Липшиц ${}^1$ доказал, что для голономной динамической системы с $n$ степенями свободы кривизну кинематически возможной траектории можно представить в функции производных от $n$ независимых координат, определяющих конфигурацию системы.

Пусть $q_1,q_2,\dots ,q_n$ суть координаты; соответствующие им ускорения для любой кинематически возможной траектории — ${\ddot{q}}_1,{\ddot{q}}_2,\dots ,{\ddot{q}}_n$, которые для действительной траектории (при тех же $q_1,q_2,\dots ,q_n$, ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_n$ ) пусть будут ${\ddot{q}}_{10},{\ddot{q}}_{20},\dots ,{\ddot{q}}_{n0}$. Если мы снова через $x_r$ обозначим любую из трех прямоугольных координат материальной точки $m_r$, через $x_r$ — соответствующий ей компонент силы, то кривизна Гаусса-Герца будет $\sum _r{m}_r{({\ddot{x}}_{r0}-\frac{X_r}{m_r})}^2$. На основании последнего параграфа вместо этого можно написать:
$$\sum _r{m}_r{({\ddot{x}}_{r0}-\frac{X_r}{m_r})}^2+\sum _r{m}_r{({\ddot{x}}_r-{\ddot{x}}_{r0})}^2.$$

Первая сумма одинакова для всех кривых сравнения, так как она зависит только от действительной траектории, поэтому ее можно совсем не писать, назвав кривизной оставшуюся сумму, так как свойство минимума общего выражения кривизны от этого не потеряется. Пусть кинетическая энергия есть:
$$T=\frac{1}{2}\sum _k\sum _l{a}_{kl}{\dot{q}}_k{\dot{q}}_l,$$

где величины $a_{kl}$ суть данные функции от $q_1,q_2,\dots ,q_n$. Обозначим через $D$ определитель, составленный из $a_{kl}$, а через $A_{kl}$ — алгебраическое дополнение элемента $a_{kl}$.
Из равенства
$$\sum _r{m}_r{\dot{x}}_r^2=\sum _k\sum _l{a}_{kl}{\dot{q}}_k{\dot{q}}_l$$
${}^1$ Journ. f. Math, т. 82. стр. 323. Кроме того, см. Wassmuth, Wien. Sitz., т. 104, 1895. В связи с принципом наименьшей кривизны укажем на дальнейшие исследования Лейтингера (Leitinger, Wien. Sitz, т. 116, стр. 1321, 1908) и Шенкеля (Schenkl, Wien. Sitz., т. 122 , стр. 721,1913 ).

следует:
$$a_{kl}=\sum _r{m}_r\frac{\partial x_r}{\partial q_k}\frac{\partial x_r}{\partial q_l}$$

Далее имеем:
$${\ddot{x}}_r=\sum _k\frac{\partial x_r}{\partial q_k}{\ddot{q}}_k+\sum _k\sum _l\frac{{\partial }^2{x}_r}{\partial q_k\partial q_l}{\dot{q}}_k{\dot{q}}_l,$$

так как координаты и скорости для всех рассматриваемых кривых совпадают, то, следовательно,
$${\ddot{x}}_r-{\ddot{x}}_{r0}=\sum _k\frac{\partial x_r}{\partial q_k}({\ddot{q}}_k-{\ddot{q}}_{k0}).$$

Но если положим
$$S_k=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_k}-\sum _r\frac{\partial x_r}{\partial q_k}{X}_r(r=1,2,\dots ,n),$$

то в силу того, что последнее выражение на действительной траектории исчезает, получим: $S_k$ — разности значений $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}\right)$ для кривой сравнения и действительной траектории или
$$S_k=\sum _l{a}_{kl}({\ddot{q}}_i-{\ddot{q}}_{l0})(k=1,2,\dots ,n).$$

Отсюда получаем:
$${\ddot{q}}_k-{\ddot{q}}_{k0}=\frac{1}{D}\sum _l{A}_{kl}{S}_l(k=1,2,\dots ,n)$$

и, следовательно,
$${\ddot{x}}_r-{\ddot{x}}_{r0}=\frac{1}{D}\sum _k\sum _l\frac{\partial x_r}{\partial q_k}{A}_{kl}{S}_l.$$

Поэтому кривизна $\sum _r{m}_r{({\ddot{x}}_r-{\ddot{x}}_{r0})}^2$ равна:
$$\frac{1}{D^2}\sum _{r,k,l,i,j}{m}_r\frac{\partial x_r}{\partial q_k}\frac{\partial x_r}{\partial q_i}{A}_{kl}{A}_{ij}{S}_l{S}_j$$

или
$$\frac{1}{D^2}\sum _{k,l,i,j}{a}_{ki}{A}_{kl}{A}_{ij}{S}_l{S}_j.$$

Но по известному свойству определителей:
$$\sum _i\sum _k{a}_{ki}{A}_{kl}{A}_{ij}=D{A}_{lj}.$$

Поэтому кривизну можно представить в функции обобщенных координат $q_1,q_2,\dots ,q_n$ и их производных в виде:
$$\frac{1}{D}\sum _l\sum _j{A}_{lj}{S}_j{S}_l.$$