Результат предыдущего параграфа приводит к новому доказательству теоремы, что уравнения динамики:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

сохраняют гамильтонову форму при контактном преобразовании переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$. Кроме того, из него можно получить вид функции $K$ преобразованной системы:
\[
\frac{d Q_{r}}{d t}=\frac{\partial K}{\partial P_{r}}, \quad \frac{d P_{r}}{d t}=-\frac{\partial K}{\partial Q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Пусть, в самом деле, контактное преобразование определяется уравнениями:
\[
\begin{array}{ll}
\Omega_{r}=0 & (r=1,2, \ldots, n), \\
P_{r}=\frac{\partial W}{\partial Q_{r}}+\lambda_{1} \frac{\partial \Omega_{1}}{\partial Q_{r}}+\lambda_{2} \frac{\partial \Omega_{2}}{\partial Q_{r}}+\cdots+\lambda_{k} \frac{\partial \Omega_{k}}{\partial Q_{r}} & (r=1,2, \ldots, n), \\
p_{r}=-\frac{\partial W}{\partial q_{r}}-\lambda_{1} \frac{\partial \Omega_{1}}{\partial q_{r}}-\lambda_{2} \frac{\partial \Omega_{2}}{\partial q_{r}}-\cdots-\lambda_{k} \frac{\partial \Omega_{k}}{\partial q_{r}} & (r=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

где $\Omega_{1}, \Omega_{2}, \ldots, \Omega_{k}, W$ – произвольные функции переменных
\[
q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, t .
\]

В силу этих уравнений выполняется тождественно равенство:
\[
\begin{aligned}
\sum_{r=1}^{n} p_{r} d q_{r} & =\sum_{r=1}^{n} P_{r} d Q_{r}-\sum_{r=1}^{n}\left(\frac{\partial W}{\partial q_{r}} d q_{r}+\frac{\partial W}{\partial Q_{r}} d Q_{r}\right)- \\
& -\sum_{s=1}^{k} \lambda_{s} \sum_{r=1}^{n}\left(\frac{\partial \Omega_{s}}{\partial q_{r}} d q_{r}+\frac{\partial \Omega_{s}}{\partial Q_{r}} d Q_{r}\right)
\end{aligned}
\]

и поэтому (если $d$ есть символ вариации, при которой изменяются все переменные, включая и $t$ )
\[
\sum_{r=1}^{n} p_{r} d q_{r}=\sum_{r=1}^{n} P_{r} d Q_{r}+\frac{\partial W}{\partial t} d t-d W+\sum_{s=1}^{k} \lambda_{s} \frac{\partial \Omega_{s}}{\partial t} d t
\]

или
\[
\sum_{r=1}^{n} p_{r} d q_{r}-H d t=\sum_{r=1}^{n} P_{r} d Q_{r}-\left(H-\frac{\partial W}{\partial t}-\sum_{s=1}^{k} \lambda_{s} \frac{\partial \Omega_{s}}{\partial t}\right) d t-d W .
\]

Стоящий в правой части равенства полный дифференциал $d W$ может быть отброшен, так как он не влияет на первую пфаффову систему дифференциальной формы. Поэтому контактное преобразование преобразует систему уравнений:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

в систему
\[
\frac{d Q_{r}}{d t}=\frac{\partial K}{\partial P_{r}}, \quad \frac{d P_{r}}{d t}=-\frac{\partial K}{\partial Q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где
\[
K=H-\frac{\partial W}{\partial t}-\sum_{s=1}^{k} \lambda_{s} \frac{\partial \Omega_{s}}{\partial t},
\]

причем $K$ следует представить как функцию от $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}$, $P_{2}, \ldots, P_{n}, t$.