Рассмотрим тело, непрерывно вращающееся вокруг оси. Если $\vartheta$ означает угол, описанный телом к моменту $t$, то величина $\dot{\vartheta}$ представит в тот же момент времени скорость вращения. Если на оси вращения отложить от какойнибудь произвольной точки отрезок длиною $\dot{\vartheta}$, то этот отрезок будет вполне характеризовать вращательное движение в момент времени $t$ или, как принято говорить, угловую скорость вращения. Направление этому отрезку придают в зависимости от направления вращения, сообразуясь со следующим условием: если вращение совершается с юга на север через восток, то этот отрезок направляется вертикально вверх.

Таким образом, угловая скорость выражается отрезком, имеющим определенные длину и направление. Согласно $\S 8$ всякий бесконечно малый поворот тела на угол $\delta \psi$ вокруг какой-нибудь прямой $O K$, проходящей через неподвижную точку $O$ тела, может быть заменен тремя последовательными вращениями $\delta \psi \cos \alpha, \delta \psi \cos \beta, \delta \psi \cos \gamma$ вокруг соответствующих осей $O x, O y, O z$. Oxyz представляет собой систему прямоугольных осей, относительно которых прямая $O K$ имеет направляющие углы $\alpha, \beta, \gamma$. Отсюда следует, что угловая скорость, выражаемая отрезком $\dot{\psi}$, лежащим на $O K$, может быть заменена отрезками $\dot{\psi} \cos \alpha, \dot{\psi} \cos \beta, \dot{\psi} \cos \gamma$, лежащими соответственно на осях $O x, O y, O z$. Но в этом заключается основное свойство векторов; мы можем, следовательно, сказать, что угловые скорости можно складывать и разлагать как векторы. Следует, однако, заметить, что угловая скорость не обладает всеми свойствами, положенными в основание определения вектора: угловая скорость вокруг какой-нибудь прямой не эквивалентна такой же угловой скорости вокруг параллельной прямой. Угловая скорость должна быть поэтому рассматриваема как вектор, приложенный к определенной прямой.
ЗАДАчА 1. Прямой круговой конус, с углом раствора равным $2 \beta$, катится без скольжения по плоскости. Определить его мгновенную ось и выразить угловую скорость вращения вокруг этой оси как функцию угловой скорости вращения прямой соприкосновения на плоскости.

Так как все точки образующей конуса, касающейся плоскости, находятся в мгновенном покое в силу отсутствия скольжения, то эта образующая является мгновенной осью вращения. Пусть $\omega$ означает угловую скорость вращения конуса вокруг этой образующей, а $\dot{\vartheta}$ — угловую скорость вращения прямой соприкосновения на плоскости. Тогда движение оси конуса может быть представлено как вращение с угловой скоростью $\dot{\vartheta}$ вокруг нормали к плоскости. Но из этого движения и из вращения вокруг своей оси складывается полное движение конуса. Следовательно, компонент угловой скорости конуса относительно перпендикуляра к его оси, проходящего через его вершину, равен $\dot{\vartheta} \cos \beta$; он должен равняться компоненту $\omega \sin \beta$ угловой скорости $\omega$ относительно того же самого направления. Следовательно, равенство
\[
\omega=\dot{\vartheta} \operatorname{ctg} \beta
\]

и дает искомую зависимость между $\omega$ и $\dot{\vartheta}$.