Прежде чем перейти к рассмотрению интегральных инвариантов более высоких порядков, введем понятие последнего множителя системы дифференциальных уравнений, данное Якоби ${}^1$ в 1884 г.
Пусть предложена система дифференциальных уравнений:
$$\frac{d{x}_1}{X_1}=\frac{d{x}_2}{X_2}=\cdots =\frac{d{x}_n}{X_n}=\frac{dx}{X},$$

где $X_1,X_2,\dots ,X_n,X$ суть некоторые функции переменных $x_1,x_2,\dots$, $x_n,x$. Предположим, что известны $n-1$ интегралов этой системы, и пусть эти интегралы будут:
$$f_r(x_1,x_2,\dots ,x_n,x)=a_r(r=1,2,\dots ,n-1).$$

При помощи этих интегралов мы представим величины $x_1,x_2,\dots$, $x_{n-1}$ как функции от $x_n$ и $x$. Тогда еще останется проинтегрировать лишь одно уравнение первого порядка
$$\frac{d{x}_n}{X_n^{\prime }}=\frac{dx}{X^{\prime }},$$

где штрихи означают, что в функциях $X_n$ и $X$ величины $x_1,x_2,\dots$, $x_{n-1}$ заменены их выражениями через $x_n$ и $x$.
Покажем, что интеграл этого уравнения есть
$$\int \frac{M^{\prime }}{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}(X^{\prime }d{x}_n-X_n^{\prime }dx)=\text{ const },$$

где $М$ означает одно из решений уравнения в частных производных
$$\frac{\partial }{\partial x_1}\left(M{X}_1\right)+\frac{\partial }{\partial x_2}\left(M{X}_2\right)+\cdots +\frac{\partial }{\partial x_n}\left(M{X}_n\right)+\frac{\partial (MX)}{\partial x}=0,$$
${}^1$ Journ. f. Math., т. 27, стр. 199 $;$ т. 29, стр. 213, 333.

а $\mathrm{\Delta }-$ якобиан
$$\frac{\partial (f_1,f_2,\dots ,f_{n-1})}{\partial (x_1,x_2,\dots ,x_{n-1})}.$$

Функция $M$ называется последним множителем системы дифференциальных уравнений.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся следующей леммой:
Если система дифференциальных уравнений
$$\frac{d{x}_r}{dt}=X_r(r=1,2,\dots ,n)$$

преобразованием переменных приведена к другой системе:
$$\frac{d{y}_r}{dt}=Y_r(r=1,2,\dots ,n),$$
mo
$$\sum _{r=1}^n\frac{\partial X_r}{\partial x_r}=\frac{1}{D}\sum _{r=1}^n\frac{\partial \left(D{Y}_r\right)}{\partial y_r}$$

где
$$D=\frac{\partial (x_1,x_2,\dots ,x_n)}{\partial (y_1,y_2,\dots ,y_n)}.$$

Доказательство этой леммы может быть проведено следующим образом Имеем:
$$\begin{array}{rl}\sum _{r=1}^n\frac{\partial X_r}{\partial x_r}& =\sum _{r=1}^n\frac{\partial }{\partial x_r}\left(\sum _{r=1}^n{Y}_k\frac{\partial x_r}{\partial y_r}\right)=\sum _{r=1}^n\sum _{s=1}^n\frac{\partial y_s}{\partial x_r}\frac{\partial }{\partial y_s}\left(\sum _{k=1}^n{Y}_k\frac{\partial x_r}{\partial y_k}\right)=\\ & =\sum _{r=1}^n\sum _{s=1}^n\sum _{k=1}^n\frac{\partial y_s}{\partial x_r}(Y_k\frac{{\partial }^2{x}_r}{\partial y_s\partial y_k}+\frac{\partial Y_k}{\partial y_s}\frac{\partial x_r}{\partial y_k})\end{array}$$

В последнем выражении коэффициент при $\frac{\partial Y_k}{\partial y_s}$ равен $\sum _{r=1}^n\frac{\partial y_s}{\partial x_r}\frac{\partial x_r}{\partial y_k}$; он равен единице или нулю в зависимости от того, $k$ равно или не равно $s$. Далее, $\frac{\partial y_s}{\partial x_r}=\frac{A_{rs}}{D}$, где $A_{rs}$ означает алгебраическое дополнение определителя $D$, соответствующее элементу $\frac{\partial x_r}{\partial y_s}$. Поэтому коэффициент при $Y_k$ в вышеуказанном выражении, равный
$$\sum _{r=1}^n\sum _{s=1}^n\frac{\partial y_s}{\partial x_r}\frac{{\partial }^2{x}_r}{\partial y_s\partial y_k}$$

может быть представлен в виде:
$$\frac{1}{D}\sum _{r=1}^n\sum _{s=1}^n{A}_{rs}\frac{{\partial }^2{x}_r}{\partial y_s\partial y_k}\text{ или }\frac{1}{D}\sum _{r=1}^n\frac{\partial (x_1,x_2,\dots ,x_{r-1},\frac{\partial x_r}{\partial y_k},x_{r+1},\dots ,x_n)}{\partial (y_1,y_2,\dots ,y_n)}$$

