В динамике твердого тела, так же как и в динамике точки, возможность решения в квадратурах какой-нибудь задачи, с двумя степенями свободы, во многом зависит от существования циклических координат. Весьма часто интеграл, соответствующий циклической координате, может быть интерпретирован как интеграл количества движения или как интеграл момента количества движения. Составление и решение соответствующих дифференциальных уравнений основывается на принципах, изложенных в предшествующих главах. Мы поясним ход вычислений на следующих примерах.
1. Стержень в кольце. Мы исследуем сначала движение прямолинейного однородного стержня, проходящего через очень узкое кольцо, лежащее в горизонтальной плоскости. Стержень может свободно скользить в кольце и вращаться в плоскости.

В момент времени $t$ стержень образует с некоторой неизменной прямой плоскости угол $\vartheta$ и середина его отстоит от кольца на отрезок $r$. Длина стержня равна $2 l$ и масса его $M$. Момент инерции стержня относительно его середины равен $\frac{1}{3} M l^{2}$. Отсюда для кинетической энергии стержня имеем выражение:
\[
T=\frac{1}{2} M\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\vartheta}^{2}+\frac{1}{3} l^{2} \dot{\vartheta}^{2}\right) .
\]

Потенциальной энергии стержень не имеет.
Координата $\vartheta$ является циклической; соответствующий ей интеграл
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{\vartheta}}=\text { const }
\]

имеет вид:
\[
\left(r^{2}+\frac{1}{3} l^{2}\right) \dot{\vartheta}=\text { const. }
\]

Интеграл энергии будет:
\[
\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\vartheta}^{2}+\frac{1}{3} l^{2} \dot{\vartheta}^{2}=\text { const. }
\]

Деля второй интеграл на квадрат первого, получим:
\[
\frac{\left(\frac{d r}{d \vartheta}\right)^{2}}{\left(r^{2}+\frac{1}{3} l^{2}\right)^{2}}+\frac{1}{r^{2}+\frac{1}{3} l^{2}}=c
\]

где $c$ – постоянная, или
\[
\dot{\vartheta}+\text { const }=\int\left\{\left(r^{2}+\frac{1}{3} l^{2}\right)\left(c r^{2}+\frac{1}{3} c l^{2}-1\right)\right\}^{-\frac{1}{2}} d r .
\]

Полагая $c r^{2}=s$, можем написать:
\[
\dot{\vartheta}+\text { const }=\int\left\{4 s\left(s+\frac{1}{3} c l^{2}\right)\left(s+\frac{1}{3} c l^{2}-1\right)\right\}^{-\frac{1}{2}} d s .
\]

Следовательно, обозначая через $\wp$ эллиптическую функцию Вейерштрасса, соответствующую корням:
\[
e_{1}=\frac{1}{3}\left(-1+\frac{2}{3} c l^{2}\right), \quad e_{2}=\frac{1}{3}\left(2-\frac{1}{3} c l^{2}\right), \quad e_{3}=\frac{1}{3}\left(-1-\frac{1}{3} c l^{2}\right),
\]

удовлетворяющих при достаточно большом значении величины $\frac{d r}{d \vartheta}$ условию $e_{1}>e_{2}>e_{3}$, будем иметь:
\[
s=\wp\left(\vartheta-\vartheta_{0}\right)-e_{1},
\]

где $\vartheta_{0}$ – постоянная интегрирования. Так как $s$ положительно, то для всех действительных значений $\vartheta$ имеем $\wp\left(\vartheta-\vartheta_{0}\right)>e_{1}$, и поэтому постоянная $\vartheta_{0}$ будет действительной.
Таким образом, решение задачи дается уравнением:
\[
c r^{2}=\wp\left(\vartheta-\vartheta_{0}\right)+\frac{1}{3}-\frac{2}{9} c l^{2} .
\]
2. Качение одного иилиндра по внутренней поверхности другого. Тяжелый однородный абсолютно шероховатый цилиндр массы $m$ и радиуса $r$ катится без скольжения по внутренней поверхности полого цилиндра массы $M$ и радиуса $R$, вращающегося вокруг своей оси (расположенной горизонтально).

В момент времени $t$ плоскость, проходящая через ось первого цилиндра, образует с вертикалью, направленной вниз, угол $\varphi$, а второй цилиндр поворачивается на угол $\vartheta$. Для угловых скоростей цилиндров относительно своих осей легко получаются значения $\dot{\vartheta}$ и $\frac{(R-r) \dot{\varphi}-R \dot{\vartheta}}{r}$.

