Предыдущие результаты дают возможность доказать теорему Ли ${ }^{1}$ и Кёнигса ${ }^{2}$ о приведении системы обыкновенных дифференциальных уравнений к форме Гамильтона.
Пусть
\[
\frac{d x_{r}}{d t}=X_{r} \quad(r=1,2, \ldots, k)
\]
есть данная система дифференциальных уравнений, а
\[
\int\left(\xi_{1} \delta x_{1}+\xi_{2} \delta x_{2}+\cdots+\xi_{k} \delta x_{k}\right)
\]
(где $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{k}$ – данные функции переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$ ) один из ее абсолютных или относительных интегральных инвариантов первого порядка. В предыдущем параграфе мы видели, что существует бесчисленное множество такого рода интегральных инвариантов.
Допустим, что дифференциальная форма
\[
\xi_{1} \delta x_{1}+\xi_{2} \delta x_{2}+\cdots+\xi_{k} \delta x_{k}
\]
приведена к каноническому виду
\[
p_{1} \delta q_{1}+p_{2} \delta q_{2}+\cdots+p_{n} \delta q_{n}-\delta \Omega,
\]
где $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \Omega$ суть независимые функции величин $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$, причем $n \leqslant k$; при этом $\Omega$ может быть равной нулю ${ }^{3}$. Пусть, далее, $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{k-2 n}$ есть вторая система функций от $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$, так что вместе с $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ она образует $k$ независимых функций от $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$. Допустим, что система дифференциальных уравнений введением этих $k$ новых величин в качестве независимых переменных приведена к виду:
\[
\begin{array}{rlrl}
\frac{d q_{r}}{d t} & =Q_{r}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=P_{r} & & (r=1,2, \ldots, n), \\
\frac{d u_{s}}{d t}=U_{s} & & (s=1,2, \ldots, k-2 n),
\end{array}
\]
где $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{k-2 n}$ суть некоторые функции новых переменных.
Выражение
\[
\int\left(p_{1} \delta q_{1}+p_{2} \delta q_{2}+\cdots+p_{n} \delta q_{n}\right)
\]
будет интегральным инвариантом для новой системы (абсолютным или относительным), так как при преобразованиях, подобных тем, которые
${ }^{1}$ Archiv for Math. og Natur., т. 2, стр. 10, 1877.
${ }^{2}$ Comptes Rendus, т. 121, стр. 875, 1895
3 Доказательство возможности такого приведения (требующего в общем случае интегрирования некоторого числа обыкновенных дифференциальных уравнений) можно найти в любом руководстве по проблеме Пфаффа.
мы произвели, свойство инвариантности не нарушается. Отсюда следует (§116), что первые $2 n$ уравнений имеют вид:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]
где $H$ – некоторая функция, зависящая только от величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t$. Данная система дифференциальных уравнений привелась, таким образом, к системе $2 n$-го порядка Гамильтона и к $k-2 n$ дополнительным уравнениям:
\[
\frac{d u_{s}}{d t}=U_{s} \quad(s=1,2, \ldots, k-2 n) .
\]
