Из трех задач центрального движения, которые решаются круговыми функциями, когда сила пропорциональна целой степени расстояния, нам осталось рассмотреть еще случай $n=-2$. Этот случай движения является важнейшим в небесной механике, так как по закону тяготения Ньютона взаимное притяжение двух небесных тел изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.

${}^1$ Newton, Principia, книга $1,\mathrm{\S }3$, предл. XI, XII, XIII.

1. Траектории. Итак, разберем движение материальной точки, которая притягивается силой $\mu u^2$ из неподвижной точки, выбранной за начало координат. При этом $u$ — величина, обратная расстоянию движущейся точки до неподвижного центра. Пусть в точке траектории с полярными координатами $c$ и $\alpha$ движущаяся точка обладает некоторой начальной скоростью $v_0$, составляющей с $c$ угол $\gamma$. Тогда моментом количества движения будет:
$$h=c{v}_0\sin \gamma ,$$

а уравнением траектории будет:
$$\frac{d^{2}u}{d{\vartheta }^2}+u=\frac{P}{h^2{u}^2}=\frac{\mu }{v_0^2{c}^2{\sin }^2\gamma }.$$

Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет интеграл:
$$u=\frac{\mu }{v_0^2{c}^2{\sin }^2\gamma }\{1+e\cos (\vartheta -\tilde{\omega })\},$$

где $е$ и $\tilde{\omega }$ — постоянные интеграции.
Это есть уравнение конического сечения в полярных координатах, фокус которого лежит в начале, эксцентриситет есть $e$ и полупараметр которого $l$ определяется равенством
$$l=\frac{v_0^2{c}^2{\sin }^2\gamma }{\mu }.$$

Постоянная $\tilde{\omega }$ определяет положение линии апсид и называется длиной перигелия.

Что фокус конического сечения совпадает с силовым центром, это согласуется с теоремой Гамильтона, потому что тогда перпендикуляр на поляру силового центра равен перпендикуляру на направляющую линию и поэтому пропорционален $r$. Таким образом, по теореме Гамильтона сила будет пропорциональна $\frac{1}{r^2}$.

Для определения постоянных $е$ и $\tilde{\omega }$ в функциях начальных значений $c,\alpha ,\gamma ,v_0$ заметим, что в начале движения
$$\vartheta =\alpha ,u=\frac{1}{c},\frac{du}{d\vartheta }=-\frac{1}{c}\mathrm{ctg}\gamma .$$

Если мы внесем эти значения в уравнение траектории, а также в уравнение, получаемое дифференцированием его по $\vartheta$, то получим:
$$\begin{array}{rl}{v}_0^{2}c{\sin }^2\gamma & =\mu +\mu e\cos (\alpha -\tilde{\omega }),\\ v_0^{2}c\sin \gamma \cos \gamma & =\mu e\sin (\alpha -\tilde{\omega }).\end{array}$$

Решение этих уравнений относительно $e$ и $\tilde{\omega }$ дает:
$$\begin{array}{rl}{e}^2& =1+\frac{v_0^4{c}^2{\sin }^2\gamma }{{\mu }^2}-\frac{2v_0^{2}c{\sin }^2\gamma }{\mu },\\ \mathrm{ctg}(\alpha -\tilde{\omega })& =\frac{-\mu }{v_0^{2}c\sin \gamma \cos \gamma }+\mathrm{tg}\gamma .\end{array}$$

Если коническое сечение — эллипс, то его большую полуось $а$ называют обыкновенно средним расстоянием точки. Имеем:
$$a=\frac{i}{1-e^2},$$

что после подстановки найденных уже значений $l$ и $e^2$ дает:
$$v_0^2=\mu (\frac{2}{c}-\frac{1}{a}).$$

Это уравнение определяет $a$ в функции начальных значений.
Период обращения движущейся точки, т. е. время, потребное для полного обхода эллипса, равен
$$\frac{2}{h}\times \text{ площадь эллипса. }$$