Моменты инерции цилиндров относительно своих осей соответственно равны $M R^{2}$ и $\frac{1}{2} m r^{2}$. Для кинетической и потенциальной энергий системы получаем выражения:
\[
\begin{array}{c}
T=\frac{1}{2} M R^{2} \dot{\vartheta}^{2}+\frac{1}{4} m r^{2}\left(\frac{R-r}{r} \dot{\varphi}-\frac{R}{r} \dot{\vartheta}\right)^{2}+\frac{1}{2} m(R-r)^{2} \dot{\varphi}^{2}, \\
V=-m g(R-r) \cos \varphi .
\end{array}
\]

Координата $\vartheta$ является, очевидно, циклической; ей соответствует интеграл
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{\vartheta}}=\text { const }
\]

или
\[
M R^{2} \dot{\vartheta}-\frac{1}{2} m R\{(R-r) \dot{\varphi}-R \dot{\vartheta}\}=k,
\]

где $k$ – постоянная.
Интеграл энергии
\[
T+V=h,
\]

где $h$ – постоянная, дает:
\[
\frac{1}{2} M R^{2} \dot{\vartheta}^{2}+\frac{1}{4} m\{(R-r) \dot{\varphi}-R \dot{\vartheta}\}^{2}+\frac{1}{2} m(R-r)^{2} \dot{\varphi}^{2}-m g(R-r) \cos \varphi=h .
\]

Исключение $\dot{\vartheta}$ из обоих интегралов дает уравнение:
\[
\frac{m(3 M+m)}{2(2 M+m)}(R-r)^{2} \dot{\varphi}^{2}-m g(R-r) \cos \varphi=h-\frac{k^{2}}{(2 M+m) R^{2}} .
\]

Это уравнение совпадает с уравнением энергии математического маятника длины
\[
\frac{3 M+m}{2 M+m}(R-r) .
\]

Его решение, так же как и в § 44 , выполняется в эллиптических функциях.
3. Стержень скользит своими концами по гладкому круговому обpyчу. Обруч расположен вертикально и вращается вокруг своего вертикального диаметра.

Масса стержня равна $m$, его длина $2 a$; масса обруча равна $M$ и его радиус $r$. В момент времени $t$ стержень образует с горизонталью угол $\vartheta$, а обруч имеет по отношению к некоторой неизменной вертикальной плоскости азимут $\varphi$. Момент инерции стержня по отношению к оси, проходящей через центр обруча перпендикулярно к его плоскости, равен $m\left(r^{2}-\frac{2}{3} a^{2}\right)$. Момент инерции стержня относительно вертикального диаметра обруча равен
\[
m\left\{\left(r^{2}-a^{2}\right) \sin ^{2} \vartheta+\frac{1}{3} a^{2} \cos ^{2} \vartheta\right\} .
\]

Отсюда кинетическая энергия системы
\[
T=\frac{1}{2} m\left(r^{2}-\frac{2}{3} a^{2}\right) \dot{\vartheta}^{2}+\frac{1}{4} M r^{2} \dot{\varphi}^{2}+\frac{1}{2} m \dot{\varphi}^{2}\left(r^{2} \sin ^{2} \vartheta-a^{2} \sin ^{2} \vartheta+\frac{1}{3} a^{2} \cos ^{2} \vartheta\right) .
\]

Потенциальная энергия
\[
V=-m g\left(r^{2}-a^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cos \vartheta .
\]

Координата $\varphi$ является, очевидно, циклической; ей соответствует интеграл
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=\text { const }
\]

или
\[
\frac{1}{2} M r^{2} \dot{\varphi}+m \dot{\varphi}\left(r^{2} \sin ^{2} \vartheta-a^{2} \sin ^{2} \vartheta+\frac{1}{3} a^{2} \cos ^{2} \vartheta\right)=k,
\]

где $k$ – постоянная. Вводя значение $\dot{\varphi}$ из этого уравнения в интеграл энергии
\[
T+V=h,
\]

получим:
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} m\left(r^{2}-\frac{2}{3} a^{2}\right) \dot{\vartheta}^{2}= \\
=h+m g\left(r^{2}-a^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cos \vartheta-\frac{k^{2}}{M r^{2}+2 m\left(r^{2} \sin ^{2} \vartheta-a^{2} \sin ^{2} \vartheta+\frac{1}{3} a^{2} \cos ^{2} \vartheta\right)} .
\end{array}
\]

Интегрирование этого уравнения, которое может быть выполнено разделением переменных, дает $\vartheta$ как функцию от $t$ и, следовательно, решение задачи.
4. Обруч и кольцо. Система состоит из однородного гладкого обруча радиуса $a$, находящегося в горизонтальной плоскости и катящегося без скольжения по неподвижной прямой, и из маленького колечка, скользящего без трения по обручу. Масса колечка составляет $\frac{1}{\lambda}$ часть массы обруча. В начальный момент обруч находится в покое, а кольцо имеет скорость $v$ и расположено в точке, наиболее отдаленной от неподвижной прямой.

