В предыдущем параграфе мы установили соотношение между моментами инерции относительно параллельных систем осей. Покажем теперь, что можно найти моменты инерции тела относительно любых прямоугольных осей, если они известны относительно прямоугольных осей, имеющих то же начало.

Пусть $A, B, C, F, G, H$ – моменты инерции и девиации относительно системы $O x y z$, которая имеет общее начало с системой $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$. Направляющие косинусы обеих систем пусть заданы таблицей

Если через $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, F^{\prime}, G^{\prime}, H^{\prime}$ обозначим моменты инерции и девиации относительно осей $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$, то будем иметь:
\[
A^{\prime}=\sum m\left(y^{\prime 2}+{z^{\prime}}^{2}\right)
\]

где суммирование распространено на все точки системы, или
\[
\begin{aligned}
A^{\prime} & =\sum m\left\{\left(l_{2} x+m_{2} y+n_{2} z\right)^{2}+\left(l_{3} x+m_{3} y+n_{3} z\right)^{2}\right\}= \\
& =\sum m\left\{x^{2}\left(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}\right)+y^{2}\left(m_{2}^{2}+m_{3}^{2}\right)+z^{2}\left(n_{2}^{2}+n_{3}^{2}\right)+\right. \\
& \left.+2 y z\left(m_{2} n_{2}+m_{3} n_{3}\right)+2 z x\left(n_{2} l_{2}+n_{3} l_{3}\right)+2 x y\left(l_{2} m_{2}+l_{3} m_{3}\right)\right\}= \\
& =\sum m\left\{x^{2}\left(m_{1}^{2}+n_{1}^{2}\right)+y^{2}\left(n_{1}^{2}+l_{1}^{2}\right)+\right. \\
& \left.+z^{2}\left(l_{1}^{2}+m_{1}^{2}\right)-2 m_{1} n_{1} y z-2 n_{1} l_{1} z x-2 l_{1} m_{1} x y\right\}= \\
& =\sum m\left\{l_{1}^{2}\left(y^{2}+z^{2}\right)+m_{1}^{2}\left(z^{2}+x^{2}\right)+\right. \\
& \left.+n_{1}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-2 m_{1} n_{1} y z-2 n_{1} l_{1} z x-2 l_{1} m_{1} x y\right\}= \\
& =A l_{1}^{2}+B m_{1}^{2}+C n_{1}^{2}-2 F m_{1} n_{1}-2 G n_{1} l_{1}-2 H l_{1} m_{1}
\end{aligned}
\]

и аналогично
\[
\begin{array}{l}
B^{\prime}=A l_{2}^{2}+B m_{2}^{2}+C n_{2}^{2}-2 F m_{2} n_{2}-2 G n_{2} l_{2}-2 H l_{2} m_{2}, \\
C^{\prime}=A l_{3}^{2}+B m_{3}^{2}+C n_{3}^{2}-2 F m_{3} n_{3}-2 G n_{3} l_{3}-2 H l_{3} m_{3} .
\end{array}
\]

Далее, имеем:
\[
\begin{array}{l}
F=\sum m y^{\prime} z^{\prime}=\sum m\left(l_{2} x+m_{2} y+n_{2} z\right)\left(l_{3} x+m_{3} y+n_{3} z\right)= \\
=l_{2} l_{3} \sum m x^{2}+m_{2} m_{3} \sum m y^{2}+n_{2} n_{3} \sum m z^{2}+\left(m_{2} n_{3}+m_{3} n_{2}\right) \sum m y z+ \\
+\left(n_{2} l_{3}+n_{3} l_{2}\right) \sum m z x+\left(l_{2} m_{3}+l_{3} m_{2}\right) \sum m x y= \\
=\frac{1}{2} l_{2} l_{3}(B+C-A)+\frac{1}{2} m_{2} m_{3}(C+A-B)+\frac{1}{2} n_{2} n_{3}(A+B-C)+ \\
+\left(m_{2} n_{3}+m_{3} n_{2}\right) F+\left(n_{2} l_{3}+n_{3} l_{2}\right) G+\left(l_{2} m_{3}+l_{3} m_{2}\right) H
\end{array}
\]

или
\[
\begin{array}{c}
-F^{\prime}=A l_{2} l_{3}+B m_{2} m_{3}+C n_{2} n_{3}- \\
-F\left(m_{2} n_{3}+m_{3} n_{2}\right)-G\left(l_{3} n_{2}+l_{2} n_{3}\right)-H\left(l_{2} m_{3}+l_{3} m_{2}\right)
\end{array}
\]

