Прекрасной иллюстрацией к теории периодических и асимптотических решений может служить движение планет в гравитационном поле, вызываемом действием одной единственной притягивающей массы, когда закон притяжения Ньютона заменен более точным и философски законченным законом притяжения, даваемым общей теорией относительности.

Выберем начало координат в центре Солнца и пусть положение планеты и плоскости движения определяется двумя координатами $r$ и которые могут быть рассматриваемы как обычные полярные координаты (точнее, расстояние точки от начала координат определяется не $r$, а некоторой функцией от $r$ ). Обозначим время через $t$ и определим квадратичную дифференциальную форму $d s^{2}$ при помощи равенства:
\[
d s^{2}=c^{2}\left(1-\frac{\alpha}{r}\right) d t^{2}-\frac{d r^{2}}{1-\frac{\alpha}{r}}-r^{2} d \vartheta^{2},
\]
${ }^{1}$ Poincaré, Méth. Nouv., т. 1, гл. VII; Picard, Traité d’Analvse, т. 3, гл. VII.
${ }^{2}$ Poincaré, Acta Math., т. 13, стр. 225; Méth. Nouv., т. III, гл. XXXIII.

где $c$ – скорость света в пустоте, а $\alpha$ – постоянная, зависящая от массы Солнца. Пусть
\[
T=\frac{1}{2} c^{2}\left(1-\frac{\alpha}{r}\right) t^{\prime 2}-\frac{1}{2} \frac{{r^{\prime}}^{2}}{1-\frac{\alpha}{r}}-\frac{1}{2} r^{2}{\vartheta^{\prime}}^{2},
\]

где штрихи означают дифференцирование по $s$. Тогда, как это доказывается в руководствах по теории относительности, уравнения, определяющие траекторию планеты, суть уравнения Лагранжа:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d s}\left(\frac{\partial T}{\partial r^{\prime}}\right)-\frac{\partial T}{\partial r}=0, \\
\frac{d}{d s}\left(\frac{\partial T}{\partial \vartheta^{\prime}}\right)-\frac{\partial T}{\partial \vartheta}=0, \\
\frac{d}{d s}\left(\frac{\partial T}{\partial t^{\prime}}\right)-\frac{\partial T}{\partial t}=0 .
\end{array}
\]

Последние два уравнения дают $\frac{\partial T}{\partial \vartheta^{\prime}}=$ const и $\frac{\partial T}{\partial t^{\prime}}=$ const или
\[
\begin{array}{c}
r^{2} \frac{d \vartheta}{d s}=\frac{1}{\sqrt{\beta}} \\
\left(1-\frac{\alpha}{r}\right) \frac{d t}{d s}=-\frac{k^{2}}{c^{2} \sqrt{\beta}}
\end{array}
\]

где $k$ и $\beta$ – постоянные. Подставляя эти уравнения в уравнение
\[
d s^{2}=c^{2}\left(1-\frac{\alpha}{r}\right) d t^{2}-\frac{d r^{2}}{1-\frac{\alpha}{r}}-r^{2} d \vartheta^{2},
\]

получим:
\[
\frac{d r^{2}}{1-\frac{\alpha}{r}}=\left\{-\beta r^{4}+\frac{k^{2} r^{4}}{c\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)}-r^{2}\right\} d \vartheta^{2} .
\]

Полагая $u=\frac{1}{r}$, получим окончательное уравнение траектории планеты в следующем виде:
\[
\left(\frac{d u}{d \vartheta}\right)^{2}=\frac{k^{2}}{c^{2}}-(1-\alpha u)\left(\beta+u^{2}\right) .
\]

Так как выражение, стоящее в правой части, есть полином третьей степени относительно $u$, то это уравнение может быть проинтегрировано при помощи эллиптических функций. Полагая
\[
u=\frac{4}{\alpha} U+\frac{1}{3 \alpha},
\]

получим:
\[
\left(\frac{d U}{d \vartheta}\right)^{2}=4 U^{3}-g_{2} U-g_{3},
\]

где
\[
g_{2}=\frac{1}{12}-\frac{\alpha^{2} \beta}{4}, \quad g_{3}=\frac{1}{216}+\frac{\alpha^{2} \beta}{24}-\frac{\alpha^{2} k^{2}}{16 c^{2}} .
\]

Интегрируя, находим:
\[
U=\wp(\vartheta+C),
\]

где $C$ – постоянная интегрирования. Таким образом, уравнением траектории, выраженным в координатах $r$ и $\vartheta$, будет:
\[
\frac{\alpha}{4 r}=\frac{1}{12}+\wp(\vartheta+C) .
\]

Среди траекторий, определяемых этим уравнением, мы рассмотрим следующие:
1. Квази-эллиптические траектории. Если $g_{2}$ и $g_{3}$ действительны и дискриминант $\Delta=g_{2}^{3}-27 g_{3}^{2}$ положителен, то все три корня $e_{1}, e_{2}$ и $e_{3}$ вещественны. Мы будем предполагать, что $e_{1}>e_{2}>e_{3}$. Тогда величина
\[
\omega_{1}=\int_{e_{1}}^{\infty} \frac{d z}{\left(4 z^{3}-g_{2} z-g_{3}\right)^{\frac{1}{2}}}
\]

