Одной из важнейших задач динамики системы с тремя степенями свободы является определение движения твердого тела, имеющего закрепленную точку $O$ и на которое не действуют никакие внешние силы ${ }^{1}$. К этой задаче приводится, например, определение движения твердого тела вокруг своего центра тяжести, когда все силы, действующие на тело, приводятся к одной результирующей, проходящей через центр тяжести.

В такой системе момент количества движения относительно любой неподвижной прямой, проходящей через точку опоры, остается постоянным ( $\S 40$ ). Отсюда следует, что прямая, относительно которой момент количества движения имеет наибольшее значение, не изменяет своего направления в пространстве. Эту так называемую неизменяемую прямую мы примем за ось $O Z$. За оси $O X$ и $O Y$ мы примем две какиенибудь другие прямые, выходящие из точки опоры и образующие вместе с $O Z$ прямоугольный триэдр. Моменты количества движения относительно осей $O X$ и $O Y$ равны нулю; ибо в противном случае результирующей моментов количества движения относительно осей $O X, O Y$
${ }^{1}$ Euler, Memoires de Berlin, 1758. Эллиптические функции к решению задачи впервые применил Руэб (Rueb, Specimen inaugural. Utrecht, 1834); решение дополнено Якоби (Journal f. Math., т. 39, стр. 293, 1849).

и $O Z$ соответствовала бы прямая, относительно которой момент количества движения был бы больше момента, взятого по отношению к $O Z$, что противоречит условию. Отсюда согласно $\S 39$ момент количества движения относительно произвольной прямой, выходящей из $O$ и образующей с $O Z$ угол $\vartheta$, равен $d \cos \vartheta$, если $d$ означает момент количества движения относительно $O Z$.

Положение твердого тела будет известно для всякого момента времени $t$, если будут известны мгновенные положения трех главных осей инерции, соответствующих точке $O$. Эти три оси мы примем за оси подвижной системы координат $O x y z$, движущейся вместе с телом. Обозначим через $\vartheta, \varphi, \psi$ углы Эйлера, определяющие положение осей $O x y z$ по отношению к осям $O X Y Z$. Через $A, B$ и $C$ обозначим главные моменты инерции тела относительно $O$, причем $A>B>C$. И, наконец, обозначим через $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ угловые скорости системы относительно осей $O x, O y$ и $O z$. Тогда согласно $\S 10$ и $\S 62$ будут иметь место следующие уравнения:
\[
\begin{array}{l}
A \omega_{1}=-d \sin \vartheta \cos \psi, \\
B \omega_{2}=d \sin \vartheta \cos \psi, \\
C \omega_{3}=d \cos \vartheta
\end{array}
\]

или (§ 16$)$ :
\[
\begin{aligned}
\dot{\vartheta} \sin \psi-\dot{\varphi} \sin \vartheta \cos \psi & =-\frac{d}{A} \sin \vartheta \cos \psi, \\
\dot{\vartheta} \cos \psi+\dot{\varphi} \sin \vartheta \sin \psi & =\frac{d}{B} \sin \vartheta \sin \psi, \\
\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta & =\frac{d}{C} \cos \vartheta
\end{aligned}
\]

Этими тремя уравнениями определяются три интеграла уравнений движения системы. Они содержат только одну произвольную постоянную $d$, так как вследствие специального выбора системы координат обе другие постоянные интегрирования обращаются в нуль. Полученными уравнениями мы воспользуемся вместо уравнений Лагранжа для определения $\vartheta, \varphi$ и $\psi$.
Разрешая эти уравнения относительно $\dot{\vartheta}, \dot{\varphi}$ и $\dot{\psi}$, получим:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\vartheta}=\frac{(A-B) d}{A B} \sin \vartheta \cos \psi \sin \psi, \\
\dot{\varphi}=\frac{d}{A} \cos ^{2} \psi+\frac{d}{B} \sin ^{2} \psi, \\
\dot{\psi}=\left(\frac{d}{C}-\frac{d}{A} \cos ^{2} \psi-\frac{d}{B} \sin ^{2} \psi\right) \cos \vartheta
\end{array}
\]

