Липшиц ${ }^{1}$ доказал, что для голономной динамической системы с $n$ степенями свободы кривизну кинематически возможной траектории можно представить в функции производных от $n$ независимых координат, определяющих конфигурацию системы.

Пусть $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ суть координаты; соответствующие им ускорения для любой кинематически возможной траектории – $\ddot{q}_{1}, \ddot{q}_{2}, \ldots, \ddot{q}_{n}$, которые для действительной траектории (при тех же $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ ) пусть будут $\ddot{q}_{10}, \ddot{q}_{20}, \ldots, \ddot{q}_{n 0}$. Если мы снова через $x_{r}$ обозначим любую из трех прямоугольных координат материальной точки $m_{r}$, через $x_{r}$ – соответствующий ей компонент силы, то кривизна Гаусса-Герца будет $\sum_{r} m_{r}\left(\ddot{x}_{r 0}-\frac{X_{r}}{m_{r}}\right)^{2}$. На основании последнего параграфа вместо этого можно написать:
\[
\sum_{r} m_{r}\left(\ddot{x}_{r 0}-\frac{X_{r}}{m_{r}}\right)^{2}+\sum_{r} m_{r}\left(\ddot{x}_{r}-\ddot{x}_{r 0}\right)^{2} .
\]

Первая сумма одинакова для всех кривых сравнения, так как она зависит только от действительной траектории, поэтому ее можно совсем не писать, назвав кривизной оставшуюся сумму, так как свойство минимума общего выражения кривизны от этого не потеряется. Пусть кинетическая энергия есть:
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{k} \sum_{l} a_{k l} \dot{q}_{k} \dot{q}_{l},
\]

где величины $a_{k l}$ суть данные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Обозначим через $D$ определитель, составленный из $a_{k l}$, а через $A_{k l}$ – алгебраическое дополнение элемента $a_{k l}$.
Из равенства
\[
\sum_{r} m_{r} \dot{x}_{r}^{2}=\sum_{k} \sum_{l} a_{k l} \dot{q}_{k} \dot{q}_{l}
\]
${ }^{1}$ Journ. f. Math, т. 82. стр. 323. Кроме того, см. Wassmuth, Wien. Sitz., т. 104, 1895. В связи с принципом наименьшей кривизны укажем на дальнейшие исследования Лейтингера (Leitinger, Wien. Sitz, т. 116, стр. 1321, 1908) и Шенкеля (Schenkl, Wien. Sitz., т. 122 , стр. 721,1913 ).

следует:
\[
a_{k l}=\sum_{r} m_{r} \frac{\partial x_{r}}{\partial q_{k}} \frac{\partial x_{r}}{\partial q_{l}}
\]

Далее имеем:
\[
\ddot{x}_{r}=\sum_{k} \frac{\partial x_{r}}{\partial q_{k}} \ddot{q}_{k}+\sum_{k} \sum_{l} \frac{\partial^{2} x_{r}}{\partial q_{k} \partial q_{l}} \dot{q}_{k} \dot{q}_{l},
\]

так как координаты и скорости для всех рассматриваемых кривых совпадают, то, следовательно,
\[
\ddot{x}_{r}-\ddot{x}_{r 0}=\sum_{k} \frac{\partial x_{r}}{\partial q_{k}}\left(\ddot{q}_{k}-\ddot{q}_{k 0}\right) .
\]

Но если положим
\[
S_{k}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{k}}-\sum_{r} \frac{\partial x_{r}}{\partial q_{k}} X_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

то в силу того, что последнее выражение на действительной траектории исчезает, получим: $S_{k}$ – разности значений $\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}}\right)$ для кривой сравнения и действительной траектории или
\[
S_{k}=\sum_{l} a_{k l}\left(\ddot{q}_{i}-\ddot{q}_{l 0}\right) \quad(k=1,2, \ldots, n) .
\]

Отсюда получаем:
\[
\ddot{q}_{k}-\ddot{q}_{k 0}=\frac{1}{D} \sum_{l} A_{k l} S_{l} \quad(k=1,2, \ldots, n)
\]

и, следовательно,
\[
\ddot{x}_{r}-\ddot{x}_{r 0}=\frac{1}{D} \sum_{k} \sum_{l} \frac{\partial x_{r}}{\partial q_{k}} A_{k l} S_{l} .
\]

Поэтому кривизна $\sum_{r} m_{r}\left(\ddot{x}_{r}-\ddot{x}_{r 0}\right)^{2}$ равна:
\[
\frac{1}{D^{2}} \sum_{r, k, l, i, j} m_{r} \frac{\partial x_{r}}{\partial q_{k}} \frac{\partial x_{r}}{\partial q_{i}} A_{k l} A_{i j} S_{l} S_{j}
\]

или
\[
\frac{1}{D^{2}} \sum_{k, l, i, j} a_{k i} A_{k l} A_{i j} S_{l} S_{j} .
\]

Но по известному свойству определителей:
\[
\sum_{i} \sum_{k} a_{k i} A_{k l} A_{i j}=D A_{l j} .
\]

Поэтому кривизну можно представить в функции обобщенных координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и их производных в виде:
\[
\frac{1}{D} \sum_{l} \sum_{j} A_{l j} S_{j} S_{l} .
\]