В качестве приложения метода Бертрана рассмотрим следующую задачу: Какого вида должна быть потенциальная энергия $V$, для того чтобы уравнения плоского движения материальной точки под действием консервативных сил
$$\dot{x}=-\frac{\partial V}{\partial x},\dot{y}=-\frac{\partial V}{\partial y}$$

допускали помимо интеграла энергии еще и интеграл вида:
$$P{\dot{x}}^2+Q\dot{x}\dot{y}+R{\dot{y}}^2+S\dot{y}+T\dot{x}+K=\text{ const, }$$

где $P,Q,S,T,K$ означают функции от $x,y$.

Дифференцируя последнее уравнение и вводя значения $\ddot{x}$ и $\ddot{y}$ уравнений движения, получим:
$$\begin{array}{c}{\dot{x}}^3\frac{\partial P}{\partial x}+{\dot{y}}^3\frac{\partial R}{\partial y}+{\dot{x}}^2\dot{y}(\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial x})+{\dot{y}}^2\dot{x}(\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial x})-\\ -2P\dot{x}\frac{\partial V}{\partial x}-Q(\dot{x}\frac{\partial V}{\partial y}+\dot{y}\frac{\partial V}{\partial x})-2R\dot{y}\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial S}{\partial y}{\dot{y}}^2+\\ +\frac{\partial T}{\partial x}{\dot{x}}^2+\dot{x}\dot{y}(\frac{\partial S}{\partial x}+\frac{\partial T}{\partial y})+\frac{\partial K}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial K}{\partial y}\dot{y}-S\frac{\partial V}{\partial y}-T\frac{\partial V}{\partial x}=0.\end{array}$$

Приравнивая члены третьего порядка относительно $\dot{x}$ и $\dot{y}$ нулю, находим:
$$\frac{\partial P}{\partial x}=0,\frac{\partial R}{\partial x}=0,\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial x}=0,\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial x}=0.$$

Отсюда легко получить, что квадратичные члены должны иметь вид:
$$(a{y}^2+by+c){\dot{x}}^2+(a{x}^2+b^{\prime }x+c^{\prime }){\dot{y}}^2+(-2axy-b^{\prime }y-bx+c_1)\dot{x}\dot{y},$$

где $a,b,c,b^{\prime },c^{\prime },c_1$ — постоянные.
Приравнивая в уравнении (11) члены второго порядка относительно $\dot{x}$ и $\dot{y}$ нулю, получаем:
$$\frac{\partial S}{\partial y}=0,\frac{\partial T}{\partial x}=0,\frac{\partial S}{\partial x}+\frac{\partial T}{\partial y}=0.$$

Из этих уравнений заключаем, что
$$S=mx+p,T=-my+q,$$

где $m,p$ и $q$ — постоянные.
Приравнивая нулю в уравнении (11) члены, не зависящие от $\dot{x}$ и $\dot{y}$, получаем:
$$S\frac{\partial V}{\partial y}+T\frac{\partial V}{\partial x}=0$$

или
$$\frac{\partial V}{\partial y}(mx+p)-\frac{\partial V}{\partial x}(my-q)=0.$$

Это уравнение показывает, что если $m,p,q$ отличны от нуля, то сила направлена к неподвижному центру, имеющему координаты $-\frac{p}{m}$ и $\frac{q}{m}$. Этот простой случай мы исключим; мы предположим, следовательно, что $m=p=q=0$, т. е. что интеграл не содержит членов, линейных относительно $\dot{x}$ и $\dot{y}$.

Приравнивая нулю в уравнении (11) члены, линейные относительно $\dot{x}$ и $\dot{y}$, получаем:
$$\begin{array}{l}-2P\frac{\partial V}{\partial x}-Q\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial K}{\partial x}=0,\\ -2R\frac{\partial V}{\partial y}-Q\frac{\partial V}{\partial x}+\frac{\partial K}{\partial y}=0.\end{array}$$

Дифференцируя эти уравнения соответственно по $x$ и $y$ и приравнивая полученные таким образом значения $\frac{{\partial }^{2}K}{\partial x\partial y}$, получаем:
$$\begin{array}{l}2P\frac{{\partial }^{2}V}{\partial x\partial y}+2\frac{\partial V}{\partial x}\frac{\partial P}{\partial y}+Q\frac{{\partial }^{2}V}{\partial y^2}+\frac{\partial Q}{\partial y}\frac{\partial V}{\partial y}=\\ =2R\frac{{\partial }^{2}V}{\partial x\partial y}+2\frac{\partial R}{\partial x}\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial y}\frac{\partial V}{\partial y}+Q\frac{{\partial }^{2}V}{\partial x^2}.\end{array}$$

Заменяя еще $P,Q,R$ полученными для них значениями, находим:
$$\begin{array}{l}(\frac{{\partial }^{2}V}{\partial y^2}-\frac{{\partial }^{2}V}{\partial x^2})(-2axy-b^{\prime }y-bx+c_1)+2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial x\partial y}(a{y}^2-a{x}^2+\\ +by-b^{\prime }x+c-c^{\prime })+\frac{\partial V}{\partial x}(6ay+3b^{\prime })+\frac{\partial V}{\partial y}(-6ax-3b^{\prime })=0.\end{array}$$

По Дарбу ${}^1$ это уравнение с частными производными для функции $V$ может быть проинтегрировано следующим образом.

