Мы переходим теперь к исследованию неголономных динамических систем. Согласно § 23 в такого рода системах число независимых координат, необходимых для определения конфигурации системы в любой момент времени, превышает число степеней свободы, так как система подчинена некоторому числу связей, которые по предположению не дают работы и выражаются неинтегрируемыми ${ }^{1}$ кинематическими соотношениями:
\[
A_{1 k} d q_{1}+A_{2 k} d q_{2}+\cdots+A_{n k} d q_{n}+T_{k} d t=0 \quad(k=1,2, \ldots, m),
\]

где $A_{11}, A_{12}, \ldots, A_{n m}, T_{1}, T_{2}, \ldots, T_{m}$ суть заданные функции от координат времени.

Наиболее известным примером неголономной системы является твердое тело, катящееся без скольжения по неподвижной поверхности. Условие, выражающее отсутствие скольжения, записывается двумя соотношениями вышеуказанного типа. Еще более простой пример представляет собой колесо с острым краем, катящееся по горизонтальному листу бумаги, как в интеграторах Паскаля и Абданк-Абакановича. Колесо движется только в своей собственной мгновенной плоскости, так как трение в остром крае лишает его возможности бокового скольжения. Если координаты точки соприкасания с бумагой суть $x$ и $y$, а азимут плоскости колеса есть $\varphi$, то имеет место неголономное условие связи
\[
d y-\operatorname{tg} \varphi d x=0 .
\]

Если $m$ есть число кинематических соотношений, то $n-m$ есть число степеней свободы. Непосредственное приложение уравнений Лагранжа к такого рода системам невозможно. Но, однако, эти уравнения могут быть обобщены таким образом, что исследование движения неголономных систем может быть проведено тем же способом, что и систем голономных.

Пусть конфигурация неголономной системы в любой момент времени определяется координатами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ система имеет кинетическую энергию $T$, а обусловленные неголономностью кинематические соотношения суть:
\[
A_{1 k} d q_{1}+A_{2 k} d q_{2}+\cdots+A_{n k} d q_{n}+T_{k} d t=0 \quad(k=1,2, \ldots, m),
\]
${ }^{1}$ Если эти соотношения интегрируемы, то некоторые из величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ могут быть выражены как функции остальных, и, следовательно, координаты не являются независимыми, что противоречит условию.

Мы можем рассматривать нашу систему с двух точек зрения: с одной стороны, мы можем предполагать, что система подчинена выше написанным кинематическим условиям, а с другой стороны, мы можем предполагать, что к системе приложены некоторые дополнительные внешние силы, а именно силы реакций кинематических связей, которые нужно приложить к системе, чтобы она этим связям удовлетворяла. Остановимся пока на последней точке зрения. Пусть
\[
Q_{1}^{\prime} \delta q_{1}+Q_{2}^{\prime} \delta q_{2}+\cdots+Q_{n}^{\prime} \delta q_{n}
\]

представляет собой элементарную работу дополнительных сил при каком-нибудь возможном перемещении $\left(\delta q_{1}, \delta q_{2}, \ldots, \delta q_{n}\right.$ ) (которое сейчас уже не подчинено условию совместимости с кинематическими связями), и пусть
\[
Q_{1} \delta q_{1}+Q_{2} \delta q_{2}+\cdots+Q_{n} \delta q_{n}
\]

выражает элементарную работу первоначальных внешних сил при этом перемещении. Так как введением дополнительных внешних сил система приведена к голономной, то можно применить уравнения Лагранжа. Следовательно, уравнения движения будут иметь вид:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=Q_{r}+Q_{r}^{\prime} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Силы $Q_{1}^{\prime}, Q_{2}^{\prime}, \ldots, Q_{n}^{\prime}$ не известны; но они обладают тем свойством, что их элементарная работа равна нулю при всяком перемещении, совместимом со связями. Поэтому величина
\[
Q_{1}^{\prime} d q_{1}+Q_{2}^{\prime} d q_{2}+\cdots+Q_{n}^{\prime} d q_{n}
\]

равна нулю при всех значениях $d q_{1}, d q_{2}, \ldots, d q_{n}$, удовлетворяющих соотношениям:
\[
A_{1 k} d q_{1}+A_{2 k} d q_{2}+\cdots+A_{n k} d q_{n}=0 .
\]

Для этого необходимо, чтобы выполнялись соотношения:
\[
Q_{r}^{\prime}=\lambda_{1} A_{r 1}+\lambda_{2} A_{r 2}+\ldots+\lambda_{m} A_{r m} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$ не зависят от $r$. Поэтому мы имеем всего $n+m$ уравнений:
\[
\begin{array}{cc}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=Q_{r}+\lambda_{1} A_{r 1}+\lambda_{2} A_{r 2}+\ldots+\lambda_{m} A_{r m} & (r=1,2, \ldots, n), \\
A_{1 k} \dot{q}_{1}+A_{2 k} \dot{q}_{2}+\cdots+A_{n k} \dot{q}_{n}=0 & (k=1,2, \ldots, m),
\end{array}
\]

и эти уравнения служат для определения $n+m$ неизвестных величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$. Таким образом, задача приводится к интегрированию этой системы дифференциальных уравнений ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ Обобщение уравнений Лагранжа на неголономные системы принадлежит Ферреpy (Ferrers, Quart. Journ. Math., т. 12, стр. 1, 1871); C. Neumann. Leipziger Berichte, т. 40, стр. 22, 1888; Vierkandt, Monatshefte f. Math. u, Phys., т. 4, стр. 31, 1892.