Здесь $h$ — двойная секториальная скорость радиуса-вектора на эллипсе. Поэтому период будет $\frac{2\pi ab}{h}$, где $b$ означает малую полуось.
Ho
$$h=v_{0}c\sin \gamma =\sqrt{\mu l}=b\sqrt{\frac{\mu }{a}},$$

следовательно, период равен $2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu }}$.
Обычно величина ${\mu }^{\frac{1}{2}}{a}^{-\frac{3}{2}}$ обозначается через $n$; тогда период обращения будет $\frac{2\pi }{n}$. Величину $n$ называют средним движением, так как она представляет среднее значение $\dot{\vartheta }$ для полного обхода.

Бертран и Кёнигс показали, что для всех законов движения при силах, исчезающих в бесконечности, закон Ньютона является единственным, при котором все траектории алгебраические, и единственным, — при котором все они замкнуты.
ЗАдАчА 1. Показать, что для отталкивающей силы, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния, траекторией будет ветвь гиперболы, фокус которой находится вне отталкивающего центра.

2. Скорости. Рассмотрим теперь случай, когда траекторией служит эллипс. Уравнение
$$v_0^2=\mu (\frac{2}{c}-\frac{1}{a})$$

устанавливает связь между средним расстоянием $a$, скоростью $v_0$ и радиусом-вектором $c$ в начальной точке движения. Так как всякая точка траектории может быть принята за начальную, то это уравнение можно записать так:
$$v^2=\mu (\frac{2}{r}-\frac{1}{a})$$

где $v$ — скорость точки с радиусом-вектором $r$.
Если траектория — гипербола с большой полуосью $a$, то соответственно находим:
$$v^2=\mu (\frac{2}{r}+\frac{1}{a}).$$

Для параболы это уравнение принимает вид:
$$v^2=\frac{2\mu }{r}.$$

Отсюда следует, что траектория будет эллипсом, гиперболой или параболой, смотря по тому, будет ли $v_0^{2}eq\frac{2\mu }{c}$, т. е. смотря по тому, будет ли скорость в начале движения меньше скорости, которую приобрела бы точка, приблизивиись из неподвижного состояния в бесконечности в начальное положение, равна этой скорости или больше ее. Далее, можно показать что в каждой точке траектории скорость можно разложить на компоненты $\frac{\mu }{h}u\frac{\mu e}{h}$, перпендикулярные соответственно $\kappa$ радиусу-вектору и к большой оси конического сечения, и что, следовательно, оба эти компонента постоянны. Действительно, пусть $S$ силовой центр, $P$ — движущаяся точка, $G$ — точка пересечения нормали к коническому сечению в точке $P$ с большой осью, $GL$ — перпендикуляр из $G$ на $SP,SY$ — перпендикуляр из $S$ на касательную в точке $P$. Тогда стороны треугольника $SPG$ будут, очевидно, перпендикулярны к скорости и обоим указанным ее компонентам. Поэтому компонент, перпендикулярный к радиусу-вектору, есть
$$\frac{v\cdot SP}{PG}=\frac{h\cdot SP}{SY\cdot PG}=\frac{h}{PL}=\frac{h}{l}=\frac{\mu }{h},$$

а компонент, перпендикулярный к оси, равен компоненту, перпендикулярному к радиусу-вектору, умноженному на $\frac{SG}{SP}$, т. е. равен $\frac{e\mu }{h}$.
Таким образом, утверждение доказано.

Задача 2. Доказать, что при эллиптическом движении по закону Ньютона проекции двух скоростей на внешнюю биссектрису угла между радиусамивекторами равны между собой, а сумма этих проекций на внутреннюю биссектрису равна проекции отрезка с постоянными длиной и направлением. (Cailler.)

