В § 137 мы видели, что при преобразовании переменных в системе
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

новые дифференциальные уравнения образуют первую пфаффову систему той дифференциальной формы, в которую после преобразования переходит форма:
\[
p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\cdots+p_{n} d q_{n}-H d t .
\]

Допустим, что мы нашли преобразование, определяемое уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{l}
q_{r}=\varphi_{r}\left(Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, t\right), \\
p_{r}=\psi_{r}\left(Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, t\right)
\end{array}\right\} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

преобразующее нашу дифференциальную форму в
\[
P_{1} d Q_{1}+P_{2} d Q_{2}+\cdots+P_{n} d Q_{n}-d T,
\]

где $d T$ – полный дифференциал некоторой функции от $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$, $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, t$. Тогда соответствующая первая система уравнений Пфаффа имеет вид:
\[
d Q_{r}=0, \quad d P_{r}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Интегрирование ее дает:
\[
Q_{r}=\text { const }, \quad P_{r}=\text { const } \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Следовательно уравнения:
\[
\left.\begin{array}{l}
q_{r}=\varphi_{r}\left(Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, t\right), \\
p_{r}=\psi_{r}\left(Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, t\right)
\end{array}\right\} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

представляют собой общее решение уравнений движения, если величины $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ рассматривать как произвольные постоянные.

Таким образом, задача интегрирования приводится $к$ определению преобразования, при котором последний член преобразованной дифференциальной формы есть полный дифференциал.