Главная > РЕГУЛЯРНАЯ И ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА. ТОМ 9. (Э. УИТТЕКЕР)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Докажем теперь одну теорему Адамара ${ }^{5}$, выясняющую общий характер движения консервативной голономной системы. Примем для простоты, что система состоит из одной материальной точки массы 1 , движущейся на гладкой поверхности под действием сил, имеющих потенциал $V$. Аналогичная теорема легко доказывается и для более сложных систем.

Пусть параметры $u$ и $v$ определяют положение точки на поверхности, элемент длины которой определяется формулой:
\[
d s^{2}=E d u^{2}+2 F d u d v+G d v^{2},
\]

где $E, F, G$ суть заданные функции от $u$ и $v$. Точка обладает кинетической энергией:
\[
T=\frac{1}{2}\left(E \dot{u}^{2}+2 F \dot{u} \dot{v}+G \dot{v}^{2}\right),
\]
${ }^{1}$ Annali di Mat., т. 5, стр. 221, 1901.
${ }^{2}$ Annali di Mat., т. 11, стр. 67, 1904.
${ }^{3}$ Verhand. d. K. Akad. v. Wetensch., т. 5, № 8, 1897; Archives Neerland (2), т. 1, стр. 229, 1897.
${ }^{4}$ Amsterdam Proc., т. 12, стр. $618,735,1910$; т. 13, стр. 742, 1911; Archives Neerland (2), т. 15, стр. 246, 1910; (3a), стр. 185, 1912; Phil. Mag. (6), т. 26, стр. 268, 1913.
${ }^{5}$ Journ. de Math. (5), т. 3, стр. 331.

и уравнения движения имеют вид:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{u}}\right)-\frac{\partial T}{\partial u}=-\frac{\partial V}{\partial u}, \quad \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{v}}\right)-\frac{\partial T}{\partial v}=-\frac{\partial V}{\partial v} .
\]

Эти уравнения могут быть приведены к виду:
\[
\begin{aligned}
\left(E G-F^{2}\right) \ddot{u} & =-G \frac{\partial V}{\partial u}+F \frac{\partial V}{\partial v}+\dot{u}^{2}\left(F \frac{\partial F}{\partial u}-\frac{1}{2} G \frac{\partial E}{\partial u}-\frac{1}{2} F \frac{\partial E}{\partial v}\right)+ \\
& +\dot{u} \dot{v}\left(F \frac{\partial G}{\partial u}-G \frac{\partial E}{\partial v}\right)+\dot{v}^{2}\left(\frac{1}{2} G \frac{\partial G}{\partial u}+\frac{1}{2} F \frac{\partial G}{\partial v}-G \frac{\partial F}{\partial v}\right), \\
\left(E G-F^{2}\right) \ddot{v} & =F \frac{\partial V}{\partial u}-E \frac{\partial V}{\partial v}+\dot{u}^{2}\left(\frac{1}{2} E \frac{\partial E}{\partial v}+\frac{1}{2} F \frac{\partial E}{\partial u}-E \frac{\partial F}{\partial u}\right)+ \\
& +\dot{u} \dot{v}\left(F \frac{\partial E}{\partial v}-E \frac{\partial G}{\partial u}\right)+\dot{v}^{2}\left(F \frac{\partial F}{\partial u}-\frac{1}{2} E \frac{\partial G}{\partial v}-\frac{1}{2} F \frac{\partial G}{\partial u}\right) .
\end{aligned}
\]

Дифференцирование дает:
\[
\begin{array}{c}
\dot{V}=\frac{\partial V}{\partial u} \dot{u}+\frac{\partial V}{\partial v} \dot{v} \\
\ddot{V}=\frac{\partial V}{\partial u} \ddot{u}+\frac{\partial V}{\partial v} \ddot{v}+\frac{\partial^{2} V}{\partial u^{2}} \dot{u}^{2}+2 \frac{\partial^{2} V}{\partial u \partial v} \dot{u} \dot{v}+\frac{\partial^{2} V}{\partial v^{2}} \dot{v}^{2}
\end{array}
\]

Заменяя здесь $\ddot{u}$ и $\ddot{v}$ их значениями из предыдущих уравнений, будем иметь:
\[
\ddot{V}=-\left(E G-F^{2}\right)^{-1}\left\{E\left(\frac{\partial V}{\partial v}\right)^{2}-2 F \frac{\partial V}{\partial u} \frac{\partial V}{\partial v}+G\left(\frac{\partial V}{\partial u}\right)^{2}\right\}+\Phi(\dot{u}, \dot{v}),
\]

