Перейдем теперь к изложению самого способа приведения ${ }^{1}$. Оказывается, что при всех необходимых для этого преобразованиях сохраняется гамильтонова форма уравнений.

Возьмем уравнения задачи трех тел в полученной в $\S 155$ канонической форме:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, 9)
\]
${ }^{1}$ Преобразование $§ 157$ принадлежит Пуанкаре (Compt. Rendus т. 123, 1896); преобразование § 158 принадлежит автору и опубликовано впервые в первом издании этой книги. Это преобразование заслуживает особого внимания, так как оно является расширенным точечным преобразованием, откуда следует, что приведение уравнений к лагранжевой форме, (в противоположность гамильтоновой) может быть произведено при помощи простого точечного преобразования. Второе преобразование при последующем приведении ( $\$ 160$ ) не является расширенным точечным преобразованием. Другое приведение задачи трех тел основывается на теории инволюционных систем С. Ли. См. Lie, Math. Ann., т. 8, стр. 282; далее: Воронец, Известия Киевского унив. 1907; Levi-Civita, Atti del. R. Ist. Veneto, т. 74, стр. 907, 1915.

и понизим сначала при помощи интеграла движения центра тяжести порядок этой системы до 12. Для этого преобразуем переменные системы при помощи контактного преобразования, определяемого уравнениями:
\[
q_{r}=\frac{\partial W}{\partial p_{r}}, \quad p_{r}^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial q_{r}^{\prime}} \quad(r=1,2, \ldots, 9),
\]

где
\[
\begin{aligned}
W & =p_{1} q_{1}^{\prime}+p_{2} q_{2}^{\prime}+p_{3} q_{3}^{\prime}+p_{4} q_{4}^{\prime}+p_{5} q_{5}^{\prime}+p_{6} q_{6}^{\prime}+\left(p_{1}+p_{4}+p_{7}\right) q_{7}^{\prime}+ \\
& +\left(p_{2}+p_{5}+p_{8}\right) q_{8}^{\prime}+\left(p_{3}+p_{6}+p_{9}\right) q_{9}^{\prime} .
\end{aligned}
\]

Истолковывая эти уравнения, легко видеть, что $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, q_{3}^{\prime}$, суть координаты точки $m_{1}$ относительно $m_{3} ; q_{4}^{\prime}, q_{5}^{\prime}, q_{6}^{\prime}$ – координаты точки $m_{2}$ относительно $m_{3}$, а $q_{7}^{\prime}, q_{8}^{\prime}, q_{9}^{\prime}$ суть координаты точки $m_{3}$. Далее, $p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime}, p_{3}^{\prime}$ суть компоненты количества движения точки $m_{1} ; p_{4}^{\prime}, p_{5}^{\prime}, p_{6}^{\prime}-$ компоненты количества движения точки $m_{2}$, а $p_{7}^{\prime}, p_{8}^{\prime}, p_{9}^{\prime}$ – компоненты количества движения всей системы.

После преобразования переменных дифференциальные уравнения движения переходят ( $\$ 138$ ) в следующее:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}^{\prime}}, \quad \frac{d p_{r}^{\prime}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}^{\prime}} \quad(r=1,2, \ldots, 9),
\]

