Устойчивость различных видов движения динамических систем может быть исследована
при помощи некоторых постоянных, названных Пуанкаре характеристическими показателями ${}^1$.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:
$$\frac{d{x}_i}{dt}=X_i(i=1,2,\dots ,n),$$

где $X_1,X_2,\dots ,X_n$ — суть известные функции от $x_1,x_2,\dots ,x_n$ и, может быть, также и от $t$. В последнем случае мы будем предполагать, что они являются периодическими функциями $t$ с периодом, равным $T$.

Допустим, что для этих уравнений известно периодическое решение, определяемое уравнениями:
$$x_i={\phi }_i(t)(i=1,2,\dots ,n),$$

где
$${\phi }_i(t+T)={\phi }_i(t)(i=1,2,\dots ,n).$$

Для нахождения смежных решений положим:
$$x_i={\phi }_i(t)+{\xi }_i(i=1,2,\dots ,n),$$

где ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n$ малы и определяются уравнениями в вариациях $(\mathrm{\S }$ 112):
$$\frac{d{\xi }_i}{dt}=\sum _{k=1}^n{\xi }_k\frac{\partial X_i}{\partial x_k}(i=1,2,\dots ,n).$$

Коэффициенты этих линейных уравнений являются периодическими функциями от $t$. Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений каждая из величин ${\xi }_i$ может быть представлена в виде:
$$\sum _{k=1}^n{e}^{{\alpha }_{k}t}{S}_{ik},$$

где $S_{ik}$ — периодические функции от $t$ с периодом $T$, а ${\alpha }_k$ — постоянные. Эти постоянные и называются характеристическими показателями периодического решения.

Если вещественные части всех характеристических показателей равны нулю, то функции ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n$ могут быть, очевидно, представлены как суммы и произведения чисто периодических функций, что не будет иметь места, если хотя бы один характеристический показатель имеет действительную часть, отличную от нуля. Поэтому условие устойчивости периодической траектории заключается в том, что
${}^1$ Acta Math., т. 13. стр. 1, 1890; Nouv. Méth. de la Mec. Cel., т. 1. 1892. относительно общей задачи об устойчивости движения см. капитальное исследование Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1893, ОНТИ, 1935.

действительные части всех характеристических показателей должны равняться нулю.

Составим уравнение, определяющее характеристические показатели заданного решения.

Обозначим через ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ начальные значения величин ${\xi }_1$, ${\xi }_2,\dots ,{\xi }_n$ для траектории, смежной с периодической, а через ${\beta }_1+{\psi }_1$, ${\beta }_2+{\psi }_2,\dots ,{\beta }_n+{\psi }_n$ — значения этих величин в конце периода. Так как величины ${\psi }_1,{\psi }_2,\dots ,{\psi }_n$ являются однозначными функциями от ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$, обращающимися в нуль при ${\beta }_1={\beta }_2=\cdots ={\beta }_n=0$, то, разлагая их в ряд Тейлора и пренебрегая членами порядка выше первого, будем иметь:
$${\psi }_i=\frac{\partial {\psi }_i}{\partial {\beta }_1}{\beta }_1+\frac{\partial {\psi }_i}{\partial {\beta }_2}{\beta }_2+\cdots +\frac{\partial {\psi }_i}{\partial {\beta }_n}{\beta }_n(i=1,2,\dots ,n).$$

Если ${\alpha }_k$ — один из характеристических показателей, то одна из смежных траекторий определяется уравнениями вида:
$${\xi }_1=e^{{\alpha }_{k}t}{S}_{1k},{\xi }_2=e^{{\alpha }_{k}t}{S}_{2k},\dots ,{\xi }_n=e^{{\alpha }_{k}t}{S}_{nk}$$

и для нее мы будем иметь:
$${\beta }_i+{\psi }_i=e^{{\alpha }_{k}T}{S}_{ik}(0)=e^{{\alpha }_{k}t}{S}_i.$$

Следовательно, существует такая система значений ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$, для которой выполняются уравнения:
$$\frac{\partial {\psi }_i}{\partial {\beta }_1}{\beta }_1+\frac{\partial {\psi }_i}{\partial {\beta }_2}{\beta }_2+\cdots +(\frac{\partial {\psi }_i}{\partial {\beta }_i}+1-e^{{\alpha }_{k}T}){\beta }_i+\cdots +\frac{\partial {\psi }_i}{\partial {\beta }_n}{\beta }_n(i=1,2,\dots ,n),$$

и поэтому ${\alpha }_k$ является одним из корней уравнения:
$$\left|\begin{array}{cccc}\frac{\partial {\psi }_1}{\partial {\beta }_1}+1-e^{\alpha T}& \frac{\partial {\psi }_1}{\partial {\beta }_2}& \dots & \frac{\partial {\psi }_1}{\partial {\beta }_n}\\ \frac{\partial {\psi }_2}{\partial {\beta }_1}& \frac{\partial {\psi }_2}{\partial {\beta }_2}+1-e^{\alpha T}& \dots & \frac{\partial {\psi }_2}{\partial {\beta }_n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \frac{\partial {\psi }_n}{\partial {\beta }_1}& \frac{\partial {\psi }_n}{\partial {\beta }_2}& \dots & \frac{\partial {\psi }_n}{\partial {\beta }_n}+1-e^{\alpha T}\end{array}\right|=0,$$

рассматриваемого как уравнение относительно $\alpha$. Таким образом, $xa$ рактеристические показатели являются корнями этого детерминантного уравнения ${}^1$.