Если отвлечься от частного случая, когда постоянная равна нулю, то всегда можно при помощи преобразования координат преобразовать данный интеграл к более простому виду:
$$\frac{1}{2}(x\dot{y}-y\dot{x}{)}^2+c{\dot{x}}^2+c^{\prime }{\dot{y}}^2+k=\text{ const. }$$

Это равносильно предположению, что
$$a=\frac{1}{2},b=0,b^{\prime }=0,c_1=0;$$

заменяя еще $c-c^{\prime }$ через $\frac{1}{2}{c}^2$, мы приведем дифференцияльное уравнение для $V$ к виду:
$$xy(\frac{{\partial }^{2}V}{\partial x^2}-\frac{{\partial }^{2}V}{\partial y^2})+(y^2-x^2+c^2)\frac{{\partial }^{2}V}{\partial x\partial y}+3y\frac{\partial V}{\partial x}-3x\frac{\partial V}{\partial y}=0.$$
${}^1$ Archives Neerlandaises (2), т. 6, стр. 371, 1901.

Для интегрирования этого уравнения составим дифференциальное уравнение характеристик:
$$xy(d{y}^2-d{x}^2)+(x^2-y^2-c^2)dxdy=0.$$

Рассматривая в этом уравнении $x^2$ и $y^2$ как новые переменные, находим, что оно принадлежит к уравнениям типа Клеро и поэтому имеет интеграл:
$$(m+1)(m{x}^2-y^2)-m{c}^2=0,$$

где $m$ означает произвольную постоянную. После небольшого изменения обозначений мы можем этому интегралу придать вид:
$$\frac{x^2}{{\alpha }^2}+\frac{y^2}{{\alpha }^2-c^2}=1$$

где $\alpha$ означает новую произвольную постоянную. Полученная форма интеграла показывает, что характеристики уравнений с частными производными состоят из двух семейств софокусных конических сечений.

Если параметры $\alpha ,\beta$ софокусных эллипсов и гипербол принять за новые переменные, так что
$$x=\frac{\alpha \beta }{c},y=\frac{1}{c}{\left\{({\alpha }^2-c^2)(c^2-{\beta }^2)\right\}}^{\frac{1}{2}},$$

то согласно общей теории уравнение с частными производными примет вид:
$$\frac{{\partial }^{2}V}{\partial \alpha \partial \beta }+A\frac{\partial V}{\partial \alpha }+B\frac{\partial V}{\partial \beta }=0,$$

где $A$ и $B$ — функции от $\alpha$ и $\beta$. В рассматриваемом случае при переходе к этим переменным уравнение принимает вид:
$$({\beta }^2-{\alpha }^2)\frac{\partial V^2}{\partial \alpha \partial \beta }+2\beta \frac{\partial V}{\partial \alpha }+2\alpha \frac{\partial V}{\partial \beta }=0,$$

в котором оно может быть непосредственно проинтегрировано. Интегрирование дает:
$$({\alpha }^2-{\beta }^2)V=f(\alpha )-\phi (\beta ),$$

где $f$ и $\phi$ — произвольные функции их аргументов. Отсюда следует: $npu$ плоском движении материальной точки под действием консервативных сил тогда и только тогда существует помимо интеграла энергии еще другой интеграл, квадратичный относительно скоростей, когда потенциальная энергия имеет вид:
$$V=\frac{f(\alpha )-\phi (\beta )}{{\alpha }^2-{\beta }^2}$$

где $\alpha$ и означают параметры софокусных эллипсов и гипербол.

Так как дифференцированием мы получаем уравнение:
$${\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2=({\alpha }^2-{\beta }^2)(\frac{{\dot{\alpha }}^2}{{\alpha }^2-c^2}+\frac{{\dot{\beta }}^2}{c^2-{\beta }^2}),$$

то кинетическая энергия равна:
$$T=\frac{1}{2}({\alpha }^2-{\beta }^2)(\frac{{\dot{\alpha }}^2}{{\alpha }^2-c^2}+\frac{{\dot{\beta }}^2}{c^2-{\beta }^2}),$$

и вид $T$ и $V$ показывает, что система принадлежит к типу Лиувилля ( $\mathrm{\S }43$ ), и, следовательно, интегрирование приводится к квадатурам.