Из § 116 вытекает, что при преобразовании переменных в системе Гамильтона
$$\frac{d{q}_r}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r},\frac{d{p}_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r}(r=1,2,\dots ,n)$$

получается снова система Гамильтона:
$$\frac{d{Q}_r}{dt}=\frac{\partial K}{\partial P_r},\frac{d{P}_r}{dt}=-\frac{\partial K}{\partial Q_r}(r=1,2,\dots ,n),$$

если новые переменные $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n,P_1,P_2,\dots ,P_n$ обладают тем свойством, что выражение
$$\int (P_1\delta Q_1+P_2\delta Q_2+\cdots +P_n\delta Q_n)$$

есть интегральный инвариант (абсолютный или относительный) для первоначальной системы.

Такого рода преобразования в общем случае свойственны рассматриваемой задаче, т. е. они преобразовывают заданную, а не произвольно взятую систему Гамильтона опять в систему Гамильтона. Однако среди этих преобразований имеются и такие, которые любую систему Гамильтона преобразовывают снова в систему Гамильтона. Эти преобразования можно получить следующим образом.
Согласно $\mathrm{\S }115$ величина
$$\int \sum _{r=1}^n{p}_r\delta q_r$$

является относительным интегральным инвариантом для всякой гамильтоновой системы. Пусть $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n,P_1,P_2,\dots ,P_n$ суть $2n$ переменных, получающихся из $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$, при помощи контактного преобразования, так что
$$\sum _{r=1}^n{P}_{r}d{Q}_r-\sum _{r=1}^n{p}_{r}d{q}_r=dW$$

где $dW$ — полный дифференциал. Уравнения, определяющие преобразование, могут содержать явно время, так что $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n,P_1,P_2,\dots$, $P_n$ будут функциями от $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n,t$. Но мы будем предполагать, что в вышенаписанном уравнении символ $d$ означает вариацию, при которой время не варьируется. Если же варьируется также и $t$, то это уравнение перейдет в
$$\sum _{r=1}^n{P}_{r}d{Q}_r-\sum _{r=1}^n{p}_{r}d{q}_r=dW+Udt,$$

где $U$ — некоторая функция от $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n,t$.
Но вариация $\delta$ в интегральном инварианте соответствует переходу от какой-нибудь точки траектории к равновременной точке смежной кривой. Поэтому, если рассматривать переменные как функции от $a_1,a_2,\dots ,a_{2n}$ и $t$, где $a_1,a_2,\dots ,a_{2n}$ — постоянные интегрирования, входящие в решение уравнений движения, то вариация $\delta$ получится в результате изменений одних лишь величин $a_1,a_2,\dots ,a_{2n}$ без изменения $t$. Следовательно, как частный случай последнего уравнения имеем:
$$\sum _{r=1}^n{P}_r\delta Q_r-\sum _{r=1}^n{p}_r\delta q_r=\delta W$$

и поэтому
$$\int \sum _{r=1}^n{P}_r\delta Q_r$$

есть относительный интегральный инвариант. Следовательно, преобразованные дифференциальные уравнения, в которых за зависимые переменные приняты $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n,P_1,P_2,\dots ,P_n$, имеют гамильтонову форму и могут быть представлены в виде:
$$\frac{d{Q}_r}{dt}=\frac{\partial K}{\partial P_r},\frac{d{P}_r}{dt}=-\frac{\partial K}{\partial Q_r}(r=1,2,\dots ,n),$$

где $K$ — функция от $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n,P_1,P_2,\dots ,P_n$.
При контактном преобразовании переменных $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1$, $p_2,\dots ,p_n$ в любой динамической задаче сохраняется гамильтонов вид уравнений движения ${}^1$.

При обычном преобразовании координат в динамической задаче, при котором $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n$ суть функции только от $q_1,q_2,\dots ,q_n$, контактное преобразование есть только расширенное точечное преобразование.
${}^1$ Эта важная теорема впервые высказана Якоби (Comptes Rendus, т. 5, стр. 61, 1837).

ЗАДАчА 1. Показать, что контактное преобразование, определяемое уравнениями:
$$q=(2Q{)}^{\frac{1}{2}}{k}^{-\frac{1}{2}}\cos P,p=(2Q{)}^{\frac{1}{2}}{k}^{\frac{1}{2}}\sin P,$$

преобразует систему:

где
$$\frac{dq}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p},\frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q},$$

в систему:
$$H=\frac{1}{2}(p_2+k^2{q}^2)$$

где
$$\frac{dQ}{dt}=\frac{\partial K}{\partial P},\frac{dP}{dt}=-\frac{\partial K}{\partial Q},$$
$$K=kQ.$$