На основании § 63 интеграл энергии (являющийся следствием этих трех уравнений) может быть написан сразу. Он имеет вид:
\[
A \omega_{1}^{2}+B \omega_{2}^{2}+C \omega_{3}^{2}=c,
\]

где $c$ – постоянная. Заменяя в нем величины $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ их выражениями через $\vartheta$ и $\psi$, мы его можем представить либо в виде:
\[
\frac{A-B}{A B} \sin ^{2} \vartheta \cos ^{2} \psi=-\frac{B c-d^{2}}{B d^{2}}+\frac{B-C}{B C} \cos ^{2} \vartheta,
\]

либо в виде:
\[
\frac{A-B}{A B} \sin ^{2} \vartheta \sin ^{2} \psi=\frac{A c-d^{2}}{A d^{2}}-\frac{A-C}{A C} \cos ^{2} \vartheta .
\]

Так как $A>B>C$, то величина $c A-d^{2}=B(A-B) \omega_{2}^{2}+C(A-C) \omega_{3}^{2}$ будет положительной, а $c C-d^{2}$ – отрицательной. Величина $B c-d^{2}$ может быть как положительной, так и отрицательной; мы будем предполагать, что она положительна.

При помощи последних равенств первое из трех дифференциальных уравнений может быть написано следующим образом:
\[
\frac{d}{d t}(\cos \vartheta)=-d\left\{-\frac{B c-d^{2}}{B d^{2}}+\frac{B-C}{B C} \cos ^{2} \vartheta\right\}^{\frac{1}{2}}\left\{\frac{A c-d^{2}}{A d^{2}}-\frac{A-C}{A C} \cos ^{2} \vartheta\right\}^{\frac{1}{2}} .
\]

Этим уравнением $\cos \vartheta$ определяется как одна из якобиевых эллиптических функций ${ }^{1}$ от некоторой линейной функции от $t$. Оба предыдущих уравнения показывают, что $\sin \vartheta \cos \psi$ и $\sin \vartheta \sin \psi$ являются двумя другими функциями Якоби.
Поэтому полагаем:
\[
\sin \vartheta \cos \psi=P \operatorname{cn} u, \quad \sin \vartheta \sin \psi=Q \operatorname{sn} u, \quad \cos \vartheta=R \operatorname{dn} u,
\]

где $P, Q, R$ – постоянные, а $u$ – некоторая линейная функция от $t$, т. е. $u=\lambda t+\varepsilon$. Величины $P, Q, R, \lambda$ и модуль $k$ эллиптических функций должны быть выбраны таким образом, чтобы предыдущие уравнения совпадали со следующими:
\[
\begin{array}{l}
k^{2} \operatorname{cn}^{2} u=-k^{2}+\operatorname{dn}^{2} u, \\
k^{2} \operatorname{sn}^{2} u=1-\operatorname{dn}^{2} u, \\
\frac{d}{d u} \operatorname{dn} u=-k^{2} \operatorname{sn} u \operatorname{cn} u .
\end{array}
\]
${ }^{1}$ Относительно теории эллиптических функций см. Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, гл. 20-22.

Сравнения коэффициентов дает:
\[
\begin{array}{c}
P^{2}=\frac{A\left(d^{2}-c C\right)}{d^{2}(A-C)}, \quad Q^{2}=\frac{B\left(d^{2}-c C\right)}{d^{2}(B-C)}, \quad R^{2}=\frac{C\left(c A-d^{2}\right)}{d^{2}(A-C)}, \\
k^{2}=\frac{(A-B)\left(d^{2}-c C\right)}{(B-C)\left(A c-d^{2}\right)}, \quad \lambda^{2}=\frac{(B-C)\left(c A-d^{2}\right)}{A B C} .
\end{array}
\]

Уравнение для $k^{2}$ показывает, что $k$-вещественно, а уравнения
\[
1-k^{2}=\frac{(A-C)\left(B c-d^{2}\right)}{(B-C)\left(A c-d^{2}\right)},
\]

что $1-k^{2}>0$, т. е. $k<1$. Очевидно, что величины $P, Q, R$ и $\lambda$ будут также вещественны.

