В качестве приложения метода Бертрана рассмотрим следующую задачу: Какого вида должна быть потенциальная энергия $V$, для того чтобы уравнения плоского движения материальной точки под действием консервативных сил
\[
\dot{x}=-\frac{\partial V}{\partial x}, \quad \dot{y}=-\frac{\partial V}{\partial y}
\]

допускали помимо интеграла энергии еще и интеграл вида:
\[
P \dot{x}^{2}+Q \dot{x} \dot{y}+R \dot{y}^{2}+S \dot{y}+T \dot{x}+K=\text { const, }
\]

где $P, Q, S, T, K$ означают функции от $x, y$.

Дифференцируя последнее уравнение и вводя значения $\ddot{x}$ и $\ddot{y}$ уравнений движения, получим:
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}^{3} \frac{\partial P}{\partial x}+\dot{y}^{3} \frac{\partial R}{\partial y}+\dot{x}^{2} \dot{y}\left(\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial x}\right)+\dot{y}^{2} \dot{x}\left(\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial x}\right)- \\
-2 P \dot{x} \frac{\partial V}{\partial x}-Q\left(\dot{x} \frac{\partial V}{\partial y}+\dot{y} \frac{\partial V}{\partial x}\right)-2 R \dot{y} \frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial S}{\partial y} \dot{y}^{2}+ \\
+\frac{\partial T}{\partial x} \dot{x}^{2}+\dot{x} \dot{y}\left(\frac{\partial S}{\partial x}+\frac{\partial T}{\partial y}\right)+\frac{\partial K}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial K}{\partial y} \dot{y}-S \frac{\partial V}{\partial y}-T \frac{\partial V}{\partial x}=0 .
\end{array}
\]

Приравнивая члены третьего порядка относительно $\dot{x}$ и $\dot{y}$ нулю, находим:
\[
\frac{\partial P}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial R}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial x}=0 .
\]

Отсюда легко получить, что квадратичные члены должны иметь вид:
\[
\left(a y^{2}+b y+c\right) \dot{x}^{2}+\left(a x^{2}+b^{\prime} x+c^{\prime}\right) \dot{y}^{2}+\left(-2 a x y-b^{\prime} y-b x+c_{1}\right) \dot{x} \dot{y},
\]

где $a, b, c, b^{\prime}, c^{\prime}, c_{1}$ – постоянные.
Приравнивая в уравнении (11) члены второго порядка относительно $\dot{x}$ и $\dot{y}$ нулю, получаем:
\[
\frac{\partial S}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial T}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial S}{\partial x}+\frac{\partial T}{\partial y}=0 .
\]

Из этих уравнений заключаем, что
\[
S=m x+p, \quad T=-m y+q,
\]

где $m, p$ и $q$ – постоянные.
Приравнивая нулю в уравнении (11) члены, не зависящие от $\dot{x}$ и $\dot{y}$, получаем:
\[
S \frac{\partial V}{\partial y}+T \frac{\partial V}{\partial x}=0
\]

или
\[
\frac{\partial V}{\partial y}(m x+p)-\frac{\partial V}{\partial x}(m y-q)=0 .
\]

Это уравнение показывает, что если $m, p, q$ отличны от нуля, то сила направлена к неподвижному центру, имеющему координаты $-\frac{p}{m}$ и $\frac{q}{m}$. Этот простой случай мы исключим; мы предположим, следовательно, что $m=p=q=0$, т. е. что интеграл не содержит членов, линейных относительно $\dot{x}$ и $\dot{y}$.

Приравнивая нулю в уравнении (11) члены, линейные относительно $\dot{x}$ и $\dot{y}$, получаем:
\[
\begin{array}{l}
-2 P \frac{\partial V}{\partial x}-Q \frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial K}{\partial x}=0, \\
-2 R \frac{\partial V}{\partial y}-Q \frac{\partial V}{\partial x}+\frac{\partial K}{\partial y}=0 .
\end{array}
\]

Дифференцируя эти уравнения соответственно по $x$ и $y$ и приравнивая полученные таким образом значения $\frac{\partial^{2} K}{\partial x \partial y}$, получаем:
\[
\begin{array}{l}
2 P \frac{\partial^{2} V}{\partial x \partial y}+2 \frac{\partial V}{\partial x} \frac{\partial P}{\partial y}+Q \frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}}+\frac{\partial Q}{\partial y} \frac{\partial V}{\partial y}= \\
=2 R \frac{\partial^{2} V}{\partial x \partial y}+2 \frac{\partial R}{\partial x} \frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial y} \frac{\partial V}{\partial y}+Q \frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}} .
\end{array}
\]

Заменяя еще $P, Q, R$ полученными для них значениями, находим:
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}}-\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}}\right)\left(-2 a x y-b^{\prime} y-b x+c_{1}\right)+2 \frac{\partial^{2} V}{\partial x \partial y}\left(a y^{2}-a x^{2}+\right. \\
\left.+b y-b^{\prime} x+c-c^{\prime}\right)+\frac{\partial V}{\partial x}\left(6 a y+3 b^{\prime}\right)+\frac{\partial V}{\partial y}\left(-6 a x-3 b^{\prime}\right)=0 .
\end{array}
\]

По Дарбу ${ }^{1}$ это уравнение с частными производными для функции $V$ может быть проинтегрировано следующим образом.