Пусть $\varphi$ – угол, на который поворачивается обруч за промежуток времени $t$ от начала движения. Обозначим через $\psi$ угол, на который повернется за это время диаметр обруча, проходящий через кольцо. Полагая массу кольца равной единице и, следовательно, массу обруча равной $\lambda$ мы получим для момента инерции обруча относительно его центра значение $\lambda a^{2}$. Центр обруча имеет скорость $a \dot{\varphi}$; скорость кольца складывается из двух слагаемых $a \dot{\varphi}$ и $a \dot{\psi}$, образующих между собой угол $\psi$. Следовательно, система обладает кинетической энергией:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2} \lambda a^{2} \dot{\varphi}^{2}+\frac{1}{2} \lambda a^{2} \dot{\varphi}^{2}+\frac{1}{2}\left(a^{2} \dot{\varphi}^{2}+a^{2} \dot{\psi}^{2}+2 a^{2} \dot{\varphi} \dot{\psi} \cos \psi\right)= \\
& =\frac{1}{2}(2 \lambda+1) a^{2} \dot{\varphi}^{2}+\frac{1}{2} a^{2} \dot{\psi}^{2}+a^{2} \dot{\varphi} \dot{\psi} \cos \psi .
\end{aligned}
\]

Потенциальная энергия системы равна нулю.
Координата $\varphi$ является, очевидно, циклической; ей соответствует интеграл
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=\text { const }
\]

или
\[
(2 \lambda+1) a^{2} \dot{\varphi}+a^{2} \dot{\psi} \cos \psi=a v
\]

так как $a v$ есть начальное значение величины $\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}$.
Интегрирование этого уравнения дает:
\[
(2 \lambda+1) \varphi+\sin \psi-\frac{v t}{a}=0,
\]

так как начальное значение левой части равно нулю. Отсюда
\[
\varphi=\frac{1}{2 \lambda+1}\left(\frac{v t}{a}-\sin \psi\right) .
\]

Это уравнение определяет $\varphi$ как функцию от $\psi$.
уравнение энергии имеет вид:
\[
T=T_{(t=0)}=\frac{1}{2} v^{2} .
\]

Заменяя в нем $\dot{\varphi}$ значением
\[
\frac{\frac{v}{a}-\dot{\psi} \cos \psi}{2 \lambda+1}
\]

получим:
\[
a^{2}\left(2 \lambda+\sin ^{2} \psi\right) \dot{\psi}^{2}=2 \lambda v^{2},
\]

откуда
\[
t=\frac{a}{v \sqrt{2 \lambda}} \int_{0}^{\psi}\left(2 \lambda+\sin ^{2} \psi\right)^{\frac{1}{2}} d \psi .
\]

Подставляя $\sin \psi=x$, получим:
\[
t=\frac{a}{v \sqrt{2 \lambda}} \int_{0}^{x}\left(2 \lambda+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(1-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} d x .
\]

Для вычисления этого интеграла введем вспомогательную переменную $u$, определяемую равенством:
\[
u=\int_{0}^{x}\left(2 \lambda+x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\left(1-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} d x .
\]

При подстановке $x^{2}=\frac{2 \lambda}{\xi}$, где $\xi$ – новая переменная, этот интеграл переходит в следующий:
\[
u=\int_{\xi}^{\infty}\{4 \xi(\xi+1)(\xi-2 \lambda)\}^{-\frac{1}{2}} d \xi .
\]

Отсюда
\[
\xi=\wp(u)-\frac{1}{3}(1-2 \lambda),
\]

где функция $о$ образована при помощи корней:
\[
e_{1}=\frac{1}{3}(1+4 \lambda), \quad e_{2}=\frac{1}{3}(1-2 \lambda), \quad e_{3}=-\frac{2}{3}(1+\lambda) .
\]

Эти корни действительны и удовлетворяют условию $e_{1}>e_{2}>e_{3}$. Поэтому для действительных значений $u, \wp(u)$ также действительна и больше $e_{1}$.
Далее
\[
d t=\frac{a}{v \sqrt{2 \lambda}}\left(2 \lambda+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(1-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} d x .
\]

или
\[
\frac{v \sqrt{2 \lambda} d t}{a}=\left\{2 \lambda+\frac{2 \lambda}{\wp(u)-e_{2}}\right\} d u .
\]
Отсюда, интегрируя, находим:
\[
\frac{v t \sqrt{2 \lambda}}{a}=\frac{1}{3}(1+4 \lambda) u+\zeta(u)+\frac{1}{2} \frac{\wp^{\prime}(u)}{\wp(u)-\frac{1}{3}(1-2 \lambda)},
\]

где $\zeta(u)$ есть дзета-функция Вейерштрасса.
Следовательно, $\psi$ и $t$ выражаются через вспомогательную переменную при помощи уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\sin ^{2} \psi=\frac{2 \lambda}{\wp(u)-\frac{1}{3}(1-2 \lambda)} \\
\frac{v t \sqrt{2 \lambda}}{a}=\frac{1}{3}(1+4 \lambda) u+\zeta(u)+\frac{1}{2} \frac{\wp^{\prime}(u)}{\wp(u)-\frac{1}{3}(1-2 \lambda)}
\end{array}
\]