Определим теперь вещественную величину $a$ из одновременно выполняющихся уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\text { sn } i a=\left\{\frac{C\left(A c-d^{2}\right)}{A\left(d^{2}-c C\right)}\right\}^{\frac{1}{2}}, \quad \operatorname{cn} i a=\left\{\frac{d^{2}(A-C)}{A\left(d^{2}-c C\right)}\right\}^{\frac{1}{2}}, \\
\operatorname{dn} i a=\left\{\frac{B(A-C)}{A(B-C)}\right\}^{\frac{1}{2}} .
\end{array}
\]

Так как
\[
k^{\prime-\frac{1}{2}} \operatorname{dn} i a=\frac{\vartheta_{00}\left(\frac{i a}{2 K}\right)}{\vartheta_{01}\left(\frac{i a}{2 K}\right)},
\]

где $\vartheta$-функции определяются разложениями:
\[
\begin{array}{l}
\vartheta_{00}(
u)=1+2 q \cos 2 \pi
u+2 q^{4} \cos 4 \pi
u+2 q^{9} \cos 6 \pi
u+\cdots, \\
\vartheta_{01}(
u)=1-2 q \cos 2 \pi
u+2 q^{4} \cos 4 \pi
u-2 q^{9} \cos 6 \pi
u+\cdots, \\
\vartheta_{10}(
u)=2 q^{\frac{1}{4}} \cos \pi
u+2 q^{\frac{9}{4}} \cos 3 \pi
u+2 q^{\frac{25}{4}} \cos 5 \pi
u+\cdots, \\
\vartheta_{11}(
u)=2 q^{\frac{1}{4}} \sin \pi
u-2 q^{\frac{9}{4}} \sin 3 \pi
u+2 q^{\frac{25}{4}} \sin 5 \pi
u+\cdots
\end{array}
\]

и $q=e^{-\frac{\pi K^{\prime}}{K}}$ то имеем:
\[
\frac{1+2 q \operatorname{ch} 2 \gamma+2 q^{4} \operatorname{ch} 4 \gamma+\cdots}{1-2 q \operatorname{ch} 2 \gamma+2 q^{4} \operatorname{ch} 4 \gamma+\cdots}=\left(K^{\prime}\right)^{-\frac{1}{2}}\left\{\frac{B(A-C)}{A(B-C)}\right\}^{\frac{1}{2}},
\]

где $\gamma=\frac{\pi a}{2 K}$. Из этого уравнения $\gamma$ (а следовательно, и $a$ ) может быть вычислена последовательными приближениями.

Эйлеровы углы $\vartheta, \psi$ для момента времени $t$ определятся теперь уравнениями:
\[
\begin{aligned}
\sin \vartheta \cos \psi & =\frac{\operatorname{cn}(\lambda t+\varepsilon)}{\operatorname{cn} i a}, \\
\sin \vartheta \sin \psi & =\frac{\operatorname{dn} i a \operatorname{sn}(\lambda t+\varepsilon)}{\operatorname{cn} i a}, \\
\cos \vartheta & =\frac{\operatorname{sn} i a \operatorname{dn}(\lambda t+\varepsilon)}{i \operatorname{cn} i a}
\end{aligned}
\]

или (опуская $\varepsilon$ ):
\[
\begin{array}{l}
\sin \vartheta \cos \psi= \frac{\vartheta_{01}\left(\frac{i a}{2 K}\right) \vartheta_{10}\left(\frac{\lambda t}{2 K}\right)}{\vartheta_{10}\left(\frac{i a}{2 K}\right) \vartheta_{01}\left(\frac{\lambda t}{2 K}\right)}, \\
\sin \vartheta \sin \psi= \frac{\vartheta_{00}\left(\frac{i a}{2 K}\right) \vartheta_{11}\left(\frac{\lambda t}{2 K}\right)}{\vartheta_{10}\left(\frac{i a}{2 K}\right) \vartheta_{01}\left(\frac{\lambda t}{2 K}\right)} \\
\cos \vartheta=\frac{\vartheta_{11}\left(\frac{i a}{2 K}\right) \vartheta_{00}\left(\frac{\lambda t}{2 K}\right)}{\vartheta_{10}\left(\frac{i a}{2 K}\right) \vartheta_{01}\left(\frac{\lambda t}{2 K}\right)} .
\end{array}
\]

