Поясним метод, указанный в предыдущем параграфе, на следующем примере.
Рассмотрим динамическую систему, определяемую функцией:
$$\begin{array}{l}H=2q_1{\sin }^2{p}_1+q_2{\sin }^2{p}_2+\frac{1}{2{(1+2q_1^{\frac{1}{2}}\cos p_1+q_1{\cos }^2{p}_1+2q_2{\cos }^2{p}_2)}^2}-\\ -\frac{1+q_1^{\frac{1}{2}}\cos p_1}{{(1+2q_1^{\frac{1}{2}}\cos p_1+q_1{\cos }^2{p}_1+2q_2{\cos }^2{p}_2)}^{\frac{3}{2}}}.\end{array}$$

Разлагая эту функцию по возрастающим степеням $\sqrt{q_1}$ и $\sqrt{q_2}$, мы получим:
$$\begin{array}{rl}H& =2q_1+q_2+q_1^{\frac{3}{2}}(-\frac{9}{2}\cos p_1-\frac{3}{2}\cos 3p_1)+\\ & +q_1^2(\frac{75}{16}+\frac{25}{4}\cos 2p_1+\frac{25}{16}\cos 4p_1)+\\ & +q_1{q}_2\{-3-3\cos 2p_1-3\cos 2p_2-\frac{3}{2}\cos (2p_1+2p_2)-\\ & -\frac{3}{2}\cos (2p_1-2p_2)\}+q_2^2\{-\frac{9}{16}-\frac{3}{4}\cos 2p_2-\frac{3}{16}\cos 4p_2\}+\end{array}$$
$$+\text{ члены пятого и высшего порядков относительно }\sqrt{q_1}\text{ и }\sqrt{q_2}\text{, }$$

и, следовательно, в этом случае $s_1=2,s_2=1$.

Рассуждая так же, как и в конце $\mathrm{\S }$ 196, мы можем предположить, что член наинизшего порядка в родственном интеграле равен просто $q_2$. В таком случае полагаем:
$$\phi =q_2+{\phi }_3+{\phi }_4+{\phi }_5+\cdots ;$$

уравнением для определения ${\phi }_3$ будет:
$$2\frac{\partial {\phi }_2}{\partial p_1}+\frac{\partial {\phi }_3}{\partial p_2}=0$$

из которого согласно § 201 находим:
$${\phi }_3=\alpha q_1^{\frac{1}{2}}{q}_2\cos (p_1-2p_2),$$

где $\alpha$ — произвольная постоянная.
Для ${\phi }_4$ мы получаем уравнение:
$$\begin{array}{rl}2\frac{\partial {\phi }_4}{\partial p_1}+\frac{\partial {\phi }_4}{\partial p_2}& =q_1{q}_2\{(6+\frac{9\alpha }{2})\sin 2p_2+(3+\frac{9\alpha }{4})\sin (2p_1+2p_2)-\\ & -(3+\frac{9\alpha }{4})\sin (2p_1-2p_2)\}+q_2^2(\frac{3}{2}\sin 2p_2+\frac{3}{2}\sin 4p_2),\end{array}$$

интеграл которого есть:
$$\begin{array}{rl}{\phi }_4& =q_1{q}_2\{-(3+\frac{9\alpha }{4})\cos 2p_2-(\frac{1}{2}+\frac{3\alpha }{8})\cos (2p_1+2p_2)+\\ & +(\frac{3}{2}+\frac{9\alpha }{8})\cos (2p_1-2p_2)\}+q_2^2(-\frac{3}{4}\cos 2p_2-\frac{3}{16}\cos 4p_2).\end{array}$$

Уравнение, определяющее ${\phi }_5$, имеет вид:
$$2\frac{\partial {\phi }_5}{\partial p_1}+\frac{\partial {\phi }_5}{\partial p_2}=\frac{\partial H_5}{\partial p_2}+({\phi }_3,H_4)+({\phi }_4,H_3)$$