Задачд 3. Доказать, что при эллиптическом движении по закону Ньютона величина интеграла $\int Tdt$, где $T$ означает кинетическую энергию, после одного полного оборота не зависит от эксцентриситета, а будет зависеть от среднего расстояния. (Grinwis.)

ЗАдАчА 4. Точка движется по эллипсу под действием силы $\frac{\mu }{r^2}$. В некоторой определенной точке траектории постоянная $\mu$ претерпевает небольшое изменение. Доказать, что этой точкой должен быть конец малой полуоси, если эксцентриситеты начальной и новой траекторий совпадают.
3. Аномалии в эллиптическом движении. Если материальная точка $P$ описывает эллипс под действием силы, направленной в фокус $S$, то угол $ASP$, где $A$ — ближайшая к фокусу апсида, называется истинной аномалией $\vartheta$ точки $P$. Далее, опишем из центра $O$ эллипса круг радиуса $OA$; если теперь через точку $P$ проведем перпендикуляр к направлению $OA$ и обозначим его пересечение с кругом через $Q$, то угол $AOQ$ называется эксиентрической аномалией и точки $P$.

Если $n$ означает среднее движение, а $t$ — время, в течение которого пробегается точкой дуга $AP$, то величину $nt$ называют средней аномалией точки $P$. Найдем теперь соотношения, связывающие эти аномалии. Связь между $\vartheta$ и $и$ получается следующим образом.
Имеем:
$$\frac{1}{r}=1+e\cos \vartheta \text{ и }r=a-ex,$$

где $x$ — прямоугольная координата точки $P$ с началом координат в центре эллипса.
Следовательно,
$$r=a(1-e\cos u).$$

Отсюда получаем:
$$(1-e\cos u)(1+e\cos \vartheta )=1-e^2.$$

Это равенство можно представить в виде:
$$\mathrm{tg}\frac{u}{2}={\left(\frac{1-e}{1+e}\right)}^{\frac{1}{2}}\mathrm{tg}\frac{\vartheta }{2}$$

или
$$\sin u=\frac{{(1-e^2)}^{\frac{1}{2}}\sin \vartheta }{1+e\cos \vartheta }$$

Связь между $u$ и $nt$ получим так. Имеем:
$$\begin{array}{c}t=\frac{2}{h}\times \text{ площадь }ASP=\frac{2}{nab}\cdot \frac{b}{a}\times \text{ площадь }ASQ=\frac{2}{n{a}^2}\text{ (площадь }ACQ-\\ —\text{ площадь }SCQ),\end{array}$$

где $C$ — центр эллипса, или
$$t=\frac{2}{n{a}^2}\{\frac{a^3}{2}u-\frac{a^{2}e}{2}\sin u\}$$

и, наконец,
$$nt=u-e\sin u.$$

Это есть так называемое уравнение Кеплера.
Номограмма для решения этого уравнения была составлена Кретьеном (H. Chretien, Assoc. Franc. Congres. Reims, стр. 83, 1907). Решение в рядах есть у многих авторов. По этому вопросу есть важная, новая работа Леви-Чивита (Levi-Civita, Atti della R. Acc. dei Lincei, Rendiconti (5). T. 13, стр. 260, 1904).

Найдем, наконец, связь между $\vartheta$ и $nt$. Если из соотношения между $u$ и $\vartheta$ определим $u$ как функцию от $\vartheta$ и подставим в равенство
$$nt=u-e\sin u,$$

то получим выражение:
$$nt=\arcsin \left\{\frac{{(1-e^2)}^{\frac{1}{2}}\sin \vartheta }{1+e\cos \vartheta }\right\}-\frac{e{(1-e^2)}^{\frac{1}{2}}\sin \vartheta }{1+e\cos \vartheta }$$

дающее время в функции от истинной аномалии $\vartheta$.
Среди неопубликованных заметок Ньютона найдено было его вычисление истинной аномалии по средней на основании геометрических соображений.
ЗАДАчА 5. Доказать, что
$$u=nt+2\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{r}{J}_r(re)\sin rnt,$$

где $J_r$ означает функцию Бесселя $r$-го порядка ${}^1$.
${}^1$ Этот ряд назван так по имени Бесселя, однако им пользовался еще Лагранж (Oeuvres, т. III, стр. 130).