Модуль $k$ эллиптических функций известен. Поэтому параметр $q$ $\vartheta$-функций может быть определен уравнением:
\[
q=\frac{k^{2}}{16}+\frac{k^{4}}{32}+\frac{21 k^{6}}{1024}+\cdots
\]

или быстрее сходящимся рядом:
\[
q=\frac{1}{2} \operatorname{tg}^{2} \beta+\frac{1}{16} \operatorname{tg}^{10} \beta+\frac{15}{512} \operatorname{tg}^{18} \beta+\cdots,
\]

где $\cos \beta=k^{\frac{1}{2}}$. Величина $K$ может быть вычислена из ряда:
\[
\left(\frac{2 K}{\pi}\right)^{\frac{1}{2}}=\vartheta_{00}=1+2 q+2 q^{4}+2 q^{9}+\cdots
\]

Таким образом, период $\frac{4 K}{\lambda}$ наклона осей $O x y z$ относительно прямой $O Z$ определен.
Полагая теперь $\frac{\pi a}{2 K}=\gamma$ и $\frac{\pi \lambda}{2 K}=\mu$, будем иметь:
\[
\begin{aligned}
\sin \vartheta \cos \psi & =\frac{\left(1-2 q \operatorname{ch} 2 \gamma+2 q^{4} \operatorname{ch} 4 \gamma-\cdots\right)\left(\cos \mu t+q^{2} \cos 3 \mu t+\cdots\right)}{\left(\operatorname{ch} \gamma+q^{2} \operatorname{ch} 3 \gamma+\cdots\right)\left(1-2 q \cos 2 \mu t+2 q^{4} \cos 4 \mu t+\cdots\right)}, \\
\sin \vartheta \sin \psi & =\frac{\left(1+2 q \operatorname{ch} 2 \gamma+2 q^{4} \operatorname{ch} 4 \gamma+\cdots\right)\left(\sin \mu t-q^{2} \sin 3 \mu t+\cdots\right)}{\left(\operatorname{ch} \gamma+q^{2} \operatorname{ch} 3 \gamma+\cdots\right)\left(1-2 q \cos 2 \mu t+2 q^{4} \cos 4 \mu t+\cdots\right)}, \\
\cos \vartheta & =\frac{\left(\operatorname{sh} \gamma-q^{2} \operatorname{sh} 3 \gamma+\cdots\right)\left(1+2 q \cos 2 \mu t+2 q^{4} \cos 4 \mu t+\cdots\right)}{\left(\operatorname{ch} \gamma+q^{2} \operatorname{ch} 3 \gamma+\cdots\right)\left(1-2 q \cos 2 \mu t+2 q^{4} \cos 4 \mu t+\cdots\right)} .
\end{aligned}
\]

Величины $q, \mu$ и $\gamma$ могут быть рассматриваемы как постоянные, характеризующие движение.
ЗАДАчА. Тело является однородным эллипсоидом, плотность которого равна единице, с полуосями:
\[
a=1, \quad b=2, \quad c=3 .
\]

Три главных момента инерции суть:
\[
A=\frac{4}{15} \pi a b c\left(b^{2}+c^{2}\right)=20,8 \pi, \quad B=16 \pi, \quad C=8 \pi .
\]

Пусть начальные угловые скорости будут:
\[
\omega_{1}=\frac{1}{4}, \quad \omega_{2}=\frac{1}{2}, \quad \omega_{3}=1 .
\]

Тогда постоянной энергии будет:
\[
c=A \omega_{1}^{2}+B \omega_{2}^{2}+C \omega_{3}^{2}=13,3 \pi,
\]

а постоннная момента количества движения определится равенством:
\[
d^{2}=A^{2} \omega_{1}^{2}+B^{2} \omega_{2}^{2}+C^{2} \omega_{3}^{2}=155,04 \pi^{2},
\]

так что
\[
d=12,452 \pi, A c-d^{2}=121,60 \pi^{2}, B c-d^{2}=57,76 \pi^{2}, d^{2}-c C=48,64 \pi^{2} .
\]

Модуль эллиптических функций определяется равенством:
\[
k^{2}=\frac{(A-B)\left(d^{2}-c C\right)}{(B-C)\left(A c-d^{2}\right)}=0,240 .
\]

