Результаты предыдущего параграфа дают возможность получить ряд часто употребляющихся формул для различных видов разложения векторов скорости и ускорения.
1. Скорость и ускорение в полярных координатах. Пусть положение точки определяется полярными координатами $r,\vartheta ,\phi$ связанными с ее прямоугольными координатами $X,Y,Z$ относительно неподвижной в пространстве системы осей при помощи соотношений:
$$\begin{array}{l}X=r\sin \vartheta \cos \phi ,\\ Y=r\sin \vartheta \sin \phi ,\\ Z=r\cos \vartheta \end{array}$$

Требуется определить компоненты скорости и ускорения относительно раРис. 3 диуса-вектора $r$, перпендикулярной к нему прямой, лежащей в плоскости, проходящей через $r$ и $OZ$ (называющейся обычно меридианной плоскостью), и перпендикуляра к меридианной плоскости. Эти три направления мы будем называть $r$-направлением, $\vartheta$-направлением и $\phi$-направлением. Примем за подвижную ось $x$ прямую, выходящую из $O$, параллельно $\vartheta$-направлению, за ось $y$ прямую, выходящую из $O$, параллельно $\phi$-направлению, и за ось $z$ прямую, выходящую из $O$ параллельно $r$-направлению. Углы Эйлера, определяющие положение подвижной системы Охуz относительно неподвижной системы $OXYZ$, суть $\vartheta ,\phi ,0$. Следовательно, компоненты угловой скорости системы $Oxyz$ относительно осей $Ox,Oy,Oz$ суть (§16):
$${\omega }_1=-\dot{\phi }\sin \vartheta ,{\omega }_2=\dot{\vartheta },{\omega }_3=\dot{\phi }\cos \vartheta .$$

Движущаяся точка имеет в подвижной системе координаты $0,0,r$. Следовательно, согласно $\mathrm{\S }17$ компоненты скорости этой точки относительно подвижной системы осей суть:
$$r\dot{\vartheta },r\dot{\phi }\sin \vartheta ,\dot{r},$$

а компоненты ускорения относительно той же системы осей суть:
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}(r\dot{\vartheta })-r{\dot{\phi }}^2\sin \vartheta \cos \vartheta +\dot{r}\dot{\vartheta }=r\ddot{\vartheta }+2\dot{r}\dot{\vartheta }-r{\dot{\phi }}^2\sin \vartheta \cos \vartheta \\ \frac{d}{dt}(r\dot{\phi }\sin \vartheta )+\dot{r}\dot{\phi }\sin \vartheta +r\dot{\vartheta }\dot{\phi }\cos \vartheta =\frac{1}{r\sin \vartheta }\frac{d}{dt}(r^2{\sin }^2\vartheta \dot{\phi })\end{array}$$

и
$$\ddot{r}-r{\dot{\vartheta }}^2-r{\dot{\phi }}^2{\sin }^2\vartheta$$

Если точка движется в плоскости, то мы можем ось $z$ выбрать в этой плоскости и принять ее за полярную ось $\vartheta =0$ плоской полярной системы координат. Тогда величины $r$ и $\vartheta$ станут обыкновенными плоскими полярными координатами точки. Так как $\dot{\phi }$ обращается в нуль, то компоненты скорости и ускорения относительно $r$-направления и $\vartheta$-направления будут равны
$$\begin{array}{ccc}\dot{r}& \text{ и }& r\dot{\vartheta },\\ \ddot{r}-r{\dot{\vartheta }}^2& \text{ и }& r\ddot{\vartheta }+2\dot{r}\dot{\vartheta }.\end{array}$$
2. Скорость и ускорение в цилиндрических координатах. Цилиндрические координаты $z,\rho ,\phi$ некоторой точки связаны с ее координатами $X,Y,Z$ относительно неподвижной прямоугольной системы осей при помощи соотношений:
$$X=\rho \cos \phi ,Y=\rho \sin \phi ,Z=z.$$

Требуется определить компоненты скорости и ускорения точки относительно параллели к оси $z$ перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось $z$ и перпендикуляра к этим двум направлениям. Эти направления мы будем кратко называть $z$-направлением, $\rho$-направлением и $\phi$-направлением. Координата $\phi$ называется азимутом точки.