В самом деле, имеем:
$$\begin{array}{l}\frac{1}{n}\frac{du}{dt}=\frac{1}{1-e\cos u}=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{d(nt)}{1-e\cos u}+\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos rnt}{\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{\cos rntd(nt{)}^1}{1-e\cos u}=\\ =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }du+\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos rnt}{\pi }{\int }_0^{2\pi }\cos [r(u-e\sin u)]du=1+2\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}{J}_r(re)\cos rnt.{.}^2\end{array}$$

Интегрированием получаем искомый результат.
ЗАДАчА 6. Доказать, что
$$\vartheta =nt+2e\sin nt+\frac{5}{4}{e}^2\sin 2nt+\dots$$

ЗадАчА 7. Показать, что при гиперболическом движении по закону Ньютона имеет место равенство:
$${\mu }^{-\frac{1}{2}}{a}^{\frac{3}{2}}t=\ln \left\{\frac{(e+1{)}^{\frac{1}{2}}\cos \frac{\vartheta }{2}-(e-1{)}^{\frac{1}{2}}\sin \frac{\vartheta }{2}}{(e+1{)}^{\frac{1}{2}}\cos \frac{\vartheta }{2}+(e-1{)}^{\frac{1}{2}}\sin \frac{\vartheta }{2}}\right\}+e{(e^2-1)}^{\frac{1}{2}}\frac{\sin \vartheta }{1+e\cos \vartheta },$$

а при параболическом:
$${\left(\frac{\mu }{2p^3}\right)}^{\frac{1}{2}}t=\mathrm{tg}\frac{\vartheta }{2}+\frac{1}{3}{\mathrm{tg}}^3\frac{\vartheta }{2},$$

где $p$ означает расстояние между фокусом и вершиной параболы.
ЗАДАчА 8. Доказать, что при эллиптическом движении по закону Ньютона сумма четырех промежутков времени, в которые точка проходит от перигелия до соответствующих точек пересечения эллипса с концентрическим кругом, постоннна для всех концентрических кругов. Показать также, что эта сумма остается постоянной, если центр кругов перемещается параллельно большой оси. (Oekinghaus)
4. Теорема Ламберта. Ламберт (Lambert) в 1761 г. доказал, что при эллиптическом движении по закону Ньютона время, в течение которого описывается точкой некоторая дуга, зависит только от большой оси, суммы расстояний начальной и конечной точек дуги до центра сил и от длины хорды, соединяющей эти точки. Таким образом, время вполне определяется перечисленными отрезками и не зависит от формы эллипса ${}^3$.
${}^1$ Ряд Фурье, см. Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, гл. 9.
${}^2$ Там же, гл. 17.
${}^3$ Первоначальное доказательство Ламберта было геометрическим и синтетическим: теорема была обобщена и доназана аналитически Лагранжем (Oeuvres, т. IV, стр. 559,1778 .)

Пусть $u$ и $u^{\prime }$ означают эксцентрическую аномалию в начальной и конечной точках движения. Тогда будем иметь:
$$\begin{array}{rl}n\times \text{ время движения }& =u^{\prime }-e\sin u^{\prime }-(u-e\sin u)=\\ & =(u^{\prime }-u)-2e\sin \frac{u^{\prime }-u}{2}\cos \frac{u^{\prime }+u}{2}.\end{array}$$

Обозначим теперь через $c$ длину хорды, а через $r$ и $r^{\prime }$ — радиусывекторы; тогда получим:
$$\frac{r+r^{\prime }}{a}=1-e\cos u+1-e\cos u^{\prime }=2-2e\cos \frac{u^{\prime }-u}{2}\cos \frac{u^{\prime }+u}{2}$$