где, как и раньше, $({\phi }_3,H_4)$ означает выражение:
$$\frac{\partial {\phi }_3}{\partial q_1}\frac{\partial H_4}{\partial p_1}+\frac{\partial {\phi }_3}{\partial q_2}\frac{\partial H_4}{\partial p_2}-\frac{\partial {\phi }_3}{\partial p_1}\frac{\partial H_4}{\partial q_1}-\frac{\partial {\phi }_3}{\partial p_2}\frac{\partial H_4}{\partial q_2}$$

Подберем теперь $\alpha$ таким образом, чтобы уничтожить в правой части этого уравнения коэффициент при $\sin (p_1-2p_2)$. Этот коэффициент равен:
$$\begin{array}{rr}\left(\text{ из }\frac{\partial H_5}{\partial p_2}\right)& \frac{39}{2}{q}_1^{\frac{3}{2}}{q}_2\sin (p_1-2p_2),\\ \left(\text{ из }({\phi }_4,H_3)\right)& -\frac{45}{2}(1+\frac{3\alpha }{4})q_1^{\frac{3}{2}}{q}_2\sin (p_1-2p_2),\\ \text{ (из }({\phi }_3,H_4))& +\frac{123}{8}\alpha q_1^{\frac{3}{2}}{q}_2\sin (p_1-2p_2).\end{array}$$

Поэтому $\alpha$ должно удовлетворять уравнению:
$$\frac{39}{2}-\frac{45}{2}(1+\frac{3\alpha }{4})+\frac{123}{8}\alpha =0,$$

из которого находим:
$$\alpha =-2.$$

После подстановки этого значения $\alpha$ в ${\phi }_3$ и ${\phi }_4$ наш интеграл примет вид:
$$\begin{array}{l}\text{ const }=q_2-2q_1^{\frac{1}{2}}{q}_2\cos (p_1-2p_2)+\\ +q_1{q}_2\{\frac{3}{2}\cos 2p_2+\frac{1}{4}\cos (2p_1+2p_2)-\frac{3}{4}\cos (2p_1-2p_2)\}+\\ +q_2^2(-\frac{3}{4}\cos 2p_2-\frac{3}{16}\cos 4p_2)+\end{array}$$
+ члены пятого и высшего порядков относительно $\sqrt{q_1}$ и $\sqrt{q_2}$.
Легко убедиться простым дифференцированием, что рассматриваемая динамическая система допускает интеграл:
$$\begin{array}{rl}\text{ const }& =\frac{1}{2}\{\sqrt{2q_2}\sin p_2+\\ & {+q_1^{\frac{1}{2}}\sqrt{2q_2}\cos p_1\sin p_2-2\sqrt{2q_1{q}_2}\sin p_1\cos p_2\}}^2-\\ & -\frac{1+q_1^{\frac{1}{2}}\cos p_1}{{(1+2q_1^{\frac{1}{2}}\cos p_1+q_1{\cos }^2{p}_1+2q_2{\cos }^2{p}_2)}^{\frac{1}{2}}}\end{array}$$

Этот интеграл является родственным, в чем можно убедиться, находя полное решение или, проще, замечая, что интеграл (5) представляет собой однозначную функцию от $\sqrt{q_1},\sqrt{q_2},p_1,p_2$, не имеющую особых точек внутри некоторой области, и поэтому соответствующее этому интегралу бесконечно малое преобразование, будучи однозначным и свободным от особых точек, преобразует замкнутые траектории в замкнутые.

Но, разлагая интеграл (5) по возрастающим степеням величин $\sqrt{q_1}$ $и\sqrt{q_2}$, мы получим ряд (4). Это показывает, что для рассматриваемой динамической системы метод предыдущего параграфа приводит к ряду, сходящемуся при всех значениях $p_1$ и $p_2$, до тех пор пока $\left|q_1\right|u\left|q_2\right|$ не превосходят некоторых определенных значений, и что этот ряд представляет родственный интеграл динамической системы.