В предыдущей главе мы видели, что вся теория динамики может быть построена на стационарном характере определенного вида интегралов, а именно интегралов, которые встречаются в принципе Гамильтона и в принципе наименьшего действия. Аналогичным образом дифференциальные уравнения большинства задач физики могут быть получены из задач вариационного исчисления.

Так, например, задача определения термического равновесия в изотропном проводнике, поверхность которого имеет в каждой точке заданную температуру, может быть сформулирована следующим образом: среди всех функций $V$, принимающих на поверхности заданное значение, определить такие, для которых интеграл
\[
\iiint\left\{\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^{2}\right\} d x d y d z,
\]

распространенный на объем всего проводника, имеет минимум.
Мы сейчас покажем, что все дифференцильные уравнения вариационных задач с одной независимой переменной могут быть приведены $к$ форме Гамильтона ${ }^{1}$.

Для простоты ограничимся случаем двух зависимых переменных. Доказательство остается, однако, справедливым и при любом числе зависимых переменных.
Пусть
\[
L(t, y, \dot{y}, \ddot{y}, \ldots, \stackrel{(m)}{y}, z, \dot{z}, \ddot{z}, \ldots, \stackrel{(n)}{z})
\]

есть функция независимой переменной $t$, зависимых переменных $y, z$ и их производных до порядков $m$ и $n$.
Условия стационарности интеграла
\[
\int L(t, y, \dot{y}, \ldots, \stackrel{(m)}{y}, z, \dot{z}, \ldots, \stackrel{(n)}{z}) d t
\]

согласно обычным методам вариационного исчисления могут быть записаны в виде:
\[
\begin{array}{l}
0=\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right)+\cdots+(-1)^{m} \frac{d^{m}}{d t^{m}}\left(\frac{\partial L}{\partial \underset{y}{(m)}}\right), \\
0=\frac{\partial L}{\partial z}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}\right)+\cdots+(-1)^{n} \frac{d^{n}}{d t^{n}}\left(\frac{\partial L}{\partial \underset{z}{(n)}}\right) .
\end{array}
\]
${ }^{1}$ Cp. Остроградский, Mém. de l’Acad. de St.-Pét., т. 6, стр. 385, 1850.

Полагаем теперь:
\[
\begin{array}{l}
p_{1}=\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \ddot{y}}\right)+\cdots+(-1)^{m-1} \frac{d^{m-1}}{d t^{m-1}}\left(\frac{\partial L}{\partial \underset{y}{(m)}}\right) \\
p_{2}=\frac{\partial L}{\partial \ddot{y}}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dddot{y}}\right)+\cdots+(-1)^{m-2} \frac{d^{m-2}}{d t^{m-2}}\left(\frac{\partial L}{\partial \underset{m}{(m)}}\right) \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
p_{m}= \\
\frac{\partial L}{\partial \stackrel{(m)}{y}} \\
p_{m+1}=\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \ddot{z}}\right)+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{d^{n-1}}{d t^{n-1}}\left(\frac{\partial L}{\partial \underset{z}{(n)}}\right) \\
p_{m+2}=\quad \frac{\partial L}{\partial \ddot{z}}-\cdots+(-1)^{n-2} \frac{d^{n-2}}{d t^{n-2}}\left(\frac{\partial L}{\partial \underset{z}{(n)}}\right) \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
p_{m+n}= \\
\frac{\partial L}{\partial \stackrel{(n)}{z}} \\
\end{array}
\]

И
\[
\begin{array}{c}
q_{1}=y, \quad q_{2}=\dot{y}, \ldots, q_{m}=\stackrel{(m-1)}{y}, \\
q_{m+1}=z, \quad q_{m+2}=\dot{z}, \ldots, q_{m+n}={ }^{(n-1)} z .
\end{array}
\]

Тогда, если представим величину
\[
\begin{array}{c}
H=-L+p_{1} q_{2}+p_{2} q_{3}+\cdots+p_{m-1} q_{m}+p_{m} \stackrel{(m)}{y}+p_{m+1} q_{m+2}+\cdots \\
\cdots+p_{m+n-1} q_{m+n}+p_{m+n} \stackrel{(n)}{z}
\end{array}
\]

где $H$ предполагается выраженной в функции от $t, q_{1}, \ldots, q_{m+n}$, $p_{1}, \ldots, p_{m+n}$, ибо, исключив из нее $\stackrel{(m)}{y}$ и $\stackrel{(n)}{z}$ при помощи уравцию переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m+n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{m+n}$, и если обозначим через $\delta$ приращение при бесконечно малых изменениях аргументов $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m+n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{m+n}$, то будем иметь:
\[
\begin{aligned}
\delta H= & -\sum_{r=0}^{m-1} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{(r)}{y}} \delta q_{r+1}-\frac{\partial L}{\partial \stackrel{(m)}{y}} \delta \stackrel{(m)}{y}-\sum_{r=0}^{n-1} \frac{\partial L}{\partial \underset{z}{(r)}} \delta q_{m+r+1}-\frac{\partial L}{\partial \underset{z}{(n)}} \delta \stackrel{(n)}{z}+ \\
& +\sum_{r=1}^{m-1} p_{r} \delta q_{r+1}+p_{m} \delta \stackrel{(m)}{y}+\sum_{r=1}^{m-1} q_{r+1} \delta p_{r}+\stackrel{(m)}{y} \delta p_{m}+ \\
& +\sum_{r=m+1}^{m+n-1} p_{r} \delta q_{r+1}+p_{m+n} \delta \stackrel{(n)}{z}+\sum_{r=m+1}^{m+n-1} q_{r+1} \delta p_{r}+\stackrel{(n)}{z} \delta p_{m+n}
\end{aligned}
\]

При помощи уравнений
\[
\frac{\partial L}{\partial y}=\dot{p}_{1}, \frac{\partial L}{\partial \dot{y}}=\dot{p}_{2}+p_{1}, \frac{\partial L}{\partial \ddot{y}}=\dot{p}_{3}+p_{2}, \ldots, \frac{\partial L}{\partial \stackrel{(m)}{y}}=p_{m}
\]

выражению $\delta H$ можно придать вид:
\[
\delta H=-\sum_{r=1}^{m+n} \dot{p}_{r} \delta q_{r}+\sum_{r=1}^{m+n} \dot{q}_{r} \delta p_{r} .
\]

Если, следовательно, $H$ представлена как функция переменных $t, p_{1}$, $p_{2}, \ldots, p_{m+n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m+n}$, то будем иметь:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, m+n),
\]

и мы получаем, таким образом, дифференциальные уравнения задачи в форме Гамильтона.

Системы дифференциальных уравнений, возникающие из вариационных задач, часто называются изопериметрическими системами.