и
$$\begin{array}{rl}{c}^2& =a^2{(\cos u^{\prime }-\cos u)}^2+b^2{(\sin u^{\prime }-\sin u)}^2=\\ & =4a^2{\sin }^2\frac{u^{\prime }-u}{2}(1-e^2{\cos }^2\frac{u+u^{\prime }}{2}),\end{array}$$

следовательно,
$$\frac{c}{a}=2\sin \frac{u^{\prime }-u}{2}{(1-e^2{\cos }^2\frac{u+u^{\prime }}{2})}^{\frac{1}{2}}.$$

Отсюда имеем:
$$\frac{r+r^{\prime }+c}{a}=2-2\cos \{\frac{u^{\prime }-u}{2}+\arccos (e\cos \frac{u+u^{\prime }}{2})\},$$

а также:
$$\frac{r+r^{\prime }-c}{a}=2-2\cos \{-\frac{u^{\prime }-u}{2}+\arccos (e\cos \frac{u+u^{\prime }}{2})\},$$

следовательно ${}^1$,
$$2\arcsin \frac{1}{2}{\left(\frac{r+r^{\prime }+c}{a}\right)}^{\frac{1}{2}}=\frac{u^{\prime }-u}{2}+\arccos (e\cos \frac{u+u^{\prime }}{2}),$$

и аналогично:
$$2\arcsin \frac{1}{2}{\left(\frac{r+r^{\prime }-c}{a}\right)}^{\frac{1}{2}}=-\frac{u^{\prime }-u}{2}+\arccos (e\cos \frac{u+u^{\prime }}{2}).$$
${}^1$ Заметим, что в теореме Ламберта знак корня остается неопределенным. Читатель без труда заметит, какой знак соответствует заданным начальному и конечному положениям.

Если ввести новые величины $\alpha$ и $\beta$, определяемые равенствами
$$\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{1}{2}{\left(\frac{r+r^{\prime }+c}{a}\right)}^{\frac{1}{2}},\sin \frac{\beta }{2}=\frac{1}{2}{\left(\frac{r+r^{\prime }-c}{a}\right)}^{\frac{1}{2}},$$

то предыдущие соотношения можно представить в виде:
$$\alpha -\beta =u^{\prime }-u,\cos \frac{\alpha +\beta }{2}=e\cos \frac{u+u^{\prime }}{2}$$

и отсюда окончательно:
$$\begin{array}{rl}n\times \text{ время движения }& =\alpha -\beta -2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}=\\ & =(\alpha -\sin \alpha )-(\beta -\sin \beta ).\end{array}$$

В этом и состоит теорема Ламберта.
ЗАдАчА 9. Исследовать предельный случай, когда малая полуось обращается в нуль, когда, следовательно, движение становится прямолинейным.

ЗАДАча 10. Какой вид получает теорема Ламберта для параболического движения? Чтобы ответить на этот вопрос, полагаем среднее расстояние $a$ очень большим, а следовательно, углы $\alpha$ и $\beta$ очень малыми. Тогда приближенно будем иметь:
$$\begin{array}{rl}\text{ искомое время }& =\frac{{\alpha }^3-{\beta }^3}{6n}={\left(\frac{a^3}{\mu }\right)}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{6}\{{\left(\frac{r+r^{\prime }+c}{a}\right)}^{\frac{3}{2}}-{\left(\frac{r+r^{\prime }-c}{a}\right)}^{\frac{3}{2}}\}=\\ & =\frac{1}{6{\mu }^{\frac{1}{2}}}\{{(r+r^{\prime }+c)}^{\frac{3}{2}}-{(r+r^{\prime }-c)}^{\frac{3}{2}}\}.\end{array}$$

Это и есть искомый вид теоремы ${}^1$.
ЗАДАчА 11. Вывести теорему Ламберта для параболического движения непосредственно из формул этого движения.