Мы переходим теперь к преобразованиям, в которых новые переменные $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n,P_1,P_2,\dots ,P_n$ отличаются от старых переменных $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$ на бесконечно малые величины $\mathrm{\Delta }{q}_1$, $\mathrm{\Delta }{q}_2,\dots ,\mathrm{\Delta }{q}_n,\mathrm{\Delta }{p}_1,\mathrm{\Delta }{p}_2,\dots ,\mathrm{\Delta }{p}_n$, где
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }{q}_r={\phi }_r(q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n)\mathrm{\Delta }t,\\ \mathrm{\Delta }{p}_r={\psi }_r(q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n)\mathrm{\Delta }t\end{array}\}(r=1,2,\dots ,n),$$

а $\mathrm{\Delta }$ — произвольная бесконечно малая величина. Имеем, следовательно, в этом случае:
$$\begin{array}{c}{Q}_r=q_r+\mathrm{\Delta }{q}_r=q_r+{\phi }_r\mathrm{\Delta }t,\\ P_r=p_r+\mathrm{\Delta }{p}_r=p_r+{\psi }_r\mathrm{\Delta }t\end{array}\}(r=1,2,\dots ,n),$$

и преобразование определяется функциями ${\phi }_1,{\phi }_2,\dots ,{\phi }_n,{\psi }_1$, ${\psi }_2,\dots ,{\psi }_n$.

Допустим теперь, что это преобразование является контактным. Тогда
$$\sum _{r=1}^n(P_{r}d{Q}_r-p_{r}d{q}_r)=dW$$

где $W$ — некоторая функция от $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$ или
$$\sum _{r=1}^n\{(p_r+{\psi }_r\mathrm{\Delta }t)(d{q}_r+d{\phi }_r\mathrm{\Delta }t)-p_{r}d{q}_r\}=dW$$

или
$$\mathrm{\Delta }t\sum _{r=1}^n({\psi }_{r}d{q}_r+p_{r}d{\phi }_r)=dW.$$

Очевидно, что функция $W$ содержит величину $\mathrm{\Delta }t$ в качестве множителя. Полагая поэтому $W=U\mathrm{\Delta }t$ где $U$ — произвольная функция от $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$, из предыдущего уравнения получим:
$$\sum _{r=1}^n({\psi }_{r}d{q}_r+p_{r}d{\phi }_r)=dU.$$

Отсюда имеем:
$$\begin{array}{l}\sum _{r=1}^n({\psi }_{r}d{q}_r-{\phi }_{r}d{p}_r)=d(U-\sum _{r=1}^n{p}_r{\phi }_r)=\\ =-dK(q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n),\end{array}$$

следовательно,
$${\phi }_r=\frac{\partial K}{\partial p_r},{\psi }_r=-\frac{\partial K}{\partial q_r}(r=1,2,\dots ,n).$$

Таким образом, самое общее бесконечно малое контактное преобразование определяется уравнениями:
$$Q_r=q_r+\frac{\partial K}{\partial p_r}\mathrm{\Delta }t,P_r=p_r-\frac{\partial K}{\partial q_r}\mathrm{\Delta }t(r=1,2,\dots ,n),$$

где $K$ — произвольная функция от переменных $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1$, $p_2,\dots ,p_n$, а $\mathrm{\Delta }t$ — произвольная, не зависящая от $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1$, $p_2,\dots ,p_n$, бесконечно малая величина.

Любая функция $f(q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n)$, аргументы которой $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$ подвергаются бесконечно малому контактному преобразованию, получает приращение:
$$\sum _{r=1}^n(\frac{\partial f}{\partial q_r}\frac{\partial K}{\partial p_r}-\frac{\partial f}{\partial p_r}\frac{\partial K}{\partial q_r})\mathrm{\Delta }t$$

или
$$(f,K)\mathrm{\Delta }t\text{. }$$

На этом основании скобки Пуассона ( $f,K$ ) считают символом самого общего бесконечно малого преобразования бесконечной группы, состоящей из всевозможных контактных преобразований $2n$ переменных $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$.