или
$$\frac{1}{D}\frac{\partial D}{\partial y_k}.$$

Следовательно,
$$\sum _{r=1}^n\frac{\partial X_r}{\partial x_r}=\sum _{k=1}^n\frac{\partial Y_k}{\partial y_k}+\sum _{k=1}^n\frac{Y_k}{D}\frac{\partial D}{\partial y_k}=\frac{1}{D}\sum _{k=1}^n\frac{\partial \left(D{Y}_k\right)}{\partial y_k},$$

что и доказывает лемму.
Положим теперь в первоначальной задаче
$$\frac{d{x}_1}{X_1}=\frac{d{x}_2}{X_2}=\cdots =\frac{d{x}_n}{X_n}=\frac{dx}{X}=dt$$

и перейдем от переменных $x_1,x_2,\dots ,x_n,x$, к переменным $a_1,a_2,\dots$, $a_{n-1},x_n,x$. Тогда в силу доказанной леммы будем иметь:
$$\frac{\partial X_1}{\partial x_1}+\frac{\partial X_2}{\partial x_2}+\cdots +\frac{\partial X_n}{\partial x_n}+\frac{\partial X}{\partial x}=\mathrm{\Delta }\{\frac{\partial }{\partial x_n}\left(\frac{X_n^{\prime }}{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{X^{\prime }}{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}\right)\}.$$

Поэтому величина $M$, являющаяся решением уравнения
$$\frac{1}{M}\frac{dM}{dt}+\frac{\partial X_1}{\partial x_1}+\frac{\partial X_2}{\partial x_2}+\cdots +\frac{\partial X_n}{\partial x_n}+\frac{\partial X}{\partial x}=0,$$

удовлетворяет уравнению:
$$\frac{1}{\mathrm{\Delta }M}\frac{dM}{dt}+\frac{\partial }{\partial x_n}\left(\frac{X_n^{\prime }}{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{X^{\prime }}{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}\right)=0$$

или
$$\frac{\partial }{\partial x_n}\left(\frac{X_n^{\prime }{M}^{\prime }}{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{X^{\prime }{M}^{\prime }}{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}\right)=0.$$

Последнее уравнение показывает, что величина
$$\frac{M^{\prime }}{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}(X^{\prime }d{x}_n-X_n^{\prime }dx)$$

есть полный дифференциал некоторой функции от $x_n$ и $x$, чем и доказывается теорема о последнем множителе.

Гидродинамическое истолкование последнего множителя по Больцману и Лярмору. (Larmor.)

Теорема о последнем множителе может быть также получена и при помощи физических рассуждений. Для упрощения ограничимся случаем трех переменных, так что система дифференциальных уравнений принимает вид:
$$\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w},$$

где $u,v,w$ — некоторые функции от $x,y,z$, и последний множитель удовлетворяет уравнению:
$$\frac{\partial }{\partial x}(Mu)+\frac{\partial }{\partial y}(Mv)+\frac{\partial }{\partial z}(Mw)=0.$$

Это уравнение показывает, что в гидродинамической задаче стационарного движения жидкости, имеющей в точке $(x,y,z)$ плотность $M$ и компоненты скорости $u,v,w$, выполняется уравнение неразрывности.
Пусть
$$\phi (x,y,z)=C$$

есть интеграл дифференциальных уравнений. Тогда жидкость течет между поверхностями семейства, определяемого этим уравнением. Следовательно, достаточно рассматривать поток в бесконечно тонком двухмерном слое, ограниченном поверхностями $C$ и $C+\delta C$. Поток через промежуток между двумя произвольными точками $P$ и $Q$ поверхности $C$ должен быть равным для всех кривых, соединяющих эти точки. Так как сумма потоков через две дуги $PR$ и $RQ$ в точности равна потоку через дугу $PQ$, то поток через произвольную дугу $PQ$ может быть представлен в виде $f(Q)-f(P)$. Следовательно, если $ds$ означает элемент дуги, $\tau$ — переменную толщину слоя, т. е.
$$\tau ={\{{\left(\frac{\partial \phi }{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}^2\}}^{-\frac{1}{2}}\delta C,$$

а $\xi$ — нормальный к $ds$ компонент скорости, то
$${\int }_P^{Q}M\xi \tau ds=f(Q)-f(P)$$

и, следовательно, $M\xi \tau ds$ есть полный дифференциал некоторой функции положения. Легко видеть, что это выражение может быть записано в виде $\frac{M\delta C(vdx-udy)}{\frac{\partial \phi }{\partial z}}$ Вследствие этого
$$\frac{M(vdx-udy)}{\frac{\partial \phi }{\partial z}}$$

есть полный дифференциал. Это и есть теорема о последнем множителе для рассматриваемого случая.
Для $\xi ds$ легко находим значение:
$${({\phi }_x^2+{\phi }_y^2+{\phi }_z^2)}^{-\frac{1}{2}}\left|\begin{array}{lll}dx& dy& dz\\ u& v& w\\ {\phi }_x& {\phi }_y& {\phi }_z\end{array}\right|.$$

Следовательно, теорема о последнем множителе показывает, что $M({\phi }_x^2+$ ${+{\phi }_y^2+{\phi }_z^2)}^{-\frac{1}{2}}$ есть интегрирующий множитель уравнения:
$$\left|\begin{array}{lll}dx& dy& dz\\ u& v& w\\ {\phi }_x& {\phi }_y& {\phi }_z\end{array}\right|=0$$

Это, как заметил Аппель (Comptes Rendus, т. 155, стр. 878, 1912), есть симметричная форма теоремы о последнем множителе.