(\sqrt{\lambda_{1}} t+\varepsilon\right), \\
q_{2}=h \sqrt{\lambda_{1}} A e^{-\frac{1}{2} a t} \sin \left(\sqrt{\lambda_{1}} t+\frac{\pi}{2}+\varepsilon\right),
\end{array}
\]

где $A$ и $\varepsilon$ – действительные произвольные постоянные. Оно выражает нормальное колебание системы. Присоединяя сюда решение, соответствующее корню $p_{2}$, мы получим окончательно общее решение задачи колебаний в виде:
\[
\begin{array}{l}
q_{1}=\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) A e^{-\frac{1}{2} a t} \sin \left(\sqrt{\lambda_{1}} t+\varepsilon\right)+h \sqrt{\lambda_{2}} B e^{-\frac{1}{2} b t} \sin \left(\sqrt{\lambda_{2}} t+\frac{\pi}{2}+\gamma\right), \\
q_{2}=h \sqrt{\lambda_{1}} A e^{-\frac{1}{2} a t} \sin \left(\sqrt{\lambda_{1}} t+\frac{\pi}{2}+\varepsilon\right)+\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right) B e^{-\frac{1}{2} b t} \sin \left(\sqrt{\lambda_{2}} t+\gamma\right),
\end{array}
\]

где $A, B, \varepsilon, \gamma$ четыре постоянные, определяемые начальными условиями.

Сделаем сейчас еще одно дальнейшее предположение, что силы сопротивления имеют такой характер, что энергия системы все время уменьшается, т. е. что $F$ есть определенная положительная форма, и, следовательно, $a$ и $b$ – положительны. Тогда из последних уравнений вследствие того, что они содержат множители $e^{-\frac{1}{2} a t}$ и $e^{-\frac{1}{2} b t}$, вытекает, что амплитуды колебаний неограниченно убывают. Периоды нормальных колебаний, если пренебречь квадратами величин $a, b$ и $h$, будут такие же, как и в случае отсутствия сил сопротивления. При этом для каждого нормального колебания амплитуда одной из координат очень мала по сравнению с амплитудой другой координаты, а фаза смещена на четверть периода.

Аналогичное исследование приводит к таким же результатам и в случае систем с большим числом степеней свободы. В предположении, что силы сопротивления очень малы, а функция рассеяния и потенциальная энергия суть определенные положительные формы, можно показать, что силы сопротивления не изменяют (при пренебрежении квадратами функции рассеяния) периодов нормальных колебаний и что колебания непрерывно затухают. Если, далее, $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ суть нормальные координаты системы при отсутствии сопротивления, то существует нормальное колебание системы с сопротивлением, при котором амплитуда координат $q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{n}$ мала по сравнению с амплитудой координаты $q_{1}$, а фазы смещены на четверть периода.
ЗадачА 1. Исследовать колебания системы при действии периодических внешних сил, имеющих такие же периоды, как и свободные колебания системы, и выяснить, какое значение имеют в этом случае малые силы рассеяния.