Некоторые силовые поля обладают тем свойством, что работа сил этих полей при движении динамической системы зависит лишь только от начального и конечного положений системы. Другими словами, работа имеет одно и то же значение независимо от того, из какой последовательности бесконечно малых перемещений складывается конечное движение.
Такого рода силовым полем является, например, поле силы тяжести. Как известно, работа силы тяжести при перемещении материальной точки массы $m$ из положения, имеющего высоту $h$, в положение с высотой $k$ равна $m g(h-k)$, т. е. не зависит от пути, по которому точка перешла из первого положения во второе.
Такого рода силовые поля называются консервативными. Пусть конфигурация системы определяется координатами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Примем какую-нибудь определенную конфигурацию, например соответствующую координатам
\[
q_{r}=\alpha_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]
за основную. Если внешние силы, действующие на систему, – консервативны, то работа этих сил при перемещении системы из конфигурации $\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)$ в основную конфигурацию есть определённая функция от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, не зависящая от вида перемещения. Эта функция, обозначаемая в дальнейшем через $V\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)$, наывается потенциальной энергией ${ }^{2}$ системы в конфигурации $\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)$. Работа
${ }^{1}$ Cм. Heun, Jahresber. d. D. Math. V., т. 9, стр. 1, 1900.
${ }^{2}$ Потенциальная функция введена Лагранжем (Lagrange, Oeuvres, т. 6, стр. 335). Название «потенциал введено Грином (Green) (1828).
внешних сил при бесконечно малом перемещении $\delta q_{1}, \delta q_{2}, \ldots, \delta q_{n}$ равна, очевидно, бесконечно малому уменьшению функции $V$, т. е. выражению:
\[
-\frac{\partial V}{\partial q_{1}} \delta q_{1}-\frac{\partial V}{\partial q_{2}} \delta q_{2}-\cdots-\frac{\partial V}{\partial q_{n}} \delta q_{n} .
\]
В силу этого уравнения Лагранжа принимают вид:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=-\frac{\partial V}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]
Вводя новую функцию $L$ от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}, t$ при помощи равенства
\[
L=T-V,
\]
мы можем эти уравнения привести к виду:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]
Функция $L$ называется кинетическим потенциалом, или функцией Лагранжа. Она одна вполне характеризует голономную систему, подвергнутую действию консервативных сил, если рассмотрению подлежат лишь только вопросы чисто динамического порядка.