Выберем подвижную систему координат, имеющую начало в нулевой точке и оси $Ox,Oy,Oz$, параллельные соответственно $\rho$-, $\phi$ и $z$-направлениям. Компоненты угловой скорости системы Охуz относительно осей $Ox,Oy,Oz$ даются, очевидно, равенствами:
$${\omega }_1=0,{\omega }_2=0,{\omega }_3=\dot{\phi }.$$

Координаты движущейся точки в подвижной системе координат равны соответственно $\rho ,0,z$. Согласно $\mathrm{\S }17$ получим для искомых компонентов скорости значения:
$$\dot{\rho },\rho \dot{\phi },\dot{z},$$

а для компонентов ускорения — значения:
$$\ddot{\rho }-\rho {\dot{\phi }}^2,\rho \ddot{\phi }+2\dot{\rho }\dot{\phi },\ddot{z}.$$
3. Скорость и ускорение как функции естественных координат. Используем теперь формулы $\S 17$ для нахождения компонентов скорости и ускорения точки, движущейся по любому закону в пространстве, относительно касательной, главной нормали и бинормали к ее траектории.

Мы рассмотрим сначала случай плоского движения точки. Через какую-нибудь неподвижную точку $O$ плоскости проводим оси $x$ и $y$ параллельно касательной и внутренней нормали траектории. Эти оси вращаются вокруг $O$ с угловой скоростью $\dot{\phi }$, если через $\phi$ обозначим угол, образованный касательной к траектории с какой-нибудь неподвижной прямой плоскости. Обозначив через $v$ скорость точки, через $s$ — путь, пройденный ею к моменту времени $t$, и через $\rho$ — радиус кривизны траектории, будем иметь:
$$v=\frac{ds}{dt},\rho =\frac{ds}{d\phi }$$

Следовательно, угловая скорость осей может быть записана в виде $\frac{v}{\rho }$.
Так как компоненты скорости по подвижным осям равны соответственно $v$ и 0 , то согласно $\mathrm{\S }17$ компоненты ускорения по тем же осям равны $\dot{v}$ и $\frac{v^2}{\rho }$. Из соотношения
$$\dot{v}=\frac{dv}{dt}=\frac{ds}{dt}\frac{dv}{ds}=v\frac{dv}{ds}$$

вытекает, что компонент ускорения движущейся точки по касательной к траектории имеет величину $v\frac{dv}{ds}$, а по внутренней нормали — величину $\frac{v^2}{\rho }$.

Скорость движущейся точки определяется ее двумя бесконечно близкими положениями; ускорение определяется поэтому тремя бесконечно близкими положениями. Если мы теперь примем, что траектория точки не является больше плоской кривой, то все же для определения ускорения мы можем считать, что в каждое мгновение траектория лежит в плоскости кривизны, ибо эта плоскость проходит через три бесконечно близкие точки. Поэтому компоненты ускорения относительно касательной, главной нормали и бинормали равны соответственно
$$v\frac{dv}{ds},\frac{v^2}{\rho },0$$
4. Компоненты ускорения по радиусу-вектору и касательной. Укажем еще другой вид разложения ускорения на компоненты, в случае, когда точка движется по плоской кривой ${}^1$. Выбрав неподвижное начало координат, обозначим через $r$ радиус-вектор движущейся точки, через $p$ длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную к траектории, через $s$ — путь, пройденный точкой к моменту времени $t$, через $\rho$ — радиус кривизны траектории, через $v$ или $\dot{s}$ скорость точки в момент времени $t$ и, наконец, через $h$ — произведение $pv$. Тогда ускорение может быть разложено на два компонента,
${}^1$ Он принадлежит Сиаччи (Siacci, Atti della R. Acc. di Torino, т. 14, cтp. 750).

из которых один равен $\frac{h^{2}r}{p^3\rho }$ и направлен по радиусу-вектору к началу коодинат, а другой равен $\frac{h}{p^2}\frac{dh}{ds}$ и направлен по касательной.

В самом деле, ускорение может быть разложено на два компонента: $v\frac{dv}{ds}$ — по касательной и $\frac{v^2}{\rho }$ — по внутренней нормали. Но всякий вектор $F$, лежащий на радиусе-векторе и направленный в сторону, противоположную от начала координат, может быть разложен на два вектора, из которых один равен $-\frac{Fp}{r}$ и направлен по внутренней нормали, а другой равен $F\frac{dr}{ds}$ и направлен по касательной. Поэтому вектор $\frac{v^2}{\rho }$, направленный по внутренней нормали, имеет по радиусу-вектору, направленному к началу координат, компонент $\frac{r{v}^2}{p\rho }$ и по касательной — компонент $\frac{r{v}^2}{\rho p}\frac{dr}{ds}$. Следовательно, ускорение имеет по касательной компонент
$$v\frac{dv}{ds}+\frac{r{v}^2}{\rho p}\frac{dr}{ds}$$

и по внутреннему радиусу-вектору — компонент
$$\frac{r{v}^2}{\rho p}\text{. }$$

Последний компонент равен $\frac{h^{2}r}{p^3\rho }$, а первый может быть представлен в виде:
$$\frac{1}{2}\frac{d{v}^2}{ds}+\frac{v^2}{p}\frac{dp}{ds}\text{ или }\frac{1}{2p^2}\frac{d\left(v^2{p}^2\right)}{ds}\text{ или }\frac{h}{p^2}\frac{dh}{ds}.$$

Таким образом, предложение Сиаччи доказано.
Задача 1. Определить компоненты ускорения точки, движущейся по поверхности тора
$$x=(c+a\sin \vartheta )\cos \phi ,y=(c+a\sin \vartheta )\sin \phi ,z=a\cos \vartheta$$

относительно касательной к меридианной кривой, нормали и касательной $к$ параллели.

Пусть точка $P$ имеет координаты $\vartheta$ и $\phi$. Обозначим через $O$ центр тора и через $C$ — центр меридианного круга, на котором лежит $P$. Полярные координаты точки $C$ относительно $O$ суть $c$ и $\phi$, а полярные координаты $P$ относительно $C$ суть $a,\vartheta$ и $\phi$. Следовательно, компоненты ускорения точки $C$, относительно $O$ суть:
$$c\ddot{\phi }\text{ — по направлению параллели, }$$
$$-c{\dot{\phi }}^2\text{ — по направлению }OC\text{, }$$
$-c{\dot{\phi }}^2\sin \vartheta$ — по направлению нормали,
$-c{\dot{\phi }}^2\cos \vartheta$ — по направлению меридиана.

Компоненты ускорения точки $P$ относительно $C$ суть:
$$\begin{array}{l}a\ddot{\vartheta }-a{\dot{\phi }}^2\sin \vartheta \cos \vartheta -\text{ по направлению меридиана, }\\ \frac{a}{\sin \vartheta }\frac{d}{dt}({\sin }^2\vartheta \cdot \dot{\phi })-\text{ по направлению параллели, }\\ -a{\dot{\vartheta }}^2-a{\dot{\phi }}^2{\sin }^2\vartheta -\text{ по направлению нормали. }\end{array}$$

Отсюда для компонентов абсолютного ускорения точки $P$ получаем:
$$\begin{array}{r}a\ddot{\vartheta }-(c+a\sin \vartheta ){\dot{\phi }}^2\cos \vartheta -\text{ по направлению меридиана, }\\ -a{\dot{\vartheta }}^2-a{\dot{\phi }}^2{\sin }^2\vartheta -c{\dot{\phi }}^2\sin \vartheta -\text{ по направлению нормали, }\\ \dot{c}\dot{\phi }+\frac{a}{\sin \vartheta }\frac{d}{dt}({\sin }^2\vartheta \cdot \dot{\phi })-\text{ по направлению параллели. }\end{array}$$

ЗАДАча 2. Точка, движущаяся на плоскости, имеет постоянные компоненты ускорения по касательной и нормали. Показать, что траектория точки есть логарифмическая спираль.
Согласно условиям задачи:
$$\begin{array}{rl}v\frac{dv}{ds}& =a,\text{ где }a-\text{ постоянная, т. е. }\\ v^2& =ac\end{array}$$

и
$$\begin{array}{rl}\frac{v^2}{\rho }& =c,\text{ где }c-\text{ постоянная, т. е. }\\ s& =C\rho ,\text{ где }C-\text{ также постоянная }\end{array}$$

или
$$s=C\frac{ds}{d\phi },$$

где $\phi$ означает угол, образованный касательной с какой-нибудь неподвижной прямой.
Интегрируя это уравнение, находим:
$$s=A{e}^{B_{\phi }},$$

где $A$ и $B$ — постоянные. Но это есть натуральное уравнение логарифмической спирали.

Задача 3. Определить ускорение точки, движущейся по логарифмической спирали с постоянной угловой скоростью относительно полюса.

Согласно теореме Сиаччи компоненты ускорения по радиусу-вектору и касательной равны соответственно $\frac{h^{2}r}{p^3\rho }$ и $\frac{h}{p^2}\frac{dh}{ds}$. Но если $\omega$ означает постоянную угловую скорость точки, то $h=\omega r^2$. Следовательно, компоненты ускорения суть:
$$\frac{{\omega }^2{r}^5}{p^3\rho }\text{ и }\frac{2{\omega }^2{r}^3}{p^2}\frac{dr}{ds}.$$

Так как спирали $\frac{r}{p},\frac{r}{\rho }$ и $\frac{dr}{ds}$ — постоянны, то оба компонента ускорения прямо пропорциональны радиусу-вектору.