Так как значения переменных $q_{1}$, $q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ в момент времени $t$ определяются через их значения $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ в момент времени $t_{0}$ контактным преобразованием, то ( $\S 128$ )
\[
\sum_{i=1}^{n}\left(\Delta p_{i} \delta q_{i}-\delta p_{i} \Delta q_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(\Delta \beta_{i} \delta \alpha_{i}-\delta \beta_{i} \Delta \alpha_{i}\right)
\]

где символы $\Delta$ и $\delta$ соответствуют изменениям координат при переходе от траектории к двум различным смежным кривым.

Допустим, что $\delta$ означает переход к кривой, которая определяется значениями $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{r-1}, \beta_{r}+\delta \beta_{r}, \beta_{r+1}, \ldots, \beta_{n}$ в момент времени $t_{0}$, а $\Delta$ – переход к кривой, которая определяется значениями $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{s-1}, p_{s}+\Delta p_{s}, p_{s+1}, \ldots, p_{n}$ в момент времени $t_{1}$. Тогда предыдущее уравнение принимает вид:
\[
\Delta p_{s} \delta q_{s}=-\delta \beta_{r} \Delta \alpha_{r} .
\]

Следовательно, приращение $q_{r}$ при некотором приращении $\beta_{r}$ (при котором $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{r-1}, \beta_{r+1}, \ldots, \beta_{n}$ не варьируются) равно по величине, но противоположно по знаку приращения $\alpha_{r}$, которое соответствует приращению $p_{s}$ (при котором $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots$, $p_{s-1}, p_{s+1}, \ldots, p_{n}$ не варьируются) на величину, равную приращению $\beta_{r}$.

Гельмгольц заметил ${ }^{1}$, что для многих систем этот результат можно истолковать физически. Небольшой импульс, сообщенный системе, может быть измерен вызванным им изменением одного из количеств движения $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, а изменение $\alpha_{s}$ вследствие изменения $p_{s}$ может быть реализовано в обращенном движении, т. е. в движении системы, у которой в каждом положении скорости отличаются знаком от соответствующих этому положению скоростей в необращенном движении, так что будущее обращенной системы совпадает с прошедшим первоначальной системы.

Поэтому мы можем полученный результат выразить следующим образом: Изменение в первоначальной системе какой-нибудь координаты $q_{s}$ за произвольный промежуток времени, вызванное импульсивным изменением $\beta_{r}$, равно и противоположно по знаку изменению в обращенном движении за этот же промежуток времени координаты $\alpha_{T}$ вызванному таким же по величине импльсивным изменением начального количества движения $p_{s}{ }^{2}$.
${ }^{1}$ Journal f. Math., т. 100, 1886.
${ }^{2}$ Cм. Lamb, Proc. Lond. Math. Soc., т. 19, стр. 144. 1898.

Задача 1. Точка описывает эллипс под действием центральной силы с центром в центре эллипса. В момент, когда она проходит через конец большой оси, ей сообщается небольшая скорость $\delta v$ в направлении нормали. Показать, что тангенциальное отклонение по истечении четверти периода обращения равно $\mu^{-\frac{1}{2}} \delta v$, где $\mu$ – постоянная силы. Показать далее, что тангенциальная скорость $\delta v$, сообщенная точке в момент прохождения через конец малой оси, вызывает по истечении четверти периода нормальное отклонение такой же величины $\mu^{-\frac{1}{2}} \delta v$. (Lamb.)