где
\[
\begin{aligned}
\Phi(\dot{u}, \dot{v}) & =\left[\frac{\partial^{2} V}{\partial u^{2}}+\left(E G-F^{2}\right)^{-1}\left\{\frac{\partial V}{\partial u}\left(F \frac{\partial F}{\partial u}-\frac{1}{2} G \frac{\partial E}{\partial u}-\frac{1}{2} F \frac{\partial E}{\partial v}\right)+\right.\right. \\
& \left.\left.+\frac{\partial V}{\partial v}\left(\frac{1}{2} E \frac{\partial E}{\partial v}+\frac{1}{2} F \frac{\partial E}{\partial u}-E \frac{\partial F}{\partial u}\right)\right\}\right] \dot{u}^{2}+ \\
& +\left[2 \frac{\partial^{2} V}{\partial u \partial v}+\left(E G-F^{2}\right)^{-1}\left\{\frac{\partial V}{\partial u}\left(F \frac{\partial G}{\partial u}-G \frac{\partial E}{\partial v}\right)+\right.\right. \\
& \left.\left.+\frac{\partial V}{\partial v}\left(F \frac{\partial E}{\partial v}-E \frac{\partial G}{\partial u}\right)\right\}\right] \dot{u} \dot{v}+ \\
& +\left[\frac{\partial^{2} V}{\partial v^{2}}+\left(E G-F^{2}\right)^{-1}\left\{\frac{\partial V}{\partial u}\left(\frac{1}{2} G \frac{\partial G}{\partial u}+\frac{1}{2} F \frac{\partial G}{\partial v}-G \frac{\partial F}{\partial v}\right)+\right.\right. \\
& \left.\left.+\frac{\partial V}{\partial v}\left(F \frac{\partial F}{\partial v}-\frac{1}{2} E \frac{\partial G}{\partial v}-\frac{1}{2} F \frac{\partial G}{\partial u}\right)\right\}\right] \dot{v}^{2} .
\end{aligned}
\]

Величины, входящие в это уравнение, могут быть выражены через инварианты изгибания ${ }^{1}$ поверхности. Основные инварианты изгибания поверхности с элементом длины
\[
d s^{2}=E d u^{2}+2 F d u d v+G d v^{2}
\]

суть дифференциальные параметры:
\[
\begin{aligned}
\Delta(\varphi, \psi) & =\left(E G-F^{2}\right)^{-1}\left\{E \frac{\partial \varphi}{\partial v} \frac{\partial \psi}{\partial v}-F\left(\frac{\partial \varphi}{\partial u} \frac{\partial \psi}{\partial v}+\frac{\partial \varphi}{\partial v} \frac{\partial \psi}{\partial u}\right)+G \frac{\partial \varphi}{\partial u} \frac{\partial \psi}{\partial u}\right\} . \\
\Delta_{1}(\varphi) & =\left(E G-F^{2}\right)^{-1}\left\{E\left(\frac{\partial \varphi}{\partial v}\right)^{2}-2 F \frac{\partial \varphi}{\partial u} \frac{\partial \varphi}{\partial v}+G\left(\frac{\partial \varphi}{\partial u}\right)^{2}\right\} \\
\Delta_{2}(\varphi) & =\left(E G-F^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\left[\frac{\partial}{\partial u}\left\{\left(E G-F^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(G \frac{\partial \varphi}{\partial u}-F \frac{\partial \varphi}{\partial v}\right)\right\}+\right. \\
& \left.+\frac{\partial}{\partial v}\left\{\left(E G-F^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(-F \frac{\partial \varphi}{\partial u}+E \frac{\partial \varphi}{\partial v}\right)\right\}\right]
\end{aligned}
\]

где $\varphi$ и $\psi$ – произвольные функции от $u$ и $v$.
При помощи этих обозначений последнее уравнение может быть записано в виде:
\[
\ddot{V}=-\Delta_{1}(V)+\Phi(\dot{u}, \dot{v}) .
\]

Используя интеграл энергии
\[
E \dot{u}^{2}+2 F \dot{u} \dot{v}+G \dot{v}^{2}=2(h-V)
\]

и замечая, что выражение:
\[
\frac{\Phi(\dot{u}, \dot{v})}{E \dot{u}^{2}+2 F \dot{u} \dot{v}+G \dot{v}^{2}}-\frac{\Phi\left(\frac{\partial V}{\partial v},-\frac{\partial V}{\partial u}\right)}{E\left(\frac{\partial V}{\partial v}\right)^{2}-2 F\left(\frac{\partial V}{\partial v}\right)\left(\frac{\partial V}{\partial u}\right)+G\left(\frac{\partial V}{\partial u}\right)^{2}}
\]

содержит величину $\dot{u} \frac{\partial V}{\partial u}+\dot{v} \frac{\partial V}{\partial v}$ в качестве множителя, мы можем написать:
\[
\ddot{V}=-\Delta_{1}(V)+\frac{2(h-V) I_{V}}{\Delta_{1}(V)}+(\lambda \dot{u}+\mu \dot{v}) \dot{V},
\]

где $\lambda$ и $\mu$ содержат в знаменателе только величину:
\[
E\left(\frac{\partial V}{\partial v}\right)^{2}-2 F\left(\frac{\partial V}{\partial v}\right)\left(\frac{\partial V}{\partial u}\right)+G\left(\frac{\partial V}{\partial u}\right)^{2}
\]
${ }^{1}$ Определение инвариантов изгибания дано в подстрочном примечании на стр. 126.