Отсюда
\[
\begin{array}{c}
k^{\prime 2}=1-k^{2}=0,760 \\
q=\frac{1}{2} \frac{1-k^{\prime \frac{1}{2}}}{1+k^{\prime \frac{1}{2}}}+2\left\{\frac{1}{2} \frac{1-k^{\frac{1}{2}}}{1+k^{\frac{1}{2}}}\right\}^{5}+\cdots=0,0171 \\
\left(\frac{2 K}{\pi}\right)^{\frac{1}{2}}=1+2 q+2 q^{4}+2 q^{9}+\cdots=1,0342 \\
K=1,68013 \\
K^{\prime}=-\frac{K}{\pi} \ln q=2,176 .
\end{array}
\]

следовательно,
\[
K=1,68013 \text {, }
\]

Далее,
\[
\lambda^{2}=\frac{(B-C)\left(A c-d^{2}\right)}{A B C}=0,3654,
\]

следовательно,
\[
\lambda=0,6045
\]

и
\[
\mu=\frac{\pi \lambda}{2 K}=0,5651
\]

Период углов $\vartheta$ и $\psi$ есть $\frac{4 K}{\lambda}=\frac{2 \pi}{\mu}=11,118$.
Для разложения $\vartheta$ и $\psi$ в тригонометрические ряды нам необходимо определить $\gamma$. Для этой цели воспользуемся соотношением:
\[
\frac{B(A-C)}{A(B-C)}=1,2308,
\]
T. e.
\[
\left\{\frac{B(A-C)}{A(B-C)}\right\}^{\frac{1}{2}}=1,1094 .
\]

И поэтому, пренебрегая $q^{4}$, будем иметь:
\[
\frac{1+2 q \operatorname{ch} 2 \gamma}{1-2 q \operatorname{ch} 2 \gamma}=\frac{1,1094}{0,9337} .
\]

Отсюда следует:
\[
\begin{aligned}
\operatorname{ch} 2 \gamma & =2,503, \\
2 \gamma & =1,568, \\
\gamma & =0,784 .
\end{aligned}
\]

Величина $a$ определится теперь из равенства:
\[
a=\frac{2 K}{\pi} \gamma=0,8385 .
\]

Для предельного случая $A=B$ модуль $k$ делается равным нулю. Эллиптические функции переходят, следовательно, в круговые, и решение может быть написано следующим образом:
\[
\sin \vartheta \cos \psi=\frac{\cos \lambda t}{\operatorname{ch} a}, \quad \sin \vartheta \sin \psi=\frac{\sin \lambda t}{\operatorname{ch} a}, \quad \cos \vartheta=\operatorname{th} a,
\]

где
\[
\lambda=\left\{\frac{(A-C)\left(A c-d^{2}\right)}{A^{2} C}\right\}^{\frac{1}{2}}, \operatorname{sh} a=\left\{\frac{C\left(A c-d^{2}\right)}{A\left(d^{2}-c C\right)}\right\}^{\frac{1}{2}}, \operatorname{ch} a=\left\{\frac{d^{2}(A-C)}{A\left(d^{2}-c C\right)}\right\}^{\frac{1}{2}} .
\]

Движение, следовательно, складывается из равномерной прецессии относительно неизменяемой прямой $O Z$ и вращения тела вокруг собственной оси симметрии $O z$.

Другой предельный случай представится тогда, когда $d^{2}=c B$ и, следовательно, $k^{2}=1$. В этом случае эллиптические функции переходят в гиперболические. Это иллюстрируется следующими примерами.

Задачд 1. Твердое тело движется по инерции вокруг неподвижной точки. Поназать, что если $d^{2}=B c$ и при $t=0 \omega_{1}$ и $\omega_{3}$ положительны, а $\omega_{2}=0$, то для всякого значения времени $t$ направляющие косинусы оси $B$ относительно первоначального направления главных осей равны соответственно:
\[
\alpha \operatorname{th} \chi-\frac{\gamma \sin \mu}{\operatorname{ch} \chi}, \frac{\cos \mu}{\operatorname{ch} \chi}, \quad \gamma \operatorname{th} \chi+\frac{\alpha \sin \mu}{\operatorname{ch} \chi},
\]