и, соответственно,
\[
\begin{array}{c}
-G^{\prime}=A l_{3} l_{1}+B m_{3} m_{1}+C n_{3} n_{1}- \\
-F\left(m_{3} n_{1}+m_{1} n_{3}\right)-G\left(l_{1} n_{3}+l_{3} n_{1}\right)-H\left(l_{3} m_{1}+l_{1} m_{3}\right) \\
-H^{\prime}=A l_{1} l_{2}+B m_{1} m_{2}+C n_{1} n_{2}- \\
-F\left(m_{1} n_{2}+m_{2} n_{1}\right)-G\left(l_{2} n_{1}+l_{1} n_{2}\right)-H\left(l_{1} m_{2}+l_{2} m_{1}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, величины $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, F^{\prime}, G^{\prime}, H^{\prime}$ определены. Этот результат, вместе с выводами предыдущего параграфа, позволяет определять моменты инерции и девиации заданного тела относительно произвольной прямоугольной системы осей, если эти моменты известны относительно некоторой другой прямоугольной системы.

ЗАДАчА 1. Пусть начало координат находится в центре тяжести материальной системы. Доказать, что моменты инерции и девиации относительно трех взаимно перпендикулярных, пересекающихся прямых с координатами
\[
\left(l_{1}, m_{1}, n_{1}, \lambda_{1}, \mu_{1},
u_{1}\right),\left(l_{2}, m_{2}, n_{2}, \lambda_{2}, \mu_{2},
u_{2}\right),\left(l_{3}, m_{3}, n_{3}, \lambda_{3}, \mu_{3},
u_{3}\right)
\]

имеют вид:
\[
A^{\prime}+M\left(\lambda_{1}^{2}+\mu_{1}^{2}+
u_{1}^{2}\right) \text { и т. д. и } F^{\prime}-M\left(\lambda_{2} \lambda_{3}+\mu_{2} \mu_{3}+
u_{2}
u_{3}\right) \text { и т. д., }
\]

где $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, F^{\prime}, G^{\prime}, H^{\prime}$ имеют те же значения, что и выше, а $M$ есть масса тела.
§61. Главные оси инерции; эллипсоид инерции Коши. Рассмотрим поверхность второго порядка
\[
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}-2 F y z-2 G z x-2 H x y=1,
\]

где $A, B, C, F, G, H$ – моменты инерции и девиации в системе осей $О x y z$.
Из равенства
\[
A^{\prime}=A l_{1}^{2}+B m_{1}^{2}+C n_{1}^{2}-2 F m_{1} n_{1}-2 G n_{1} l_{1}-2 H l_{1} m_{1}
\]

следует тогда, что величина, обратная квадрату любого радиусавектора поверхности, равна моменту инерции тела относительно этого радиуса-вектора. Поэтому эта поверхность второго порядка будет инвариантна по отношению к выбору системы координат с общим началом. Следовательно, в системе прямоугольных осей $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ с тем же началом уравнение ее будет:
\[
A^{\prime} x^{\prime 2}+B^{\prime} y^{\prime 2}+C^{\prime}{z^{\prime}}^{2}-2 F^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}-2 G^{\prime} z^{\prime} x^{\prime}-2 H^{\prime} x^{\prime} y^{\prime}=1,
\]

где $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, F^{\prime}, G^{\prime}, H^{\prime}$, – моменты инерции и девиации в этой системе осей. Эта поверхность второго порядка называется эллипсоидом инерции тела относительно точки $O$, а ее главные оси – главными осями инерции тела для точки $O$. Уравнение поверхности, отнесенное к этим осям, не будет содержать членов с произведениями координат; следовательно, моменты девиации относительно этих осей исчезают. Моменты же инерции для этих осей называются главными моментами инерции тела относительно точки $O^{1}$.

Поверхность, получающаяся отображением эллипсоида инерции относительно его центра по методу обратных поляр, есть тоже эллипсоид, который иногда называют гирационным эллипсоидом.

${ }^{1}$ Главные оси инерции открыли Эйлер (Mem. de Berlin 1758) и Сегнер (I. A. Segner, Specimen Theoriae Turbinum, 1755). Эллипсоид инерции был введен в 1827 г. Коши (Exerc. de math., т. 2, стр. 93).

Задача 1. Высота однородного прямого кругового конуса равна половине радиуса основания. Показать, что его эллипсоид инерции относительно вершины есть шар.