а $I$ означает выражение:
\[
\frac{\Phi\left(\frac{\partial V}{\partial v},-\frac{\partial V}{\partial u}\right)}{\left(E G-F^{2}\right)}
\]

Нетрудно видеть, что $I_{V}$ может быть представлено в виде:
\[
I_{V}=\Delta_{1}(V) \Delta_{2}(V)-\frac{1}{2} \Delta\left\{V, \Delta_{1}(V)\right\} .
\]

Рассмотрим на траектории точку, в которой $V$ имеет минимум. Для нее $V=0$ и $\ddot{V}$ положительно. Так как $\Delta_{1}$ положительно ( $d s^{2}$ есть определенная положительная форма), то $I_{V} \geqslant 0$, причем знак равенства имеет место только тогда, когда $\Delta_{1}(V)$ равно нулю, т. е. для положения равновесия.

Когда точка описывает траекторию, функция $V$ либо принимает бесчисленное множество чередующихся друг с другом максимумов и минимумов (общий случай), либо, начиная с определенной точки, изменяется в одном направлении (частный случай). Допустим сначала, что имеет место первый из этих случаев. Разложим поверхность на две такие области, что в одной из них $I_{V}>0$, а в другой $I_{V}<0$. Тогда из вышесказанного следует, что первая из этих областей содержит все точки траекторий, в которых $V$ имеет минимум, т. е., вообще говоря, бесчисленное множество отрезков траекторий, каждый из которых имеет конечную длину. Напротив, во второй области, где $I_{V}<0$, материальная точка не может оставаться постоянно. На этом основании обе эти области называются соответственно притягивающей и отталкивающей областями. В общем случае существуют одновременно обе эти области. Ибо нетрудно видеть, что все изолированные точки поверхности, в которых $V$ имеет минимум, т. е. точки, в которых возможно устойчивое равновесие, лежат в притягивающей области, а все точки, в которых $V$ имеет максимум, лежат в отталкивающей области.

Интересно сопоставить этот результат с аналогичным положением при движении точки с одной степенью свободы, например, при движении точки по заданной кривой под действием силы, зависящей только от положения. В этом случае точка либо описывает бесконечно большой путь в определенном направлении, либо колеблется около положения устойчивого равновесия. Притягивающая область при движении с двумя степенями свободы соответствует положению устойчивого равновесия при движении с одной степенью свободы.

Допустим теперь, что мы имеем дело со вторым случаем, т. е. что, начиная с некоторого момента времени, функция $V$ изменяется в одном направлении. Мы будем предполагать, что поверхность нигде не простирается в бесконечность и не имеет особых точек, а функция $V$ – правильна во всех точках поверхности. Так как функция $V$ изменяется в одном направлении, то она необходимо стремится к некоторому определенному пределу, а $\dot{V}$ и $\ddot{V}$ стремятся к нулю.
Из равенства
\[
\ddot{V}=\frac{-\Delta_{1}(V)+2(h-V) I_{V}}{\Delta_{1}(V)+(\lambda \dot{u}+\mu \dot{v}) \dot{V}}
\]

мы видим, что $\lambda$ и $\mu$ конечны, а последний член правой части бесконечно мал, когда $\Delta_{1}(V)$ не очень мало. Следовательно, либо существуют сколь угодно большие значения $t$, для которых $I_{V}>0$ (и тогда отрезок траектории, лежащей в притягивающей области, превосходит по длине на любую заданную величину), либо же $\Delta_{1}(V)$ стремится к нулю. Последнее возможно только тогда, когда $\frac{\partial V}{\partial u}$ и $\frac{\partial V}{\partial v}$ обращаются в нуль. Поэтому, если на поверхности существует только конечное число положений равновесия (что в большинстве случаев действительно имеет место), то материальная точка приближается к одному из этих положений со скоростью, стремящейся к нулю. Такого рода положение равновесия будет неустойчивым, так как при обращении движения материальная точка, находясь в начальный момент вблизи положения равновесия и имея малую скорость, будет с течением времени отдаляться от этого положения, что находится в противоречии с определением устойчивости.

Таким образом, мы получаем окончательно теорему Адамара, которую мы сформулируем следующим образом: Если материальная точка может свободно двигаться на поверхности, нигде не простирающейся в бесконечность и не имеющей нигде особых точек, и если потенциальная энергия есть функция правильная во всех точках поверхности и имеет на ней только конечное число максимумов и минимумов, то либо длина отрезка траектории, лежащего в притягивающей области, превышает всякое заданное число, либо траектория приближается асимптотически к положению неустойчивого равновесия.
ЗАДАчА 1. Показать, что если рассматривать все значения $t$ от до $+\infty$, то часть траектории материальной точки лежит в притягивающей области.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru