Результаты предыдущего параграфа дают возможность получить ряд часто употребляющихся формул для различных видов разложения векторов скорости и ускорения.
1. Скорость и ускорение в полярных координатах. Пусть положение точки определяется полярными координатами $r, \vartheta, \varphi$ связанными с ее прямоугольными координатами $X, Y, Z$ относительно неподвижной в пространстве системы осей при помощи соотношений:
\[
\begin{array}{l}
X=r \sin \vartheta \cos \varphi, \\
Y=r \sin \vartheta \sin \varphi, \\
Z=r \cos \vartheta
\end{array}
\]

Требуется определить компоненты скорости и ускорения относительно раРис. 3 диуса-вектора $r$, перпендикулярной к нему прямой, лежащей в плоскости, проходящей через $r$ и $O Z$ (называющейся обычно меридианной плоскостью), и перпендикуляра к меридианной плоскости. Эти три направления мы будем называть $r$-направлением, $\vartheta$-направлением и $\varphi$-направлением. Примем за подвижную ось $x$ прямую, выходящую из $O$, параллельно $\vartheta$-направлению, за ось $y$ прямую, выходящую из $O$, параллельно $\varphi$-направлению, и за ось $z$ прямую, выходящую из $O$ параллельно $r$-направлению. Углы Эйлера, определяющие положение подвижной системы Охуz относительно неподвижной системы $O X Y Z$, суть $\vartheta, \varphi, 0$. Следовательно, компоненты угловой скорости системы $O x y z$ относительно осей $O x, O y, O z$ суть (§16):
\[
\omega_{1}=-\dot{\varphi} \sin \vartheta, \quad \omega_{2}=\dot{\vartheta}, \quad \omega_{3}=\dot{\varphi} \cos \vartheta .
\]

Движущаяся точка имеет в подвижной системе координаты $0,0, r$. Следовательно, согласно $\S 17$ компоненты скорости этой точки относительно подвижной системы осей суть:
\[
r \dot{\vartheta}, \quad r \dot{\varphi} \sin \vartheta, \quad \dot{r},
\]

а компоненты ускорения относительно той же системы осей суть:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}(r \dot{\vartheta})-r \dot{\varphi}^{2} \sin \vartheta \cos \vartheta+\dot{r} \dot{\vartheta}=r \ddot{\vartheta}+2 \dot{r} \dot{\vartheta}-r \dot{\varphi}^{2} \sin \vartheta \cos \vartheta \\
\frac{d}{d t}(r \dot{\varphi} \sin \vartheta)+\dot{r} \dot{\varphi} \sin \vartheta+r \dot{\vartheta} \dot{\varphi} \cos \vartheta=\frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{d}{d t}\left(r^{2} \sin ^{2} \vartheta \dot{\varphi}\right)
\end{array}
\]

и
\[
\ddot{r}-r \dot{\vartheta}^{2}-r \dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \vartheta
\]

Если точка движется в плоскости, то мы можем ось $z$ выбрать в этой плоскости и принять ее за полярную ось $\vartheta=0$ плоской полярной системы координат. Тогда величины $r$ и $\vartheta$ станут обыкновенными плоскими полярными координатами точки. Так как $\dot{\varphi}$ обращается в нуль, то компоненты скорости и ускорения относительно $r$-направления и $\vartheta$-направления будут равны
\[
\begin{array}{ccc}
\dot{r} & \text { и } & r \dot{\vartheta}, \\
\ddot{r}-r \dot{\vartheta}^{2} & \text { и } & r \ddot{\vartheta}+2 \dot{r} \dot{\vartheta} .
\end{array}
\]
2. Скорость и ускорение в цилиндрических координатах. Цилиндрические координаты $z, \rho, \varphi$ некоторой точки связаны с ее координатами $X, Y, Z$ относительно неподвижной прямоугольной системы осей при помощи соотношений:
\[
X=\rho \cos \varphi, \quad Y=\rho \sin \varphi, \quad Z=z .
\]

Требуется определить компоненты скорости и ускорения точки относительно параллели к оси $z$ перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось $z$ и перпендикуляра к этим двум направлениям. Эти направления мы будем кратко называть $z$-направлением, $\rho$-направлением и $\varphi$-направлением. Координата $\varphi$ называется азимутом точки.

