Интегральные инварианты заданной системы дифференциальных уравнений дают интегралы некоторой другой системы дифференциальных уравнений, выводящейся из первой.
Пусть дана система:
\[
\frac{d x_{r}}{d t}=X_{r}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}, t\right) \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Пусть $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ и $x_{1}+\delta x_{1}, x_{2}+\delta x_{2}, \ldots, x_{n}+\delta x_{n}$ представляют собой два бесконечно близких решения этой системы. Величины $\delta x_{1}, \delta x_{2}, \ldots, \delta x_{n}$ предполагаются, следовательно, бесконечно малыми.
Тогда имеем:
\[
\frac{d}{d t}\left(x_{r}+\delta x_{r}\right)=X_{r}\left(x_{1}+\delta x_{1}, x_{2}+\delta x_{2}, \ldots x_{n}+\delta x_{n}, t\right)(r=1,2, \ldots, n)
\]

и, следовательно,
\[
\frac{d}{d t} \delta x_{r}=\frac{\partial X_{r}}{\partial x_{1}} \delta x_{1}+\frac{\partial X_{r}}{\partial x_{2}} \delta x_{2}+\cdots+\frac{\partial X_{r}}{\partial x_{n}} \delta x_{n} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Эти последние $n$ уравнений совместно с первоначальными уравнениями могут быть рассматриваемы как система из $2 n$ дифференциальных уравнений с зависимыми переменными $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \delta x_{1}, \delta x_{2}, \ldots, \delta x_{n}$. Если
\[
\int \sum_{r} F_{r}\left(x_{1}, x_{2} \ldots, x_{n}\right) \delta x_{r}
\]

есть интегральный инвариант первоначальной системы, то производная по времени от величины
\[
\sum_{r} F_{r}\left(x_{1}, x_{2} \ldots, x_{n}\right) \delta x_{r}
\]

в силу дифференциальных уравнений расширенной системы должна равняться нулю, так как путь интегрирования совершенно произволен. Следовательно,
\[
\sum_{r} F_{r}\left(x_{1}, x_{2} \ldots, x_{n}\right) \delta x_{r}=\text { const }
\]

есть интеграл расширенной системы. Интегральному инварианту первого порядка первоначальной систелы соответствует интеграл расширенной системы, и наоборот.

Если известно частное решение $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ первоначальной системы, то мы можем ввести определяемые им значения величин $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ в дифференциальные уравнения расширенной системы. Тогда мы получим $n$ линейных дифференциальных уравнений для определения величин $\delta x_{1}, \delta x_{2}, \ldots, \delta x_{n}$, т. е. для определения того решения первоначальной системы, которое будет соседним с известным частным решением. Эти $n$ линейных уравнений называются уравнениями в вариациях.