Прежде чем перейти к исследованию систем, допускающих интегралы, квадратичные относительно скоростей, выведем одну теорему, высказанную Бертраном ${ }^{1}$ : Если при движении динамической системы известна кинетическая энергия, но неизвестны действующие силы (зависящие, однако, лишь только от координат точек приложения, но не от скоростей), то эти силы могут быть определены, если известен один интеграл. Кроме того, этот интеграл не может быть выбран совершенно произвольно, он должен удовлетворять некоторым определенным условиям.
Пусть $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ суть $n$ независимых координат, определяющих положение системы, а $T$ – ее кинетическая энергия. Обозначим неизвестные силы, являющиеся функциями одних лишь координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, через $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$. Тогда уравнениями движения будут:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=Q_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]
Пусть
\[
\varphi\left(\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t\right)=\text { const }
\]
${ }^{1}$ Journ. de Math., т. 17, стр. 121, 1852.
один из интегралов системы. Дифференцируя его, получаем:
\[
\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial \varphi}{\partial \dot{q}_{r}} \ddot{q}_{r}+\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{r}} \dot{q}_{r}+\frac{\partial \varphi}{\partial t}=0 .
\]
Вводя в это уравнение значения $\ddot{q}_{1}, \ddot{q}_{2}, \ldots, \ddot{q}_{n}$ из уравнений движения, получим уравнение в $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$, линейное относительно этих величин. Это уравнение должно удовлетворяться тождественно, так как оно содержит одни лишь величины $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, которым всегда можно придать произвольные независимые значения. Дифференцируя это тождество по $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$, мы получим $n$ новых уравнений, также линейных относительно $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$, из которых эти величины могут быть вычислены. Интеграл тогда и только тогда действительно принадлежит некоторой динамической системе, если полученные величины $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$ удовлетворяют уравнению:
\[
\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial \varphi}{\partial \dot{q}_{r}} \ddot{q}_{r}+\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{r}} \dot{q}_{r}+\frac{\partial \varphi}{\partial t}=0 .
\]
Если уравнения, определяющие $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$, не являются независимыми, так что $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$ остаются неопределенными, то данный интеграл принадлежит нескольким отличным друг от друга динамическим задачам.
ЗАДАчА 1. Показать, что интеграл уравнений плоского движения материальной точки, принадлежащий двум различным динамическим задачам, должен необходимо иметь вид:
\[
F\left(\varphi^{\prime}, x, y, t\right)=\mathrm{const},
\]
где $x, y$ – прямоугольные координаты точки, а $\varphi^{\prime}(x, y)$ означает производную по времени от некоторой функции $\varphi(x, y)$, которая, будучи приравнена постоянной, дает уравнение семейства прямых. (Bertrand.)