Выберем подвижную систему координат, имеющую начало в нулевой точке и оси $O x, O y, O z$, параллельные соответственно $\rho$-, $\varphi$ и $z$-направлениям. Компоненты угловой скорости системы Охуz относительно осей $O x, O y, O z$ даются, очевидно, равенствами:
\[
\omega_{1}=0, \quad \omega_{2}=0, \quad \omega_{3}=\dot{\varphi} .
\]

Координаты движущейся точки в подвижной системе координат равны соответственно $\rho, 0, z$. Согласно $\S 17$ получим для искомых компонентов скорости значения:
\[
\dot{\rho}, \quad \rho \dot{\varphi}, \quad \dot{z},
\]

а для компонентов ускорения – значения:
\[
\ddot{\rho}-\rho \dot{\varphi}^{2}, \quad \rho \ddot{\varphi}+2 \dot{\rho} \dot{\varphi}, \quad \ddot{z} .
\]
3. Скорость и ускорение как функции естественных координат. Используем теперь формулы $§ 17$ для нахождения компонентов скорости и ускорения точки, движущейся по любому закону в пространстве, относительно касательной, главной нормали и бинормали к ее траектории.

Мы рассмотрим сначала случай плоского движения точки. Через какую-нибудь неподвижную точку $O$ плоскости проводим оси $x$ и $y$ параллельно касательной и внутренней нормали траектории. Эти оси вращаются вокруг $O$ с угловой скоростью $\dot{\varphi}$, если через $\varphi$ обозначим угол, образованный касательной к траектории с какой-нибудь неподвижной прямой плоскости. Обозначив через $v$ скорость точки, через $s$ – путь, пройденный ею к моменту времени $t$, и через $\rho$ – радиус кривизны траектории, будем иметь:
\[
v=\frac{d s}{d t}, \quad \rho=\frac{d s}{d \varphi}
\]

Следовательно, угловая скорость осей может быть записана в виде $\frac{v}{\rho}$.
Так как компоненты скорости по подвижным осям равны соответственно $v$ и 0 , то согласно $\S 17$ компоненты ускорения по тем же осям равны $\dot{v}$ и $\frac{v^{2}}{\rho}$. Из соотношения
\[
\dot{v}=\frac{d v}{d t}=\frac{d s}{d t} \frac{d v}{d s}=v \frac{d v}{d s}
\]

вытекает, что компонент ускорения движущейся точки по касательной к траектории имеет величину $v \frac{d v}{d s}$, а по внутренней нормали – величину $\frac{v^{2}}{\rho}$.

Скорость движущейся точки определяется ее двумя бесконечно близкими положениями; ускорение определяется поэтому тремя бесконечно близкими положениями. Если мы теперь примем, что траектория точки не является больше плоской кривой, то все же для определения ускорения мы можем считать, что в каждое мгновение траектория лежит в плоскости кривизны, ибо эта плоскость проходит через три бесконечно близкие точки. Поэтому компоненты ускорения относительно касательной, главной нормали и бинормали равны соответственно
\[
v \frac{d v}{d s}, \quad \frac{v^{2}}{\rho}, \quad 0
\]
4. Компоненты ускорения по радиусу-вектору и касательной. Укажем еще другой вид разложения ускорения на компоненты, в случае, когда точка движется по плоской кривой ${ }^{1}$. Выбрав неподвижное начало координат, обозначим через $r$ радиус-вектор движущейся точки, через $p$ длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную к траектории, через $s$ – путь, пройденный точкой к моменту времени $t$, через $\rho$ – радиус кривизны траектории, через $v$ или $\dot{s}$ скорость точки в момент времени $t$ и, наконец, через $h$ – произведение $p v$. Тогда ускорение может быть разложено на два компонента,
${ }^{1}$ Он принадлежит Сиаччи (Siacci, Atti della R. Acc. di Torino, т. 14, cтp. 750).

из которых один равен $\frac{h^{2} r}{p^{3} \rho}$ и направлен по радиусу-вектору к началу коодинат, а другой равен $\frac{h}{p^{2}} \frac{d h}{d s}$ и направлен по касательной.

В самом деле, ускорение может быть разложено на два компонента: $v \frac{d v}{d s}$ – по касательной и $\frac{v^{2}}{\rho}$ – по внутренней нормали. Но всякий вектор $F$, лежащий на радиусе-векторе и направленный в сторону, противоположную от начала координат, может быть разложен на два вектора, из которых один равен $-\frac{F p}{r}$ и направлен по внутренней нормали, а другой равен $F \frac{d r}{d s}$ и направлен по касательной. Поэтому вектор $\frac{v^{2}}{\rho}$, направленный по внутренней нормали, имеет по радиусу-вектору, направленному к началу координат, компонент $\frac{r v^{2}}{p \rho}$ и по касательной – компонент $\frac{r v^{2}}{\rho p} \frac{d r}{d s}$. Следовательно, ускорение имеет по касательной компонент
\[
v \frac{d v}{d s}+\frac{r v^{2}}{\rho p} \frac{d r}{d s}
\]

и по внутреннему радиусу-вектору – компонент
\[
\frac{r v^{2}}{\rho p} \text {. }
\]