где
\[
\mu=\frac{d t}{B}, \chi=\frac{d t}{B}\left\{\frac{(A-B)(B-C)}{A C}\right\}^{\frac{1}{2}}, \alpha=\left\{\frac{A(B-C)}{B(A-C)}\right\}^{\frac{1}{2}}, \gamma=\left\{\frac{C(A-B)}{B(A-C)}\right\}^{\frac{1}{2}} .
\]

Для доказательства заметим, что при $B c=d^{2}$ координата $\vartheta$ удовлетворяет дифференциальному уравнению:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{\cos \vartheta}\right)=d\left(\frac{B-C}{B C}\right)^{\frac{1}{2}}\left\{\frac{A c-d^{2}}{A d^{2}} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} \vartheta}-\frac{A-C}{A C}\right\}^{\frac{1}{2}},
\]

допускающему интеграл
\[
\cos \vartheta=\frac{\gamma}{\operatorname{ch} \chi},
\]

где $\gamma$ и $\chi$ имеют вышеопределенные значения. Уравнение
\[
\frac{A-B}{A B} \sin ^{2} \vartheta \sin ^{2} \psi=\frac{A c-d^{2}}{A d^{2}}-\frac{A-C}{A C} \cos ^{2} \vartheta
\]

дает тогда:
\[
\sin \vartheta \sin \psi=\operatorname{th} \chi
\]

и уравнение
\[
\dot{\varphi}=\frac{d}{A} \cos ^{2} \psi+\frac{d}{B} \sin ^{2} \psi
\]

дает:
\[
\sin (\varphi-\mu)=-\gamma \sin \psi
\]

Эти уравнения показывают, что направляющие косинусы оси $B$ относительно осей $O X Y Z$, т. е. (§10) величины:
\[
-\cos \varphi \cos \vartheta \sin \psi-\sin \varphi \cos \psi, \quad-\sin \varphi \cos \vartheta \sin \psi+\cos \varphi \cos \psi, \quad \sin \vartheta \sin \psi
\]

равны соответственно:
\[
-\frac{\sin \mu}{\operatorname{ch} \chi}, \frac{\cos \mu}{\operatorname{ch} \chi}, \quad \text { th } \chi .
\]

Пусть $\omega_{10}, \omega_{20}, \omega_{30}$ означают первоначальные направления главных осей. Так как
\[
A^{2} \omega_{1}^{2}+C^{2} \omega_{3}^{2}=d^{2}=B c=B\left(A \omega_{1}^{2}+C \omega_{3}^{2}\right)
\]

и, следовательно,
\[
A \omega_{1}=\alpha d, \quad C \omega_{3}=\gamma d,
\]

то для направляющих косинусов направлений $\omega_{10}, \omega_{20}, \omega_{30}$ относительно $O X Y Z$ имеет место следующая схема:

Поэтому направляющие косинусы оси $B$ относительно $\omega_{10}, \omega_{20}, \omega_{30}$ равны:
\[
-\frac{\gamma \sin \mu}{\operatorname{ch} \chi}+\alpha \operatorname{th} \chi, \quad \frac{\cos \mu}{\operatorname{ch} \chi}, \quad \frac{\alpha \sin \mu}{\operatorname{ch} \chi}+\gamma \operatorname{th} \chi .
\]

ЗАдАчА 2. Показать, что при $d^{2}=B C$ ось $O y$ описывает на шаре, с центром в закрепленной точке, локсодрому относительно меридиана, проходящего через неизменяемую прямую.

Возвращаясь снова к общему случаю, дадим выражение третьего угла Эйлера $\varphi$ как функции от времени. Имеем:
\[
\dot{\varphi}=\frac{d}{A}+d\left(\frac{1}{B}-\frac{1}{A}\right) \sin ^{2} \psi .
\]

Ho
\[
\operatorname{ctg} \psi=\frac{\operatorname{cn} \lambda t}{\operatorname{dn} i a \operatorname{sn} \lambda t}
\]

откуда следует:
\[
\sin ^{2} \psi=\frac{\mathrm{dn}^{2} i a \operatorname{sn}^{2} \lambda t}{1-k^{2} \operatorname{sn}^{2} i a \operatorname{sn}^{2} \lambda t} .
\]

