Рассмотрим консервативную динамическую систему и допустим для простоты, что она имеет только две степени свободы. Уравнения
движения имеют вид:
\[
\frac{d q_{1}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{1}}, \quad \frac{d q_{2}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{2}}, \quad \frac{d p_{1}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}, \quad \frac{d p_{2}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{2}},
\]
где $H$ – заданная функция от $q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}$. Допустим, что система допускает периодическое решение:
\[
q_{1}=Q_{1}(t), \quad q_{2}=Q_{2}(t), \quad p_{1}=P_{1}(t), \quad p_{2}=P_{2}(t),
\]
и пусть смежное решение определяется уравнениями:
\[
q_{1}=Q_{1}+\xi_{1}, \quad q_{2}=Q_{2}+\xi_{2}, \quad p_{1}=P_{1}+\widetilde{\omega}_{1}, \quad p_{2}=P_{2}+\widetilde{\omega}_{2},
\]
Тогда, очевидно, $\xi_{1}, \xi_{2}, \widetilde{\omega}_{1}, \widetilde{\omega}_{2}$ удовлетворяют уравнению:
\[
\frac{d \xi_{1}}{d t}=\xi_{1} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{1} \partial q_{1}}+\xi_{2} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{1} \partial q_{2}}+\widetilde{\omega}_{1} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{1}^{2}}+\widetilde{\omega}_{2} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{1} \partial p_{2}}
\]
и еще трем аналогичным уравнениям.
Пусть $\xi_{1}^{\prime}, \xi_{2}^{\prime}, \widetilde{\omega}_{1}^{\prime}, \widetilde{\omega}_{2}^{\prime}$ представляют собой другое решение этих уравнений, так что имеем:
\[
\frac{d \xi_{1}}{d t}=\xi_{1}^{\prime} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{1} \partial q_{1}}+\xi_{2}^{\prime} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{1} \partial q_{2}}+\widetilde{\omega}_{1}^{\prime} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{1}^{2}}+\widetilde{\omega}_{2}^{\prime} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{1} \partial p_{2}}
\]
и еще три аналогичные уравнения.
Умножая уравнения (2) на $\widetilde{\omega}_{1}^{\prime}, \widetilde{\omega}_{2}^{\prime},-\xi_{1}^{\prime},-\xi_{2}^{\prime}$, а уравнения (3) на $-\widetilde{\omega}_{1},-\widetilde{\omega}_{2}, \xi_{1}, \xi_{2}$ и складывая, получим:
\[
\frac{d}{d t}\left(\xi_{1} \widetilde{\omega}_{1}^{\prime}+\xi_{2} \widetilde{\omega}_{2}^{\prime}-\xi_{1}^{\prime} \widetilde{\omega}_{1}-\xi_{2}^{\prime} \widetilde{\omega}_{2}\right)=0,
\]
откуда
\[
\xi_{1} \widetilde{\omega}_{1}^{\prime}+\xi_{2} \widetilde{\omega}_{2}^{\prime}-\xi_{1}^{\prime} \widetilde{\omega}_{1}-\xi_{2}^{\prime} \widetilde{\omega}_{2}=\text { const. }
\]
Пусть $\bar{\xi}_{1}, \bar{\xi}_{2}, \overline{\widetilde{\omega}}_{1}, \overline{\widetilde{\omega}}_{2}$ представляют значения величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \widetilde{\omega}_{1}, \widetilde{\omega}_{2}$ по истечении промежутка времени, равного периоду. Тогда величины $\bar{\xi}_{1}, \bar{\xi}_{2}, \overline{\widetilde{\omega}}_{1}, \overline{\widetilde{\omega}}_{2}$ будут линейными функциями величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \widetilde{\omega}_{1}, \widetilde{\omega}_{2}$. Пусть этими функциями будут:
\[
\begin{array}{l}
\bar{\xi}_{1}=r_{11} \xi_{1}+r_{12} \xi_{2}+r_{13} \widetilde{\omega}_{1}+r_{14} \widetilde{\omega}_{2}, \\
\bar{\xi}_{2}=r_{21} \xi_{1}+r_{22} \xi_{2}+r_{23} \widetilde{\omega}_{1}+r_{24} \widetilde{\omega}_{2}, \\
\widetilde{\omega}_{1}=r_{31} \xi_{1}+r_{32} \xi_{2}+r_{33} \widetilde{\omega}_{1}+r_{34} \widetilde{\omega}_{2}, \\
\widetilde{\omega}_{2}=r_{41} \xi_{1}+r_{42} \xi_{2}+r_{43} \widetilde{\omega}_{1}+r_{44} \widetilde{\omega}_{2} .
