В качестве второго примера, иллюстрирующего общую теорию траекторий, рассмотрим материальную точку, движущуюся по инерции на поверхности эллипсоида. Как мы видели в § 54, точка будет двигаться по геодезической линии и, следовательно, теория траекторий приводится к теории геодетик на эллипсоиде, а периодические решения суть те геодетики, которые являются замкнутыми кривыми. Для геодетик на эллипсоиде имеет место уравнение Иоахимсталя (Ioachimistal)
\[
p d=\text { const },
\]
где $p$ – длина перпендикуляра, опущенного из центра эллипсоида на касательную плоскость в какой-нибудь точке геодетики, а $d$ – диаметр, параллельный касательной к геодетике в этой точке. Это же самое уравнение остается справедливым и для линий кривизны эллипсоида. Поэтому каждой геодетике можно поставить в соответствие некоторую линию кривизны, а именно ту линию, для которой $p d$ имеет то же значение, что и для геодетики. Про такее соответствие мы будем говорить, что геодетика «принадлежит» линии кривизны. Каждому значению $p d$ отвечает только одна линия кривизны, но бесчисленное множество геодетик. Поэтому каждой линии кривизны принадлежит бесчисленное множество геодетик.
Каждая линия кривизны состоит из двух замкнутых кривых, являющихся линиями пересечения эллипсоида с софокусной поверхностью второго порядка. Обе эти части линии кривизны ограничивают на эллипсоиде некоторую кольцевую область, и все геодетики, принадлежащие этой линии кривизны, заключены в этом кольце и касаются поочередно то одной, то другой части линии кривизны. На прилагаемом схематическом чертеже (рис. 6) $A B C D E F$ и $P Q R S T U$ изображают обе части линии кривизны, а $A J R K E L P M C T$ – дугу принадлежащей ей геодетики. Она касается первой части линии кривизны в точках $A, C, E$ и второй части – в точках $R, P, T$.
Для того чтобы геодетика была за-
Рис. 6 мкнутой, необходимо, чтобы определенный параметр, зависящий в нашем случае от постоянной $p d$ линии кривизны, был рациональным числом. Если этот параметр выражается иррациональным числом, то геодетика не замкнута. Если геодетика замкнута, то $\infty^{1}$ геодетик, принадлежащих той же самой линии кривизны, также будут замкнутыми. Если геодетика не замкнута, то и всякая другая геодетика, принадлежащая этой же линии кривизны, не может быть замкнутой ${ }^{1}$.
Рассмотрим зависимость между геодетиками, принадлежащими одной и той же линии кривизны. Мы знаем (§144), что если
\[
F\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)=\text { const }
\]
есть интеграл динамической системы, то бесконечно малое контактное преобразование, определяемое равенствами:
\[
\delta q_{1}=\varepsilon \frac{\partial F}{\partial p_{1}}, \quad \delta q_{2}=\varepsilon \frac{\partial F}{\partial p_{2}}, \quad \delta p_{1}=-\varepsilon \frac{\partial F}{\partial q_{1}}, \quad \delta p_{2}=-\varepsilon \frac{\partial F}{\partial q_{2}},
\]
где $\varepsilon$ – малая постоянная, преобразовывает всякую траекторию в смежную кривую, являющуюся также траекторией. Применяя это положение к движению на эллипсоиде, легко найдем, что бесконечно малое преобразование, отвечающее интегралу
\[
p d=\text { const, }
\]
преобразовывает геодетику в другую геодетику, принадлежащую той же самой линии кривизны.
Итак, мы приходим к следующему результату: $\infty^{2}$ траекторий материальной точки, движущейся по инериии на поверхности эллипсоида, могут быть разложены на $\infty^{1}$ групп, состоящих каждая из $\infty^{1}$ траекторий; траектории каждой группы либо все замкнуты, либо все разомкнуты; определенная непрерывная группа преобразований, тесно связанная с интегралом $\mathrm{pd}=\mathrm{const}$, преобразовывает любую траекторию во все траектории, принадлежащие одной и той же группе.
${ }^{1}$ Это совершенно очевидно для случая эллипсоида вращения. В этом случае обе части линии кривизны являются параллельными окружностями, и все принадлежащие этой линии кривизны геодетики могут быть получены из одной из них простым вращением вокруг оси симметрии.
