В настоящей главе, изучая траектории вблизи некоторой заданной траектории или положения равновесия, мы их рассматривали только как приближенные решения уравнений смежной траектории, так как мы отбрасывали все члены, имеющие порядок выше первого относительно перемещений. Однако эти члены высших порядков могут оказать существенное влияние на характер движения, как это следует из следующего примера ${ }^{1}$.
Рассмотрим систему:
\[
\frac{d x_{1}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial y_{1}}, \quad \frac{d x_{2}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial y_{2}}, \quad \frac{d y_{1}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial x_{1}}, \quad \frac{d y_{2}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial x_{2}},
\]
где
\[
H=\frac{1}{2} \lambda\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)-\lambda\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)+\frac{1}{2} \alpha\left\{x_{2}\left(x_{1}^{2}-y_{1}^{2}\right)-2 x_{1} y_{1} y_{2}\right\} .
\]
Уравнения движения в первом приближении при пренебрежении членами выше первого порядка имеют вид:
\[
\frac{d x_{1}}{d t}=\lambda y_{1}, \quad \frac{d y_{1}}{d t}=-\lambda x_{1}, \quad \frac{d x_{2}}{d t}=-2 \lambda y_{2}, \quad \frac{d y_{2}}{d t}=2 \lambda x_{2},
\]
что дает:
\[
\begin{array}{ll}
x_{1}=A \sin (\lambda t+\varepsilon), & y_{1}=A \cos (\lambda t+\varepsilon), \\
x_{2}=B \sin (2 \lambda t+\gamma), & y_{2}=-B \cos (2 \lambda t+\gamma),
\end{array}
\]
где $A, B, \varepsilon, \gamma$ – постоянные интегрирования. Следовательно, первое приближение, складывающееся из двух простых гармонических колебаний, устойчиво.
Но, как нетрудно видеть, уравнения (15) допускают решение:
\[
\begin{array}{ll}
x_{1}=\frac{\sqrt{2}}{a(t+\varepsilon)} \sin (\lambda t+\gamma), & y_{1}=\frac{\sqrt{2}}{a(t+\varepsilon)} \cos (\lambda t+\gamma), \\
x_{2}=\frac{1}{a(t+\varepsilon)} \sin (2 \lambda t+\gamma), & y_{2}=\frac{-1}{a(t+\varepsilon)} \cos (2 \lambda t+\gamma),
\end{array}
\]
где $\varepsilon$ и $\gamma$ произвольные постоянные. Эти уравнения представляют траектории, неограниченно приближающиеся к началу координат при $t \rightarrow \infty$ и при $t \rightarrow-\infty$ и имеющие бесконечные ветви, так как все координаты принимают бесконечные значения, когда $t$ приближается к произвольному значению – $\varepsilon$.
${ }^{1}$ T. M. Cherry, Trans. Camb. Phil. Soc., т. 23, стр. 199, 1925.
Мы должны поэтому заключить, что положение равновесия в начале координат неустойчиво, несмотря на то, что в первом приближении оно устойчиво.
Влияние членов высших порядков на устойчивость динамических систем рассматривали Леви-Чивита ${ }^{1}$ и Чигала (A. R. Cigala) ${ }^{2}$.
Этому же вопросу посвящен ряд мемуаров Кортевега (D. J. Korteweg) ${ }^{3}$ и его ученика Бета (H.I. E. Beth) ${ }^{4}$.
Рассматривая колебания около положения равновесия динамических систем с любым числом степеней свободы, Кортевег показал, что если $s_{1}, s_{2}, \ldots$ означают частоты, отвечающие бесконечно малым главным колебаниям, т. е. когда выражение
\[
p_{1} s_{1}+p_{2} s_{2}+\cdots,
\]
где $p_{1}, p_{2}, \ldots$ – малые положительные или отрицательные целье числа, равно нулю или очень мало, то некоторые колебания высших порядков, имеющие обычно малую интенсивность по сравнению с главными колебаниями, могут достигнуть ненормально большой интенсивности. Наиболее важными будут те случаи, когда
\[
\left|p_{1}\right|+\left|p_{2}\right|+\cdots \leqslant 4 .
\]
Эти случаи полностью исследовал Бет.