Если отвлечься от частного случая, когда постоянная равна нулю, то всегда можно при помощи преобразования координат преобразовать данный интеграл к более простому виду:
\[
\frac{1}{2}(x \dot{y}-y \dot{x})^{2}+c \dot{x}^{2}+c^{\prime} \dot{y}^{2}+k=\text { const. }
\]

Это равносильно предположению, что
\[
a=\frac{1}{2}, \quad b=0, \quad b^{\prime}=0, \quad c_{1}=0 ;
\]

заменяя еще $c-c^{\prime}$ через $\frac{1}{2} c^{2}$, мы приведем дифференцияльное уравнение для $V$ к виду:
\[
x y\left(\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}}\right)+\left(y^{2}-x^{2}+c^{2}\right) \frac{\partial^{2} V}{\partial x \partial y}+3 y \frac{\partial V}{\partial x}-3 x \frac{\partial V}{\partial y}=0 .
\]
${ }^{1}$ Archives Neerlandaises (2), т. 6, стр. 371, 1901.

Для интегрирования этого уравнения составим дифференциальное уравнение характеристик:
\[
x y\left(d y^{2}-d x^{2}\right)+\left(x^{2}-y^{2}-c^{2}\right) d x d y=0 .
\]

Рассматривая в этом уравнении $x^{2}$ и $y^{2}$ как новые переменные, находим, что оно принадлежит к уравнениям типа Клеро и поэтому имеет интеграл:
\[
(m+1)\left(m x^{2}-y^{2}\right)-m c^{2}=0,
\]

где $m$ означает произвольную постоянную. После небольшого изменения обозначений мы можем этому интегралу придать вид:
\[
\frac{x^{2}}{\alpha^{2}}+\frac{y^{2}}{\alpha^{2}-c^{2}}=1
\]

где $\alpha$ означает новую произвольную постоянную. Полученная форма интеграла показывает, что характеристики уравнений с частными производными состоят из двух семейств софокусных конических сечений.

Если параметры $\alpha, \beta$ софокусных эллипсов и гипербол принять за новые переменные, так что
\[
x=\frac{\alpha \beta}{c}, \quad y=\frac{1}{c}\left\{\left(\alpha^{2}-c^{2}\right)\left(c^{2}-\beta^{2}\right)\right\}^{\frac{1}{2}},
\]

то согласно общей теории уравнение с частными производными примет вид:
\[
\frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha \partial \beta}+A \frac{\partial V}{\partial \alpha}+B \frac{\partial V}{\partial \beta}=0,
\]

где $A$ и $B$ – функции от $\alpha$ и $\beta$. В рассматриваемом случае при переходе к этим переменным уравнение принимает вид:
\[
\left(\beta^{2}-\alpha^{2}\right) \frac{\partial V^{2}}{\partial \alpha \partial \beta}+2 \beta \frac{\partial V}{\partial \alpha}+2 \alpha \frac{\partial V}{\partial \beta}=0,
\]

в котором оно может быть непосредственно проинтегрировано. Интегрирование дает:
\[
\left(\alpha^{2}-\beta^{2}\right) V=f(\alpha)-\varphi(\beta),
\]

где $f$ и $\varphi$ – произвольные функции их аргументов. Отсюда следует: $n p u$ плоском движении материальной точки под действием консервативных сил тогда и только тогда существует помимо интеграла энергии еще другой интеграл, квадратичный относительно скоростей, когда потенциальная энергия имеет вид:
\[
V=\frac{f(\alpha)-\varphi(\beta)}{\alpha^{2}-\beta^{2}}
\]

где $\alpha$ и означают параметры софокусных эллипсов и гипербол.

Так как дифференцированием мы получаем уравнение:
\[
\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}=\left(\alpha^{2}-\beta^{2}\right)\left(\frac{\dot{\alpha}^{2}}{\alpha^{2}-c^{2}}+\frac{\dot{\beta}^{2}}{c^{2}-\beta^{2}}\right),
\]

то кинетическая энергия равна:
\[
T=\frac{1}{2}\left(\alpha^{2}-\beta^{2}\right)\left(\frac{\dot{\alpha}^{2}}{\alpha^{2}-c^{2}}+\frac{\dot{\beta}^{2}}{c^{2}-\beta^{2}}\right),
\]

и вид $T$ и $V$ показывает, что система принадлежит к типу Лиувилля ( $\S 43$ ), и, следовательно, интегрирование приводится к квадатурам.