Эта функция обращается в нуль при $t=0$ и имеет полюсы при нулевых значениях знаменателя, т. е. в точках, для которых
\[
\operatorname{sn} \lambda t= \pm \frac{1}{k \operatorname{sn} i a}= \pm \operatorname{sn}\left(i a \pm i K^{\prime}\right) .
\]

Поэтому в параллелограмме периодов $\left(2 K, 2 i K^{\prime}\right)$ эта функция имеет полюсы в точках
\[
\lambda t=i a+i K^{\prime} \quad \text { и } \quad \lambda t=-i a+i K^{\prime} .
\]

В окрестности первого полюса имеем $\lambda t=i a+i K^{\prime}+\varepsilon$ и, пренебрегая высшими степенями $\varepsilon$, имеем:
\[
\sin ^{2} \psi=\frac{\frac{\operatorname{dn}^{2} i a}{k^{2} \operatorname{sn}^{2} i a}}{1-\left\{\frac{\operatorname{sn}^{2} i a}{\operatorname{sn}^{2}(i a+\varepsilon)}\right\}}=\frac{\mathrm{dn}^{2} i a}{k^{2} \operatorname{sn}^{2} i a+2 \varepsilon k^{2} \operatorname{sn} i a \operatorname{cn} i a \operatorname{dn} i a-k^{2} \operatorname{sn}^{2} i a} .
\]

Отсюда вычет функции $d\left(\frac{1}{B}-\frac{1}{A}\right) \sin ^{2} \psi$ (рассматриваемой как функция от $\lambda t$ ) для этого полюса равен:
\[
\frac{1}{2 i}\left\{\frac{(B-C)\left(A c-d^{2}\right)}{A B C}\right\}^{\frac{1}{2}} \text { или } \frac{\lambda}{2 i} .
\]

Поэтому, если рассматривать как переменную $\frac{\lambda t}{2 K}$, то вычет равен $\frac{-i \lambda}{4 K}$. Так как теперь для нашей функции известны нули, полюсы и вычеты, то мы ее можем представить как сумму логарифмических производных $\vartheta$-функций. А именно, так как $\vartheta_{01}(v)$ имеет простой нуль, при $v=\frac{1}{2} \omega=\frac{i K^{\prime}}{2 K}$, то
\[
\dot{\varphi}=\frac{d}{A}-\frac{i \lambda}{4 K}\left\{\frac{\vartheta_{01}^{\prime}\left(\frac{\lambda t-i a}{2 K}\right)}{\vartheta_{01}\left(\frac{\lambda t-i a}{2 K}\right)}-\frac{\vartheta_{01}^{\prime}\left(\frac{\lambda t+i a}{2 K}\right)}{\vartheta_{01}\left(\frac{\lambda t+i a}{2 K}\right)}+2 \frac{\vartheta_{01}^{\prime}\left(\frac{i a}{2 K}\right)}{\vartheta_{01}\left(\frac{i a}{2 K}\right)}\right\}
\]

и поэтому
\[
e^{2 i \varphi}=\mathrm{const} \frac{\vartheta_{01}\left(\frac{\lambda t-i a}{2 K}\right)}{\vartheta_{01}\left(\frac{\lambda t+i a}{2 K}\right)} \cdot e^{\left\{\frac{2 i d}{A}+\frac{\lambda}{K} \frac{\vartheta_{01}^{\prime}\left(\frac{i a}{2 K}\right)}{\vartheta_{01}\left(\frac{i a}{2 K}\right)}\right\}} .
\]

Но величина $\frac{\vartheta_{01}\left(\frac{\lambda t-i a}{2 K}\right)}{\vartheta_{01}\left(\frac{\lambda t+i a}{2 K}\right)}$, рассматриваемая как функция от $t$, имеет вещественный период $\frac{2 K}{\lambda}$. Поэтому показательная функция правой части дает среднее движение $\varphi$, т. е. прецессионное движение системы относительно неизменяемой прямой. Так как
\[
\begin{array}{l}
\vartheta_{01}(v)=1-2 q \cos 2 \pi v+2 q^{4} \cos 4 \pi v-\ldots, \\
\vartheta_{01}^{\prime}(v)=4 \pi q \sin 2 \pi v-8 \pi q^{4} \sin 4 \pi v-\ldots,
\end{array}
\]