Последний компонент равен $\frac{h^{2} r}{p^{3} \rho}$, а первый может быть представлен в виде:
\[
\frac{1}{2} \frac{d v^{2}}{d s}+\frac{v^{2}}{p} \frac{d p}{d s} \quad \text { или } \frac{1}{2 p^{2}} \frac{d\left(v^{2} p^{2}\right)}{d s} \text { или } \frac{h}{p^{2}} \frac{d h}{d s} .
\]

Таким образом, предложение Сиаччи доказано.
Задача 1. Определить компоненты ускорения точки, движущейся по поверхности тора
\[
x=(c+a \sin \vartheta) \cos \varphi, \quad y=(c+a \sin \vartheta) \sin \varphi, \quad z=a \cos \vartheta
\]

относительно касательной к меридианной кривой, нормали и касательной $к$ параллели.

Пусть точка $P$ имеет координаты $\vartheta$ и $\varphi$. Обозначим через $O$ центр тора и через $C$ – центр меридианного круга, на котором лежит $P$. Полярные координаты точки $C$ относительно $O$ суть $c$ и $\varphi$, а полярные координаты $P$ относительно $C$ суть $a, \vartheta$ и $\varphi$. Следовательно, компоненты ускорения точки $C$, относительно $O$ суть:
\[
c \ddot{\varphi} \text { – по направлению параллели, }
\]
\[
-c \dot{\varphi}^{2} \text { – по направлению } O C \text {, }
\]
$-c \dot{\varphi}^{2} \sin \vartheta$ – по направлению нормали,
$-c \dot{\varphi}^{2} \cos \vartheta$ – по направлению меридиана.

Компоненты ускорения точки $P$ относительно $C$ суть:
\[
\begin{array}{l}
a \ddot{\vartheta}-a \dot{\varphi}^{2} \sin \vartheta \cos \vartheta-\text { по направлению меридиана, } \\
\frac{a}{\sin \vartheta} \frac{d}{d t}\left(\sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\varphi}\right)-\text { по направлению параллели, } \\
-a \dot{\vartheta}^{2}-a \dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \vartheta-\text { по направлению нормали. }
\end{array}
\]

Отсюда для компонентов абсолютного ускорения точки $P$ получаем:
\[
\begin{array}{r}
a \ddot{\vartheta}-(c+a \sin \vartheta) \dot{\varphi}^{2} \cos \vartheta-\text { по направлению меридиана, } \\
-a \dot{\vartheta}^{2}-a \dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \vartheta-c \dot{\varphi}^{2} \sin \vartheta-\text { по направлению нормали, } \\
\dot{c} \dot{\varphi}+\frac{a}{\sin \vartheta} \frac{d}{d t}\left(\sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\varphi}\right)-\text { по направлению параллели. }
\end{array}
\]

ЗАДАча 2. Точка, движущаяся на плоскости, имеет постоянные компоненты ускорения по касательной и нормали. Показать, что траектория точки есть логарифмическая спираль.
Согласно условиям задачи:
\[
\begin{aligned}
v \frac{d v}{d s} & =a, \quad \text { где } a-\text { постоянная, т. е. } \\
v^{2} & =a c
\end{aligned}
\]

и
\[
\begin{aligned}
\frac{v^{2}}{\rho} & =c, \quad \text { где } c-\text { постоянная, т. е. } \\
s & =C \rho, \quad \text { где } C-\text { также постоянная }
\end{aligned}
\]

или
\[
s=C \frac{d s}{d \varphi},
\]

где $\varphi$ означает угол, образованный касательной с какой-нибудь неподвижной прямой.
Интегрируя это уравнение, находим:
\[
s=A e^{B_{\varphi}},
\]

где $A$ и $B$ – постоянные. Но это есть натуральное уравнение логарифмической спирали.

Задача 3. Определить ускорение точки, движущейся по логарифмической спирали с постоянной угловой скоростью относительно полюса.

Согласно теореме Сиаччи компоненты ускорения по радиусу-вектору и касательной равны соответственно $\frac{h^{2} r}{p^{3} \rho}$ и $\frac{h}{p^{2}} \frac{d h}{d s}$. Но если $\omega$ означает постоянную угловую скорость точки, то $h=\omega r^{2}$. Следовательно, компоненты ускорения суть:
\[
\frac{\omega^{2} r^{5}}{p^{3} \rho} \quad \text { и } \quad \frac{2 \omega^{2} r^{3}}{p^{2}} \frac{d r}{d s} .
\]

Так как спирали $\frac{r}{p}, \frac{r}{\rho}$ и $\frac{d r}{d s}$ – постоянны, то оба компонента ускорения прямо пропорциональны радиусу-вектору.