Рассмотрим теперь движение точки, притягиваемой одновременно несколькими центрами. Бесконечное множество задач этого типа решается с помощью следующей теоремы Бонне (Bonnet) ${ }^{1}$ :

Если заданная траектория может быть описана точкой под действием каждого отдельного из п заданных силовых полей, причем скорости в произвольной точке $P$ этой траектории будут соответственно $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}$, то та же траектория может описываться точкой под действием поля, наложенного из $P$ заданных полей; при этом скорость в точке $P$ будет равна $\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$.

Для того чтобы материальная точка двигалась по наперед заданной траектории, мы предполагаем, что в суммарном поле сил должна существовать некоторая добавочная сила $R$, перпендикулярная к этой траектории.

Пусть $A$ – некоторая точка траектории такого рода, что для нее квадрат скорости движущейся точки равен сумме квадратов скоростей, которые она имела бы в точке $A$ при отдельных силовых полях. Если взять уравнения энергии изучаемого движения и всех $n$ отдельных движений, то легко заметить, что кинетическая энергия первого равна сумме кинетических энергий отдельных движений. Это означает,

${ }^{1}$ Journ. de math., т. 9, стр. 43, 1844 и примечание IV тома II последнего издания «Mec. Anal.» Лагранжа (Oeuvres de Lagrange, т. XII, стр. 353).

что скорость произвольной точки $P$ равна $\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$. Поэтому составляющая силы по нормали к траектории будет:
\[
m \frac{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}}{\rho}=F_{1}+F_{2}+\cdots+F_{n}+R,
\]

где $m$ означает массу точки, $\rho$ – радиус кривизны траектории, а $F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}$ – нормальные компоненты сил отдельных полей в точке $P$. Но так как
\[
\frac{m v_{1}^{2}}{\rho}=F_{1}, \quad \frac{m v_{2}^{2}}{\rho}=F_{2}, \ldots, \quad \frac{m v_{n}^{2}}{\rho}=F_{n},
\]

то добавочная сила $R=0$.
Следовательно, данная траектория есть возможная траектория суммарного поля, получающегося от наложения отдельных полей.
ЗАДАчА 1. Показать, что материальная точка может описывать эллипс, если в направлении его фокусов на нее действуют силы:
\[
\mu \frac{r^{3}+8 a^{3}}{8 a^{3} r^{2}} \quad \text { и } \mu \frac{r^{\prime 3}+8 a^{3}}{8 a^{3} r^{\prime 2}} .
\]

Это непосредственно следует из теоремы Бонне, если принять во внимание, что заданные силы эквивалентны каждая двум силам, одна из которых равна:
\[
\frac{\mu}{4 a^{3}} \times \text { расстояние до центра эллипса, а другие } \frac{\mu}{r^{2}} \text { и } \frac{\mu}{r^{\prime 2}} .
\]