а функция $H$ принимает вид:
\[
\begin{array}{l}
H=\left(\frac{1}{2 m_{1}}+\frac{1}{2 m_{3}}\right)\left({p^{\prime}}_{1}^{2}+{p^{\prime}}_{2}^{2}+{p^{\prime}}_{3}^{2}\right)+\left(\frac{1}{2 m_{2}}+\frac{1}{2 m_{3}}\right)\left({p^{\prime}}_{4}^{2}+\right. \\
\left.+{p^{\prime}}_{5}^{2}+{p^{\prime}}_{6}^{2}\right)+\frac{1}{m_{3}}\left\{p_{1}^{\prime} p_{4}^{\prime}+p_{2}^{\prime} p_{5}^{\prime}+p_{3}^{\prime} p_{6}^{\prime}+\frac{1}{2}{p^{\prime}}_{7}^{2}+\frac{1}{2}{p^{\prime}}_{8}^{2}+\right. \\
\left.+\frac{1}{2}{p^{\prime}}_{9}^{2}-p_{7}^{\prime}\left(p_{1}^{\prime}+p_{4}^{\prime}\right)-p_{8}^{\prime}\left(p_{2}^{\prime}+p_{5}^{\prime}\right)-p_{9}^{\prime}\left(p_{3}^{\prime}+p_{6}^{\prime}\right)\right\}- \\
-m_{2} m_{3}\left\{{q^{\prime}}_{4}^{2}+{q^{\prime}}_{5}^{2}+{q^{\prime}}_{6}^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}}-m_{3} m_{1}\left\{{q^{\prime 2}}_{1}^{2}+{q^{\prime 2}}_{2}^{2}+{q^{\prime 2}}_{3}^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}}- \\
-m_{1} m_{2}\left\{\left(q_{1}^{\prime}-q_{4}^{\prime}\right)^{2}+\left(q_{2}^{\prime}-q_{5}^{\prime}\right)^{2}+\left(q_{3}^{\prime}-q_{6}^{\prime}\right)^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}} \text {. } \\
\end{array}
\]

Так как $q_{7}^{\prime}, q_{8}^{\prime}, q_{9}^{\prime}$ в $H$ не входят, то они являются циклическими координатами; им соответствует интегралы:
\[
p_{7}^{\prime}=\text { const }, \quad p_{8}^{\prime}=\text { const }, \quad p_{9}^{\prime}=\text { const. }
\]

Не нарушая общности рассуждений, мы можем предположить, что эти постоянные интегрирования равны нулю, так как это означает лишь только то, что центр тяжести находится в покое. Тогда кинетический потенциал системы, приведенной при помощи циклических координат, получится от первоначального кинетического потенциала заменою величин $p_{7}^{\prime}, p_{8}^{\prime}, p_{9}^{\prime}$ нулями. Тем же путем из $H$ получится и новая функция Гамильтона. Следовательно, система двенадцатого порядка, к которой приводятся уравнения движения в задаче трех тел, может быть написана (отбрасывая штрихи) в форме:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, 6),
\]

причем
\[
\begin{aligned}
H & =\left(\frac{1}{2 m_{1}}+\frac{1}{2 m_{2}}\right)\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)+\left(\frac{1}{2 m_{2}}+\frac{1}{2 m_{3}}\right)\left(p_{4}^{2}+p_{5}^{2}+p_{6}^{2}\right)+ \\
& +\frac{1}{m_{3}}\left(p_{1} p_{4}+p_{2} p_{5}+p_{3} p_{6}\right)-m_{2} m_{3}\left\{q_{4}^{2}+q_{5}^{2}+q_{6}^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}}-m_{3} m_{1}\left\{q_{1}^{2}+\right. \\
& \left.+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}}-m_{1} m_{2}\left\{\left(q_{1}-q_{4}\right)^{2}+\left(q_{2}-q_{5}\right)^{2}+\left(q_{3}-q_{6}\right)^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}} .
\end{aligned}
\]

Эта система обладает интегралом энергии:
\[
H=\text { const }
\]

и тремя интегралами моментов количества движения:
\[
\begin{array}{l}
q_{2} p_{3}-q_{3} p_{2}+q_{5} p_{6}-q_{6} p_{5}=A_{1}, \\
q_{3} p_{1}-q_{1} p_{3}+q_{6} p_{4}-q_{4} p_{6}=A_{2}, \\
q_{1} p_{2}-q_{2} p_{1}+q_{4} p_{5}-q_{5} p_{4}=A_{3},
\end{array}
\]

где $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ – постоянные интегрирования.