то коэффициент при $t$ в выражении для $\varphi$, т. е. постоянная часть величины $\dot{\varphi}$ или прецессия
\[
\frac{d}{A}+\frac{\lambda}{2 i K} \frac{\vartheta_{01}^{\prime}\left(\frac{i a}{2 K}\right)}{\vartheta_{01}\left(\frac{i a}{2 K}\right)}
\]

может быть написана в форме:
\[
\frac{d}{A}+4 \mu \frac{q \operatorname{sh} 2 \gamma-2 q^{4} \operatorname{sh} 4 \gamma+\ldots}{1-2 q \operatorname{ch} 2 \gamma+2 q^{4} \operatorname{ch} 4 \gamma-\ldots}
\]

из которой он и вычисляется.
ПРимеР 1. Для вышерассмотренного эллипсоида с полуосями $a=1$, $b=2, c=3$ имеем:
\[
\begin{array}{c}
2 \gamma=1,568, \quad \operatorname{sh} 2 \gamma=2,294, \quad \operatorname{ch} 2 \gamma=2,503, \\
d=12,452 \pi, \quad A=20,8 \pi, \quad \mu=0,5651, \quad q=0,0171 .
\end{array}
\]

Поэтому среднее движение $\varphi$, которое при отбрасывании $q^{4}$ может записано в форме:
\[
\frac{d}{A}+4 \mu \cdot \frac{q \operatorname{sh} 2 \gamma}{1-2 q \operatorname{ch} 2 \gamma}
\]

равно
\[
0,5986+0,0970=0,6956 .
\]

ПРимЕР 2. На однородный круглый диск, центр которого $O$ закреплен неподвижно, не действуют никакие внешние силы. Диску сообщена начальная угловая скорость $\Omega$ вокруг диаметра, совпадающего с неподвижной прямой $O \xi$, и угловая скорость $n$ вокруг оси, совпадающей с неподвижной прямой $O \zeta$. Показать, что для всякого последующего момента времени
\[
\begin{array}{l}
\chi=2 \arcsin \left[\frac{\Omega}{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \sin \left\{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} t\right\}\right], \\
\omega=\operatorname{arcctg}\left[\frac{\Omega}{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \operatorname{tg}\left\{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} t\right\}\right],
\end{array}
\]

\[
\operatorname{ctg} \omega=\cos Z \zeta \operatorname{tg} \frac{1}{2} \zeta Z z=\frac{2 n}{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \operatorname{tg}\left\{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} t\right\}
\]

Таким образом, мы получили искомые уравнения.

где $\chi$ означает угол между $O \zeta$ и осью $O z$ диска, а $\omega$ – угол, образованный плоскостями $\zeta O \xi$ и $\zeta O z$.

Пусть, как и выше, $O Z$ совпадает с неизменяемой прямой. В сферическом треугольнике $Z \zeta z$, вершины которого образованы точками пересечения прямых $O Z, O \zeta, O z$ с некоторой сферой, имеющей центр в $O, Z z=\vartheta, \zeta Z z=\varphi$. Кроме того, для диска имеют место соотношения $C=2 B=2 A$. Поэтому
\[
d^{2}=A^{2} \Omega^{2}+C^{2} n^{2}=A^{2}\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right),
\]

откуда
\[
\frac{d}{A}=\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}} .
\]

Уравнения движения для $\vartheta$ и $\varphi$ дают:
\[
\dot{\vartheta}=0, \quad \dot{\varphi}=\frac{d}{A}=\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}},
\]

откуда
\[
\vartheta=Z \zeta=\arccos \frac{2 n}{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}, \quad \varphi=\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}} t .
\]

Поэтому в сферическом треугольнике $Z \zeta z$ :
\[
Z \zeta=Z z=\arccos \frac{2 n}{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}, \widehat{\zeta Z z}=\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}} t, \widehat{\zeta Z z}=\omega, \zeta z=\chi
\]

Отсюда вытекает, что
\[
\sin \frac{1}{2} \chi=\sin Z \zeta \sin \frac{1}{2} \zeta Z z=\frac{\Omega}{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \sin \left\{\left(\Omega^{2}+4 n^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} t\right\}
\]