В качестве второго примера, иллюстрирующего общую теорию траекторий, рассмотрим материальную точку, движущуюся по инерции на поверхности эллипсоида. Как мы видели в § 54, точка будет двигаться по геодезической линии и, следовательно, теория траекторий приводится к теории геодетик на эллипсоиде, а периодические решения суть те геодетики, которые являются замкнутыми кривыми. Для геодетик на эллипсоиде имеет место уравнение Иоахимсталя (Ioachimistal)
$$pd=\text{ const },$$

где $p$ — длина перпендикуляра, опущенного из центра эллипсоида на касательную плоскость в какой-нибудь точке геодетики, а $d$ — диаметр, параллельный касательной к геодетике в этой точке. Это же самое уравнение остается справедливым и для линий кривизны эллипсоида. Поэтому каждой геодетике можно поставить в соответствие некоторую линию кривизны, а именно ту линию, для которой $pd$ имеет то же значение, что и для геодетики. Про такее соответствие мы будем говорить, что геодетика «принадлежит» линии кривизны. Каждому значению $pd$ отвечает только одна линия кривизны, но бесчисленное множество геодетик. Поэтому каждой линии кривизны принадлежит бесчисленное множество геодетик.

Каждая линия кривизны состоит из двух замкнутых кривых, являющихся линиями пересечения эллипсоида с софокусной поверхностью второго порядка. Обе эти части линии кривизны ограничивают на эллипсоиде некоторую кольцевую область, и все геодетики, принадлежащие этой линии кривизны, заключены в этом кольце и касаются поочередно то одной, то другой части линии кривизны. На прилагаемом схематическом чертеже (рис. 6) $ABCDEF$ и $PQRSTU$ изображают обе части линии кривизны, а $AJRKELPMCT$ — дугу принадлежащей ей геодетики. Она касается первой части линии кривизны в точках $A,C,E$ и второй части — в точках $R,P,T$.
Для того чтобы геодетика была за-
Рис. 6 мкнутой, необходимо, чтобы определенный параметр, зависящий в нашем случае от постоянной $pd$ линии кривизны, был рациональным числом. Если этот параметр выражается иррациональным числом, то геодетика не замкнута. Если геодетика замкнута, то ${\mathrm{\infty }}^1$ геодетик, принадлежащих той же самой линии кривизны, также будут замкнутыми. Если геодетика не замкнута, то и всякая другая геодетика, принадлежащая этой же линии кривизны, не может быть замкнутой ${}^1$.
Рассмотрим зависимость между геодетиками, принадлежащими одной и той же линии кривизны. Мы знаем (§144), что если
$$F(q_1,q_2,p_1,p_2)=\text{ const }$$

есть интеграл динамической системы, то бесконечно малое контактное преобразование, определяемое равенствами:
$$\delta q_1=\epsilon \frac{\partial F}{\partial p_1},\delta q_2=\epsilon \frac{\partial F}{\partial p_2},\delta p_1=-\epsilon \frac{\partial F}{\partial q_1},\delta p_2=-\epsilon \frac{\partial F}{\partial q_2},$$

где $\epsilon$ — малая постоянная, преобразовывает всякую траекторию в смежную кривую, являющуюся также траекторией. Применяя это положение к движению на эллипсоиде, легко найдем, что бесконечно малое преобразование, отвечающее интегралу
$$pd=\text{ const, }$$

преобразовывает геодетику в другую геодетику, принадлежащую той же самой линии кривизны.

Итак, мы приходим к следующему результату: ${\mathrm{\infty }}^2$ траекторий материальной точки, движущейся по инериии на поверхности эллипсоида, могут быть разложены на ${\mathrm{\infty }}^1$ групп, состоящих каждая из ${\mathrm{\infty }}^1$ траекторий; траектории каждой группы либо все замкнуты, либо все разомкнуты; определенная непрерывная группа преобразований, тесно связанная с интегралом $\mathrm{pd}=\mathrm{const}$, преобразовывает любую траекторию во все траектории, принадлежащие одной и той же группе.
${}^1$ Это совершенно очевидно для случая эллипсоида вращения. В этом случае обе части линии кривизны являются параллельными окружностями, и все принадлежащие этой линии кривизны геодетики могут быть получены из одной из них простым вращением вокруг оси симметрии.