\end{array}
\]
Обозначим матрицу ( $r_{p q}$ ) преобразования, определяемого этими уравнениями, через $R$. На основании (4) матрица $R$ преобразует выражение $\xi_{1} \widetilde{\omega}_{1}^{\prime}+\xi_{2} \widetilde{\omega}_{2}^{\prime}-\xi_{1}^{\prime} \widetilde{\omega}_{1}-\xi_{2}^{\prime} \widetilde{\omega}_{2}$ в самого себя и поэтому
\[
\begin{array}{c}
\xi_{1} \widetilde{\omega}_{1}^{\prime}+\xi_{2} \widetilde{\omega}_{2}^{\prime}-\xi_{1}^{\prime} \widetilde{\omega}_{1}-\xi_{2}^{\prime} \widetilde{\omega}_{2}= \\
=\left(r_{11} \xi_{1}+r_{12} \xi_{2}+r_{13} \widetilde{\omega}_{1}+r_{14} \widetilde{\omega}_{2}\right)\left(r_{31} \xi_{1}^{\prime}+r_{32} \xi_{2}^{\prime}+r_{33} \widetilde{\omega}_{1}^{\prime}+r_{34} \widetilde{\omega}_{2}^{\prime}\right)+ \\
+ \text { три аналогичных произведения. }
\end{array}
\]
Сравнивая коэффициенты при $\xi_{1} \xi_{1}^{\prime}$ и т. д. в обеих частях этого уравнения, мы получим ряд уравнений, которые все содержатся в одном матричном уравнении:
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0
\end{array}\right)= \\
=\left(\begin{array}{cccc}
0-r_{31} r_{12}-r_{41} r_{22}+r_{11} r_{32}+r_{21} r_{42} & -r_{31} r_{13}-r_{41} r_{23}+r_{11} r_{33}+r_{21} r_{43} & \ldots \\
-r_{32} r_{11}-r_{42} r_{21}+r_{12} r_{31}+r_{22} r_{41} & 0 & -r_{32} r_{13}-r_{42} r_{23}+r_{12} r_{33}+r_{22} r_{43} & \ldots \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots
\end{array}\right) \\
\end{array}
\]
Матрица, стоящая в правой части, равна:
\[
\left(\begin{array}{llll}
-r_{31} & -r_{41} & r_{11} & r_{21} \\
-r_{32} & -r_{42} & r_{12} & r_{22} \\
-r_{33} & -r_{43} & r_{13} & r_{23} \\
-r_{34} & -r_{44} & r_{14} & r_{24}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{llll}
r_{11} & r_{12} & r_{13} & r_{14} \\
r_{21} & r_{22} & r_{23} & r_{24} \\
r_{31} & r_{32} & r_{33} & r_{34} \\
r_{41} & r_{42} & r_{43} & r_{44}
\end{array}\right)
\]
или
\[
\left(\begin{array}{llll}
r_{11} & r_{21} & r_{31} & r_{41} \\
r_{12} & r_{22} & r_{32} & r_{42} \\
r_{13} & r_{23} & r_{33} & r_{43} \\
r_{14} & r_{24} & r_{34} & r_{44}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{llll}
r_{11} & r_{12} & r_{13} & r_{14} \\
r_{21} & r_{22} & r_{23} & r_{24} \\
r_{31} & r_{32} & r_{33} & r_{34} \\
r_{41} & r_{42} & r_{43} & r_{44}
\end{array}\right)
\]
Поэтому, обозначая матрицу
\[
\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0
\end{array}\right)
\]
через $S$, получим $S=R^{\prime} S R$, где $R^{\prime}$ означает матрицу, сопряженную с $R$. Отсюда $\left(R^{\prime}\right)^{-1}=S R S^{-1}$.
Это уравнение показывает, что матрица $\left(R^{\prime}\right)^{-1}$, а следовательно, и матрица $R^{-1}$ имеет те же самые собственные значения, что и матрица $R$. Следовательно, совокупность собственных значений матрицы $R$ совпадает с совокупностью собственных значений обратной матрицы.
