Мы переходим теперь к преобразованиям, в которых новые переменные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ отличаются от старых переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ на бесконечно малые величины $\Delta q_{1}$, $\Delta q_{2}, \ldots, \Delta q_{n}, \Delta p_{1}, \Delta p_{2}, \ldots, \Delta p_{n}$, где
\[
\left.\begin{array}{l}
\Delta q_{r}=\varphi_{r}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\right) \Delta t, \\
\Delta p_{r}=\psi_{r}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\right) \Delta t
\end{array}\right\} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

а $\Delta$ – произвольная бесконечно малая величина. Имеем, следовательно, в этом случае:
\[
\left.\begin{array}{c}
Q_{r}=q_{r}+\Delta q_{r}=q_{r}+\varphi_{r} \Delta t, \\
P_{r}=p_{r}+\Delta p_{r}=p_{r}+\psi_{r} \Delta t
\end{array}\right\} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

и преобразование определяется функциями $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{n}, \psi_{1}$, $\psi_{2}, \ldots, \psi_{n}$.

Допустим теперь, что это преобразование является контактным. Тогда
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(P_{r} d Q_{r}-p_{r} d q_{r}\right)=d W
\]

где $W$ – некоторая функция от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ или
\[
\sum_{r=1}^{n}\left\{\left(p_{r}+\psi_{r} \Delta t\right)\left(d q_{r}+d \varphi_{r} \Delta t\right)-p_{r} d q_{r}\right\}=d W
\]

или
\[
\Delta t \sum_{r=1}^{n}\left(\psi_{r} d q_{r}+p_{r} d \varphi_{r}\right)=d W .
\]

Очевидно, что функция $W$ содержит величину $\Delta t$ в качестве множителя. Полагая поэтому $W=U \Delta t$ где $U$ – произвольная функция от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, из предыдущего уравнения получим:
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(\psi_{r} d q_{r}+p_{r} d \varphi_{r}\right)=d U .
\]

Отсюда имеем:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{r=1}^{n}\left(\psi_{r} d q_{r}-\varphi_{r} d p_{r}\right)=d\left(U-\sum_{r=1}^{n} p_{r} \varphi_{r}\right)= \\
=-d K\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\right),
\end{array}
\]

следовательно,
\[
\varphi_{r}=\frac{\partial K}{\partial p_{r}}, \quad \psi_{r}=-\frac{\partial K}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Таким образом, самое общее бесконечно малое контактное преобразование определяется уравнениями:
\[
Q_{r}=q_{r}+\frac{\partial K}{\partial p_{r}} \Delta t, \quad P_{r}=p_{r}-\frac{\partial K}{\partial q_{r}} \Delta t \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $K$ – произвольная функция от переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}$, $p_{2}, \ldots, p_{n}$, а $\Delta t$ – произвольная, не зависящая от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}$, $p_{2}, \ldots, p_{n}$, бесконечно малая величина.

Любая функция $f\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\right)$, аргументы которой $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ подвергаются бесконечно малому контактному преобразованию, получает приращение:
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{r}} \frac{\partial K}{\partial p_{r}}-\frac{\partial f}{\partial p_{r}} \frac{\partial K}{\partial q_{r}}\right) \Delta t
\]

или
\[
(f, K) \Delta t \text {. }
\]

На этом основании скобки Пуассона ( $f, K$ ) считают символом самого общего бесконечно малого преобразования бесконечной группы, состоящей из всевозможных контактных преобразований $2 n$ переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$.