будет действительной, а величина
\[
\omega_{2}=i \int_{-e_{2}}^{\infty} \frac{d z}{\left(4 z^{3}-g_{2} z-g_{3}\right)^{\frac{1}{2}}}
\]

чисто мнимой. При этих условиях для траектории, определяемой уравнением
\[
\frac{\alpha}{4 r}=\frac{1}{12}+\wp\left(\vartheta-\omega_{3}\right)
\]

будем иметь:
\[
\begin{array}{c}
\text { при } \vartheta=0: \frac{\alpha}{4 r}=\frac{1}{12}+e_{3}, \frac{d}{d \vartheta}\left(\frac{1}{r}\right)=0, \frac{d^{2}}{d \vartheta^{2}}\left(\frac{1}{r}\right)<0, \\
\text { при } \vartheta=\omega_{1}: \frac{\alpha}{4 r}=\frac{1}{12}+e_{2}, \frac{d}{d \vartheta}\left(\frac{1}{r}\right)=0, \frac{d^{2}}{d \vartheta^{2}}\left(\frac{1}{r}\right)>0 .
\end{array}
\]

Следовательно, $\vartheta=0$ отвечает перицентру, $\vartheta=\omega_{1}$ – апоцентру, если только величина $\frac{1}{12}+e_{2}$ положительна. Последнее условие, как это нетрудно видеть, эквивалентно условию $c^{2} \beta>k^{2}$. Для полученных таким образом траекторий радиус-вектор колеблется между постоянными конечными пределами $\frac{\alpha}{\frac{1}{3}+4 e_{3}}$ и $\frac{\alpha}{\frac{1}{3}+4 e_{2}}$, так что траектория планеты расположена между двумя концентрическими окружностями с центром в Солнце (рис. 4). Движение планеты в общем сходно с эллиптическим движением по закону Ньютона и отличается от последнего тем, что здесь имеет место вращение линии апсид: между двумя последовательными перицентрами или апоцентрами угол $\vartheta$ возрастает не на $2 \pi$, как в случае движения по закону Ньютона, а на величину $2 \omega_{1}$, отличную от $2 \pi$. Для нашей солнечной системы разность $2 \omega_{1}-2 \pi$ настолько незначительна, что она обнаруживается только у Меркурия.

Очевидно, что эти «квази-эллиптические» траектории, как мы их можем назвать, будут периодическими, если величина $\omega_{1}$, соизмерима $c \pi$. Таким образом, мы получаем $\infty^{2}$ периодических траекторий, имеющих перицентры на линии $\vartheta=0$, или, замечая, что вращение вокруг начала переводит траектории в траектории, мы получаем $\infty^{3}$ периодических траекторий этого класса.
2. Траектории двояко-асимптотические
Рис. 5 $\kappa$ круговым. Допустим теперь, что постоянные $k$ и $\beta$ (зависящие от начальных условий) подобраны таким образом, что дискриминант $\Delta$ равен нулю, так что два из корней $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ равны между собой. Пусть кратный корень равен $e$, так что другой корень равен $-2 e$. Если $е$ положительно, то, полагая $3 e=n^{2}$, легко найдем, что дифференциальное уравнение удовлетворяется при
\[
\frac{\alpha}{4 r}=\frac{1}{12}+\frac{n^{2}}{3}-\frac{n^{3}}{\mathrm{ch}^{2} n \vartheta} .
\]

Здесь имеется апоцентр при $\vartheta=0$, если при этом получается положительное значение для $r$, т. е. если выполняется условие $8 n^{2}<1$.
Последнее условие, как легко видеть, эквивалентно условию $\alpha^{2} \beta>\frac{1}{4}$.
Когда $\vartheta$ стремится $\kappa \pm \infty$, траектория асимптотически приближается к окружности:
\[
\frac{\alpha}{4 r}=\frac{1}{12}+\frac{n^{2}}{3},
\]

расположенной внутри траектории (рис. 5). Когда $n^{2}$ изменяется между 0 и $\frac{1}{8}$, радиус асимптотической окружности изменяется между $3 \alpha$ и $2 \alpha$.

3. Круговые периодические траектории. Если в квази-эллиптической траектории мы положим расстояние от перигелия равным расстоянию до афелия, то мы получим круговую траекторию. В этом случае $e_{2}=e_{3}$, где $e_{2}$ и $e_{3}$ – меньшие корни кубического уравнения, дискриминант $\Delta$ равен нулю и кратный корень отрицателен, следовательно, $\frac{\alpha}{4 r}<\frac{1}{12}$. Радиус круговой траектории, являющейся предельным случаем квази-элиптической траеттории, должен быть больще, чем $3 \alpha$.

Тем не менее могут существовать и такие круговые траектории, для которых $r<3 \alpha$, а именно рассмотренные выше асимптотические окружности. Для них кратный корень кубического уравнения положителен. Круговые траектории, для которых $r<3 \alpha$, неустойчивы; так как существуют траектории, стремящиеся к ним асимптотически.