Всегда существует линейная комбинация $\eta=\alpha \xi_{1}+\beta \xi_{2}+\gamma \widetilde{\omega}_{1}+\delta \widetilde{\omega}_{2}$ величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \widetilde{\omega}_{1}, \widetilde{\omega}_{2}$, обладающая тем свойством, что величина $\bar{\eta}$, в которую переходит $\eta$ по истечении промежутка времени, равного периоду, удовлетворяет соотношению:
\[
\bar{\eta}=\lambda \eta
\]
Выписывая явно уравнения, выражающие это условие, мы сразу обнаружим, что величина $\lambda$ должна быть одним из собственных значений матрицы $R$. Но мы знаем, что всякое решение уравнения (2) может быть представлено в виде:
\[
\sum_{k} e^{\alpha_{k} t} S_{k}(t),
\]
где $\alpha_{k}$ – характеристические показатели, а $S_{k}$ – периодические функции от $t$ с периодом $T$. Уравнение же (5) может быть удовлетворено лишь только тогда, когда $\eta$ содержит только один характеристический показатель. Допустим, что
\[
\eta=e^{\alpha_{k} t} S_{k}(t) .
\]
Подставляя (7) в (5), получим:
\[
\lambda=e^{\alpha_{k} T},
\]
т. е. собственными значениями матрицы $R$ будут величины $e^{\alpha_{k} T}$, где $\alpha_{k}$ – характеристические показатели.
Сопоставляя это с вышеполученным результатом, что собственные значения матрицы $R$ совпадают с собственными значениями обратной матрицы, мы приходим к следующей теореме: Если дифференциальные уравнения имеют вид уравнений Гамильтона, то характеристические показатели всякого периодического решения распадаются на пары, состоящие из характеристических показателей, равных по величине, но противоположных по знаку ${ }^{1}$.
Отсюда и из результата, полученного в § 174, вытекает, что nри движении материальной точки на плоскости под действием консервативных сил характеристические показатели всякого периодического решения суть $0,0, \alpha u-\alpha$, где $\alpha$ – некоторое число.
ЗАдАчА 1. Материальная точка движется по плоскости под действием консерратиріш сил. Пусть $u_{n}, u_{n+1}, u_{n+2}$ означаот соответетвено пормальныс отклонения точки от какой-нибудь периодической траектории при движении по смежной траектории после трех последовательных обращений. Показать, что частное $k=\frac{\left(u_{n+2}+u_{n}\right)}{u_{n+1}}$ есть величина постоянная, одинаковая для всех смежных траекторий. (Korteweg, Wiener Sitzungsber., т. 93, 1886.)
${ }^{1}$ Эта теорема принадлежит Пуанкаре (Méc. Cel, т. 1, стр. 193).
Число $k$ называется показателем устойчивости периодической траектории. Если характеристические показатели периодической траектории суть $0,0, \alpha$, и $-\alpha$, то число $\alpha$, показатель устойчивости $k$ и период $T$ связаны соотношением:
\[
k=2 \operatorname{ch} \alpha T .
\]
ЗадАчА 2. Погазать (предполагая, что вопрос устойчивости решается рассмотрением малых перемещений), что периодическая траектория будет устойчивой или неустойчивой в зависимости от того, будет ли показатель устойчивости по абсолютной величине меньше или больше двух.
Это, конечно, соответствует тому, что периодическая траектория будет устойчивой или неустойчивой в зависимости от того, будет ли $\alpha$ чисто мнимым числом или нет.
ЗАдАчА 3. Исследовать предельный случай, когда $\alpha$ равен $\pm 2$.
Показать, что смежная траектория определяется одним из уравнений:
\[
\begin{array}{l}
u=K_{1}\{\varphi(s)+s \psi(s)\}+K_{2} \psi(s), \\
u=K_{1} \varphi(s)+K_{2} \psi(s)
\end{array}
\]
где $\varphi$ и $\psi$ либо имеют период $S$ ( $s$ – дуга периодической траектории, а $S$ ее полная длина), либо связаны соотношениями:
\[
\varphi(s+S)=-\varphi(s), \quad \psi(s+S)=-\psi(s),
\]
и что периодическая траектория может быть как устойчивой, так и неустойчивой.
